二次函数典型例题解析与习题训练10页

二次函数 一、知识点梳理 1.定义：一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数. 2.二次函数 yax2bxc的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线. 二次函数yax2bxc(a,b,c是常数，a0) a>0 y 0 x （1）抛物线开口向上，并向上无限延伸； （2）对称轴是x=a<0 y 0 x （1）抛物线开口向下，并向下无限延伸； bbbb，顶点坐标是（，（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，2a2a2a2a4acb2）； 4a（3）在对称轴的左侧，即当x<4acb2）； 4abb时，y（3）在对称轴的左侧，即当x<时，y2a2a随x的增大而增大；在对称轴的右侧，随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>bb时，y随x的增大而增大 即当x>时，y随x的增大而减小 2a2abb（4）抛物线有最低点，当x=时，y有（4）抛物线有最高点，当x=时，y有2a2a最小值，y最小值4acb2 4a最大值，y最大值4acb2 4a3.用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式：yaxbxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. 2 - 1 -

（2）顶点式：yaxhk.已知图像的顶点或对称轴以及最值，通常选择顶点式. 2b4acb22 求抛物线的顶点、对称轴的方法：yaxbxcax， 2a4abb4acb2（，） ∴顶点是，对称轴是直线x. 2a2a4a （3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：yaxx1xx2 抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线yax2bxc与x轴两交点为2Ax1，0，Bx2，0，由于x1、x2是方程ax2bxc0的两个根，故 bcx1x2,x1x2aaABx1x22x1x22x1x22b24acb4c4x1x2aaaa24.抛物线yaxbxc中，a,b,c的作用 （1）a决定开口方向及开口大小： a>0，开口向上；a<0，开口向下；越大，开口越小 （2）b和a决定抛物线对称轴（左同右异） ①b0时，对称轴为y轴； b0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧； ab③0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧. a② （3）c决定抛物线与y轴交点的位置. ①c0，抛物线经过原点； ②c0,与y轴交于正半轴； ③c0,与y轴交于负半轴. （4）b4ac决定抛物线与x轴的交点个数 ①0，有2个交点 ②0, 有1个交点； 2 - 2 -

③0，无交点 二、例题解析 例1 已知：二次函数为y=x2－x+m （1）写出它的图像的开口方向，对称轴及顶点坐标； （2）m为何值时，顶点在x轴上方 （3）若抛物线与y轴交于A，过A作AB∥x轴交抛物线于另一点B，当S△AOB=4时，求此二次函数的解析式． 【分析】（1）用配方法可以达到目的；（2）顶点在x轴的上方，即顶点的纵坐标为正； （3）AB∥x轴，A，B两点的纵坐标是相等的，从而可求出m的值． 【解答】（1）∵由已知y=x2－x+m中，二次项系数a=1>0，∴开口向上， 12114m1）]－ +m=（x－）2+ 2424114m1 ∴对称轴是直线x=，顶点坐标为（，）． 224 又∵y=x2－x+m=[x2－x+（ （2）∵顶点在x轴上方， ∴顶点的纵坐标大于0，即 ∴m>4m1>0 41 41 ∴m>时，顶点在x轴上方． 4 （3）令x=0，则y=m． 即抛物线y=x2－x+m与y轴交点的坐标是A（0，m）． ∵AB∥x轴 ∴B点的纵坐标为m． 当x2－x+m=m时，解得x1=0，x2=1． ∴A（0，m），B（1，m） 在Rt△BAO中，AB=1，OA=│m│． ∵S△AOB = ∴1OA·AB=4． 21│m│·1=4，∴m=±8 2故所求二次函数的解析式为y=x2－x+8或y=x2－x－8． 【点评】正确理解并掌握二次函数中常数a，b，c的符号与函数性质及位置的关系是解答本

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题的关键之处． 例2 已知：m，n是方程x2－6x+5=0的两个实数根，且m- 4 -

所以S△BCD =S梯形MDBO+S△DMC －S△BOC =14+ （3）设P点的坐标为（a，0） 2725－=15． 22 因为线段BC过B，C两点，所以BC所在的直线方程为y=x+5． 那么，PH与直线BC的交点坐标为E（a，a+5），PH与抛物线y=－x2+4x+5•的交点坐标为H（a，－a2－4a+5）． 3EP，即 23 （－a2－4a+5）－（a+5）=（a+5）． 23 解这个方程，得a=－或a=－5（舍去）． 22 ②EH=EP，得 33 （－a2－4a+5）－（a+5）=（a+5）． 22 解这个方程，得a=－或a=－5（舍去）． 332 P点的坐标为（－，0）或（－，0）． 23 由题意，得①EH=m22m212例3 已知关于x的二次函数y=x－mx+与y=x－mx－，这两个二次函数的222图像中的一条与x轴交于A，B两个不同的点． （1）试判断哪个二次函数的图像经过A，B两点； （2）若A点坐标为（－1，0），试求B点坐标； （3）在（2）的条件下，对于经过A，B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？ m21 【解答】（1）对于关于x的二次函数y=x－mx+． 22m21 由于b－4ac=（－m）－4×1×=－m2－2<0， 22 所以此函数的图像与x轴没有交点． m22 对于关于x的二次函数y=x－mx－． 22 - 5 -

m22 由于b－4ac=（－m）－4×1×=3m2+4>0， 222 所以此函数的图像与x轴有两个不同的交点． m22 故图像经过A，B两点的二次函数为y=x－mx－． 22m22 （2）将A（－1，0）代入y=x－mx－． 22m22 得1+m－=0． 2 整理，得m2－2m=0． 解得m=0或m=2． 当m=0时，y=x2－1．令y=0，得x2－1=0． 解这个方程，得x1=－1，x2=1． 此时，点B的坐标是B（1，0）． 当m=2时，y=x2－2x－3．令y=0，得x2－2x－3=0． 解这个方程，得x1=1，x2=3． 此时，点B的坐标是B（3，0）． （3）当m=0时，二次函数为y=x2－1，此函数的图像开口向上，对称轴为x=0， 所以当x<0时，函数值y随x的增大而减小． 当m=2时，二次函数为y=x2－2x－3=（x－1）2－4，此函数的图像开口向上，对称轴为x=1，所以当x<1时，函数值y随x的增大而减小． 【点评】本题是一道关于二次函数与方程、不等式有关知识的综合题，但它仍然是反映函数图像上点的坐标与函数解析式间的关系，抓住问题的实质，灵活运用所学知识，这类综合题并不难解决． 课堂习题 一、填空题 1．右图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图像，观察图像写出y2≥y1时，x的取值范围_______． 2．已知抛物线y=a2+bx+c经过点A（－2，7），B（6，7）， - 6 -

C（3，－8），则该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标是_______． 3．已知二次函数y=－x2+2x+c2的对称轴和x轴相交于点（m，0），则m的值为______． 4．若二次函数y=x2－4x+c的图像与x轴只有1个交点，则c=_______ 5．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（1，2）与（－1，4），则a+c的值是______． 6．甲，乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一十分关键的球，出手点为P，羽毛球飞行的水平1223s+s+．如下左图所示，32129已知球网AB距原点5m，乙（用线段CD表示）扣球的最大高度为m，设乙的起跳点4距离s（m）与其距地面高度h（m）之间的关系式为h=－C的横坐标为m，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m的取值范围是______． 7． 二次函数y=x2－2x－3与x轴两交点之间的距离为______． 8．杭州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y（元/m2）随楼层数x（楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8），已知点（x，y）都在一个二次函数的图像上（如上右图），则6楼房子的价格为_____元/m2． 二、选择题 9．二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，•则下列关系式不正确的是（ ） A．a<0 B．abc>0 C．a+b+c<0 D．b2－4ac>0 (第9题) (第12题) (第15题) 10．已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）．若点M（－2，y1），N（－1，y2），K（8，y3）也在二次函数y=ax2+bx+c的图像上，则下列结论中正确的是（ ） - 7 -

A．y10）交x轴A，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为（－1，0） （1）求抛物线的对称轴及点A的坐标； （2）过点C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点P，你能 判断四边形ABCP是什么四边形？并证明你的结论； 18．如图所示，m，n是方程x2－6x+5=0的两个实数根，且m图像经过点A（m，0），B（0，n）． （1）求这个抛物线的解析式； （2）设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线 的顶点为D，试求出点C，D的坐标和△BCD的面积； （3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于点H，若直线BC把 △PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出点P的坐标． 19．某地计划开凿一条单向行驶（从正中通过）的隧道，•其截面是抛物线拱形ACB，而且能通过最宽3m，最高3.5m的厢式货车．按规定，•机动车通过隧道时车身距隧道壁的水平距离和铅直距离最小都是0.5m．为设计这条能使上述厢式货车恰好完全通过的隧道，在图纸上以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，求抛物线拱形的表达式，隧道的跨度AB和拱高OC． 20．已知一个二次函数的图像过如图所示三点． （1）求抛物线的对称轴； （2）平行于x轴的直线L的解析式为y=25，抛物线与 4（3）x轴交于A，B两点．在抛物线的对称轴上找点P， （4）使BP的长等于直线L与x轴间的距离．求点P的坐标． 21．如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与x•轴交于A，B两点，其中A点坐标为（－1，0），点C（0，5），D（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点． - 9 -

（1）求抛物线的解析式；（2）求△MCB的面积． - 10 -