实变函数历年考试真题汇总

3.下列关系式中成立的是（ ）

一．填空.（每空2分，共20分）

①AB\\BA，②A\\BBA，③ABAB， 1给出自然数集N与整数集Z之间的一一对应关系 . ④ABAB，⑤ABAB，其中A,B是二集合.

2设A,B是两集合，AB是指 .

A.①② B.③④⑤ C.③⑤ D.①②③④⑤

3E(x,y)ysin1x,x0,在R2内求E ,E ，

4. 设ERn,mE,fn(x)在E上几乎处处收敛于f(x).则( ). 0,x0 A．fn(x)在E上处处收敛于f(x);

4.设f(x)x,xP,其中P是Cantor集,则ex,x[0,1]\\P.0,1f(x)dx________. B．存在fn(x)的子列fni(x),使得fni(x)在E上一致收敛于f(x).

5.设ERn,则称E是L可测的是指: . C. fn(x)在E上一致收敛于f(x);

6.设f(x)sinx,x[0,2],则f(x) ; D. fn(x)在E上依测度收敛于f(x);

f(x) . 5.设ERq为可测集，fn(x)是E上的一列非负可测函数，则（ ）

7.称f(x)为可测集E上的简单函数是指 A Elimfnn(x)dxlimfn(x)dx BnEElimfnn(x)dxlimfn(x)dx

nE8.设⑴mE;⑵

fn(x)是

E上一列几乎处处有限的可测函数;⑶

CElimf(x)dxlim(x)dx DnnnEfnElimnfn(x)dxlimnEfn(x)dx

lim三．判断题(每题2分，共10分)

nfn(x)f(x)a.e.于E,且f(x)a.e.于E.则0,EE,使得

1. mE0E是有限集或可数集. （ ）

mE,而fn(x)在 上一致收敛于f(x).

2. 若开集G1是开集G2的真子集,则mG1mG2 （ ） 二.选择（每题2分，共10分）

3. 直线上的开集至多是可数多个互不相交的开区间的并 （ ） 1.若A是有限集或可数集,B是不可数集,则以下不对的是（ ）.

4. 设f(x),g(x)是可测集E上的可测函数,则f(x)g(x)也是E上的可测函数

A.AB是可数； B.AB是不可数； C.ABc； D.ABB

（ ）

5.可测函数2.设E是任一可测集,则( )．

f(x)在E上L可积f(x)在E上L可积 （ ）

四．证明题(每题8分，共40分)

A.E是开集; B.0,存在开集GE,使得m(G\\E);

C.E是闭集; D.E是F 设f(x)是(,)上的实值连续函数,则aR,Exf(x)a是

型集或G型集.

1.证明：第 1 页 共 6 页

一开集.

2.设ERq,证明存在G型集GE,使得mGmE

**1给出(1,1)与(,)之间的一一对应关系 . 2设A,B是两集合，AB是指 . 3E(x,y)xy1,在R内求E ,E ， 4.设f(x)pp1,x,p,q为自然数，且为既约分数，qq3．证明：黎曼函数R(x)q

0,x为0，1及0,1中的无理数， 是0,1上的可测函数 4.设函数列fn(x)(n1,2,222xP,x,其中P是Cantor集,则f(x)dx________. x0,1e,x[0,1]\\P.)在有界集E上“基本上”一致收敛于f(x)（即

5.设ERn,则称E是L可测的是指: . 6.设f(x)cosx,x[0,2],则f(x) ; 0,EE,使得fn(x)在E上一致收敛于f(x)且m(EE).）证

明:fn 在E上a.e.收敛于f.

5.设mE0,f(x)在E上可积,如果对于任何有界可测函数(x),都有

f(x) . 7.称f(x)为可测集E上的简单函数是指 8.设⑴mE;⑵

Ef(x)(x)dx0,则f(x)0a.e.于E.

五．计算题(每题10分，共20分)

3x,xQ[0,1],1． 设f(x) 问f(x)在[0,1]上黎曼可积吗？勒贝格可积吗？

1,xQ[0,1].fn(x)是

E上一列几乎处处有限的可测函数;⑶

limfn(x)f(x)a.e.于E,且f(x)a.e.于E.则0,EE,使得

n若可积,则计算其积分值. 2．lim

mE,而fn(x)在 上一致收敛于f(x).

nxsin5xdx 22n01nx1二.选择.每题2分，共10分）

1.若A是有限集或可数集,B是不可数集,则以下不对的是（ ）.

B.AB是不可数； C.ABc； D.ABB2.A.AB是可数；

设E是任一可测集,则( )．

A.E是开集; B.0,存在开集GE,使得m(G\\E); C.E是闭集; D.E是F型集或G型集.

3.下列关系式中成立的是（ ）

①AB\\BA，②A\\BBA，③ABAB，

陇东学院2011—2012学年第一学期实变函数论期末试题(B)

一．填空.（每空2分，共20分）

线 第 2 页 共 6 页

④ABAB，⑤ABAB，其中A,B是二集合.

2. 证明:若E可测,则0,存在开集G,使EG,而m(GE)

A.①② B.③④⑤ C.③⑤ D.①②③④⑤

4. 设ERn,mE,fn(x)在E上几乎处处收敛于f(x).则( ). A．fn(x)在E上处处收敛于f(x);

pp1,x,p,q为自然数，且为既约分数，qqq3．证明：黎曼函数R(x) 0,x为0，1及0,1中的无理数， 是0,1上的可测函数

B．存在fn(x)的子列fni(x),使得fni(x)在E上一致收敛于f(x).

4. 设mA0，B为任一点集，则有m*(AB)m*B.

5.设mE0,f(x)在E上可积,如果对于任何有界可测函数(x),都有

C. fn(x)在E上一致收敛于f(x);

D. fn(x)在E上依测度收敛于f(x);

5.设ER为可测集，fn(x)是E上的一列非负可测函数，则（ ）

qEf(x)(x)dx0,则f(x)0a.e.于E.

五．计算题(每题10分，共20分)

x,xQ0,1,2． 设f(x) 问f(x)在[0,1]上黎曼可积吗？勒贝格可积吗？若

1,xQ0,1.可积,则计算其积分值. 2．lim

AlimfEnn(x)dxlimfn(x)dx BnElimfEnn(x)dxlimfn(x)dx

nEClimfEnn(x)dxlimfn(x)dx D

nElimfEnn(x)dxlimfn(x)dx

nE三．判断题(每题2分，共10分)

1. mE0E是有限集或可数集. （ ）

2. 若开集G1是开集G2的真子集,则mG1mG2 （ ） 3. 直线上的开集至多是可数多个互不相交的开区间的并 （ ） 4. 设f(x),g(x)是可测集E上的可测函数,则f(x)g(x)也是E上的可测函数

（ ）

5.可测函数f(x)在E上L可积f在E上L可积 （ ）

2nxdx

01n2x2n1四．证明题(每题8分，共40分)

1.证明： 设f(x)是(,)上的实值连续函数,则aR,Exf(x)a是一闭集.

陇东学院2012—2013学年第二学期实变函数论期末试题(A)

一．填空.（每空2分，共20分）

线 第 3 页 共 6 页

A.E是开集 B.0,存在开集GE,使得m(G\\E) 1.给出0,1与0,10之间的一一对应关系 . C.E是闭集 D.E是F型集或G型集

2. 设A1n0,1n,n1,2,.则limnAn . 3. 设En是一列可测集合,且E1E2En,则有 ( ). 3. 设E是平面上单位正方形[0,1][0,1]中坐标都是有理数的点组成的集合,则

A.mmE__________.

EnlimmEn; B. mEnlimmEn;

n1nn1n4. 设E11是[0,1]中的全部有理点,则E1在R内的E1 ,E1 C. mEnlimmEn; D. mEnlimmEn.

n1nn1n E .

4. 设fn(x)在E上依测度收敛于f(x).则 ( ). 5. 举出一个在[0,1]上Lebesgue可积但不Riemann可积的函数

A．fn(x)在E上处处收敛于f(x)

f(x)_____ _. B．fn(x)在E上几乎处处收敛于f(x)

6.设ERn,则称E是L可测的是指: . C. fn(x)在E上一致收敛于f(x);

7. 设f(x)是定义在可测集ERn上的广义实值函数,则称f(x)在E上是可测的是指: . D.存在fn(x)的子列fni(x),使得fni(x)在E上几乎处处收敛于f(x)

8. 设f(x)是可测集ERn上的可测函数,若Ef(x)dx与Ef(x)dx中至少有

5.设ERq为可测集，fn(x)是E上的一列非负可测函数，则( )

一个是有限数,则f(x)在E上的L积分定义为

AElimfx)dxlimEfn(x)dx BlimfnEnn(x)dxlimnEfn(x)dx

Ef(x)dxnn( .

C

Elimflim)dxlimnn(x)dxEfn(x)dx DnElimnfn(xnEfn(x)dx

二.选择.每题2分，共10分）

三．判断题(每题2分，共10分)

1.设E1

1. 不是A的聚点必不是A的内点 （ ） 1是(0,1)中的无理点集,E2是R中的有理点集, E3是(0,1),P是康托集,其2.mE0则E是至多可数集. （ ）

中基数最小的是 ( ).

3. 设E是可测集, A是可数集,则m(EA)mE （ ） A.E1 B.E2 C.P D.E3

4. 设f(x)是可测集E上的可测函数,则f(x)也是E上的可测函数 （ ） 2.设E是任一可测集,则 ( )．

5.设f(x)是E上的有界可测函数,则f(x)在E上L可积 （ ）

第 4 页 共 6 页

四．证明题(每题8分，共40分)

1.证明： A\\BCA\\BA\\C

2. 设f(x)是,上的实值连续函数,则对于任意常数a,Exf(x)a总是一闭集.

3. 设mA0，B为任一点集，则有m*(AB)m*B 4. 设ERq为可测集,f(x)为E上的非负可测函数.若

1.给出0,1与,之间的一一对应关系 . 222.设A,B是两集合，AB是指 . 3.E(x,y)xy1,在R内求E ,E ， 4. 设ERn,则称点集E是L可测的是指:

222Ef(x)dx0,则

. 5. 设f(x)是定义在可测集E上的广义实值函数,则称f(x)在E上是可测的是指:

.

f(x)0a.e.于E

5. 设函数列fn(x)(n1,2,)在有界集E上“基本上”一致收敛于f(x),即6. 称f(x)为可测集E上的简单函数是指:

7. 设ERq为可测集，f(x)为E上的可测函数，若一个有限，则称f(x)在E上 ；若f(x)在E上 . 0,EE,使得fn(x)在E上一致收敛于f(x)且m(EE).证

明:fn 在E上a.e.收敛于f.

Ef(x)dx与

Ef(x)dx中至少

五．计算题(每题10分，共20分)

x2,xQ0,1,1.设f(x) 问f(x)在[0,1]上黎曼可积吗？勒贝格可积

.1,x0,1Q，吗？若可积,则计算其积分值. 2．lim

Ef(x)dx与

Ef(x)dx都有限，则称

8. 设ERq为可测集，(x)为E上的非负可测简单函数，即(x)nxcosnxdx

01n2x2n1cii1kEi(x)，E1,E2,,Ek为互不相交的可测集，且EEi1ki，Ei(x)是Ei上

的特征函数，则

(x)dx . E二.选择（.每题2分，共10分）

1.若A是有限集或可数集,B是不可数集,则以下不对的是. （ ）

A.AB是可数； B.AB是不可数； C.ABc； D.ABB

陇东学院2014—2015学年第二学期变函数论期末试题(A)

一．填空.（每空2分，共20分）

线 2.设E是任一可测集,则 ( )

A.E是开集; B.0,存在开集GE,使得m(G\\E); C.E是闭集; D.E是F型集或G型集.

第 5 页 共 6 页

3.设A,B是二集合.下列关系式中成立的是 （ ）

3．设S1,S2为可测点集，S1S2,且mS1，则mS2\\S1mS2mS1. 4. 设f(x)是E上的可测函数，并且f(x)g(x)a.e.于E，则gx也是E上的可测函数.

5.设mE0,f(x)在E上可积,如果对于任何有界可测函数(x),都有

A.AB\\BA B.A\\BBA

C. ABAB D.ABAB

4.设En是一列可测集合,单调递减, 且mE1,则有 ( ).

Ef(x)(x)dx0,则f(x)0a.e.于E.

A.mEnlimnmEn; B. mEnlimmEn;

五．计算题(每题10分，共20分)

n1n1n3． 设f(x)x,xP,1,x0,1\\P，其中P为cantor集，C. mEnlimmEn; D. mEnlimmEn.

勒贝格可积吗？若可积,则计算其积分值. n1nn1n2．limnxn101n2x2dx

5.设ERq为可测集，fn(x)是E上的一列非负可测函数，当xE时对于任一

自然数n，有fn(x)fn1(x)，令nlimfn(x)f(x),xE，则 （ ）

AElimfnn(x)dxlimEfn(x)dx Blimfdxlimdx

nEnn(x)nEfn(x)CElimfdxlimnn(x)fn(x)dx D

nEEf(x)dxnlimEfn(x)dx

三．判断题(×”每题2分，共10分)

1. 任何无限集合必有可数真子集.. （ ）

2. 设E为R1

的可测子集,若mE0,则mE0. （ ）

3. 直线上的开集至多是可数多个互不相交的开区间的并 （ ）

4. 若f(x)是可测集E上的L可积函数,则f(x)是E上的有界函数.

（ ）

5.可测函数f(x)在E上L可积f在E上L可积 （ ）

四．证明题(每题8分，共40分)

1. 证明:AB(AB).

2. 设f(x)是(,)上的实值连续函数,则aR,则Exf(x)a是一开集.

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问f(x)在[0,1]上黎曼可积吗？