三、知识要点梳理
知识点一：一元一次方程及解的概念 1、一元一次方程：
一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)。
要点诠释：
一元一次方程须满足下列三个条件： （1） 只含有一个未知数； （2） 未知数的次数是1次； （3） 整式方程．
知识点二：一元一次方程的解法
1、方程的同解原理（也叫等式的基本性质）
特别须注意：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如方程：
－
=1.6，将其化为：
－=1.6。方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。
要点诠释：
理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:
①a≠0时，方程有唯一解；
②a=0，b=0时，方程有无数个解； ③a=0，b≠0时，方程无解。
知识点三：列一元一次方程解应用题
1、列一元一次方程解应用题的一般步骤：
（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．
（2）设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数． （3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．
（4）解方程．
（5）检验，看方程的解是否符合题意． （6）写出答案． 四、规律方法指导
1、判断一个式子是否是一元一次方程： （1）首先看是否是方程，
（2）再看是否满足一元一次方程的三个条件或对原式进行等价变形化简后再看；
2、解一元一次方程常用的技巧有：
(1)有多重括号，去括号与合并同类项可交替进行。
(2)当括号内含有分数时，常由外向内先去括号，再去分母。 (3)当分母中含有小数时，可用分数的基本性质化成整数。
(4)运用整体思想，即把含有未知数的代数式看做整体进行变形。
四、经典例题透析
类型一：一元一次方程的相关概念
1、已知下列各式：
x－y＝x2；⑤3x＋y＝6；⑥5x＋3y
①2x－5＝1；②8－7＝1；③x＋y；④
＋4z＝0；⑦＝8；⑧x＝0。其中方程的个数是( )
A、5 B、6 C、7 D、8
思路点拨：方程是含有未知数的等式，根据定义逐个进行判断，显然②③不合题意。
解：是方程的是①④⑤⑥⑦⑧，共六个，所以选B
总结升华：根据定义逐个进行判断是解题的基本方法，判断时应注意两点：一是等式；二是含有未知数，体现了对概念的理解与应用能力。
举一反三：
[变式1]判断下列方程是否是一元一次方程：
（1）-2x2+3=x （2）3x-1=2y （3）x+=2 （4）2x2-1=1-2(2x-x2)
解析：判断是否为一元一次方程需要对原方程进行化简后再作判断。 答案：（1）（2）（3）不是，（4）是 [变式2]已知：(a-3)(2a+5)x+(a-3)y+6＝0是一元一次方程，求a的值。 解析：分两种情况：
（1）只含字母y，则有(a-3)(2a+5)＝0且a-3≠0 （2）只含字母x，则有a-3＝0且(a-3)(2a+5)≠0 不可能
综上，a的值为。
[变式3]（2011重庆江津）已知3是关于x的方程2x－a=1的解,则a的值是( )
A．－5 B．5 C．7 D．2 答案：B
类型二：一元一次方程的解法
解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。如果我们在牢固掌握这一常规解题思路的基础上，根据方程原形和特点，灵活安排解题步骤，并且巧妙地运用学过的知识，就可以收到化繁为简、事半功倍的效果。
1．巧凑整数解方程：
2、
思路点拨：仔细观察发现，含未知数的项的系数和为，常数项的
和故直接移项凑成整数比先去分母简单。
解：移项，得。
合并同类项，得2x＝－1。 系数化为1，得x＝－。
举一反三： [变式]解方程： 解：原方程可变形为
＝2x－5
整理，得8x＋18－(2＋15x)＝2x－5， 去括号，得8x＋18－2－15x＝2x－5 移项，得8x－15x－2x＝－5－18＋2 合并同类项，得－9x＝－21
。
＝2x－5
系数化为1，得x＝
2．巧用观察法解方程：
3、
思路点拨：该方程可化为＝3，不难看出，当y
＝1时，该方程左边三项的值都是1，即左边＝右边，因原方程是一元一次方程，故只能有一个解，于是可求得方程的解是y＝1。 解：由观察可得y＝1
3．巧去括号解方程：
4、
思路点拨：含多层括号的一元一次方程，要根据方程中各系数的特点，选择适当的去括号的方法，因为题目中分数的分子和分母具有倍数关系，所以从外向内去括号可以使计算简单。
解：去括号，得
去小括号，得
去分母，得(3x－5)－8＝8
去括号、移项、合并同类项，得3x＝21 两边同除以3，得x＝7
∴原方程的解为x＝7
举一反三：
[变式]解方程：
解：依次移项、去分母、去大括号，得
依次移项、去分母、去中括号，得
依次移项、去分母、去小括号，得
，∴x＝48
4．运用拆项法解方程：
5、
思路点拨：注意到，在解有分母的一元一次方
程时，可以不直接去分母，而是逆用分数加减法法则，拆项后再合并，有时可以使运算简便。
解：原方程逆用分数加减法法则，得
移项、合并同类项，得。
系数化为1，得
5．巧去分母解方程：
6、
。
思路点拨：当方程的分母含有小数，而小数之间又没有特殊的倍数关系时，若直接去分母则会出现比较繁琐的运算。为了避免这样的运算。应把分母化成
整数。化整数时，利用分数的基本性质将分子、分母同时扩大相同的倍数即可。 解：原方程化为
去分母，得100x－(13－20x)＝7
去括号、移项、合并同类项，得120x＝20 两边同除以120，得x＝
∴原方程的解为
总结升华：应用分数性质时要和等式性质相区别。可以化为同分母的，先化为同分母，再去分母较简便。
举一反三：
[变式]（2011山东滨州）依据下列解方程
面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据。 【答案】解：原方程可变形为 (_分式的基本性质_) 的过程，请在前
去分母，得3（3x+5）=2(2x-1). (_等式性质2_) 去括号，得9x+15=4x-2. （去括号法则或乘法分配律_） (______移项_______),得9x-4x=-15-2. (等式性质1_) 合并，得5x=-17. (合并同类项) . （等式性质2） （_______系数化为1____）,得x=
6．巧组合解方程：
7、
思路点拨：按常规解法将方程两边同乘72化去分母，但运算较复杂，注意到左边的第一项和右边的第二项中的分母有公约数3，左边的第二项和右边的第一项的分母有公约数4，移项局部通分化简，可简化解题过程。 解：移项通分，得
化简，得
去分母，得8x－144＝9x－99。 移项、合并，得x＝－45。
7．巧解含有绝对值的方程：
8、|x－2|－3＝0
思路点拨：解含有绝对值的方程的基本思想是先去掉绝对值符号，转化为一般的一元一次方程。对于只含一重绝对值符号的方程，依据绝对值的意义，直接去绝对值符号，化为两个一元一次方程分别解之，即若|x|＝m，则x＝m或x＝－m；也可以根据绝对值的几何意义进行去括号，如解法二。 解法一：移项，得|x－2|＝3
当x－2≥0时，原方程可化为x－2＝3，解得x＝5
当x－2＜0时，原方程可化为－(x－2)＝3，解得x＝－1。 所以方程|x－2|－3＝0的解有两个：x＝5或x＝－1。 解法二：移项，得|x－2|＝3。
因为绝对值等于3的数有两个：3和－3，所以x－2＝3或x－2＝－3。
分别解这两个一元一次方程，得解为x＝5或x＝－1。
举一反三：
【变式1】（2011福建泉州）已知方程 【答案】
；
，那么方程的解是________.
[变式2] 5|x|-16＝3|x|-4 解：5|x|-3|x|＝16-4 2|x|＝12 |x|＝6 x＝±6
[变式3]
解：|3x-1|＝8 3x-1＝±8 3x＝1±8
3x＝9或3x＝-7
x＝3或
8．利用整体思想解方程：
9、
思路点拨：因为含有的项均在“”中，所以我们可以将作为一
个整体，先求出整体的值，进而再求的值。 解：移项通分，得： 化简，得：
移项，系数化1得：
总结升华：解一元一次方程有一般程序化的步骤，我们在解一元一次方程时，既要学会按部就班(严格按步骤)地解方程，又要能随机应变(灵活打乱步骤)解方程。对于一般解题步骤与解题技巧来说，前者是基础，后者是机智，只有真正掌握了一般步骤，才能熟能生巧。
类型三、一元一次方程的常见应用题 1.优化方案问题
10、由于活动需要，78名师生需住宿一晚，，他们住了一些普通双人间和普通三人间，结果每间客房正好住满，且在宾馆给他们打五折优惠的基础上一天一共付住宿费2130元。请你算一算，他们需要双人普通间和三人普通间各多少间？
类型 双人房 三人房
普通 (元/间) 140 150
豪华 (元/间) 300 400
解：设安排普通双人房x间，则可住2x人，费用为140×50％·x元，此时安排普通三人房
间，
可住(78－2x)人，费用为150×50％×元。
由题意，得140×50％×x＋150×50％×＝2130。解得x＝9，
＝20。
即安排三人房20间，双人房9间即可。
举一反三：
【变式】某学校组织学生春游，如果租用若干辆45座的客车，则有15个人没有座位，如果租用相同数量60座的客车，则多出1辆，其余车恰好坐满，已知租用45座的客车日租金为每辆车250元，60座的客车日租金为300元，问租用哪种客车更合算？租几辆车？
解：设租用45座客车x辆，则根据春游学生人数不变，列方程： 45x+15=60x-60 解得： x=5
若租用45座客车，则需用5辆，需花费：250×5=1250元 若租用60座客车，则需用4辆，需花费300*4=1200元 因为：1250>1200，因此租用60座客车比较合算。 答：租用60座客车更合算 ，租用4辆车。
2.行程中的追及相遇问题
11、甲、乙两人从A、B两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶.出发后经3小时两人相遇.已知在相遇时乙比甲多行了90千米，相遇后经1小时乙到达A地.问甲、乙行驶的速度分别是多少？ 思路点拨：设甲的速度为千米/时，题目中所涉及的有关数量及其关系可以用下表表示：
甲 乙
相遇前
速度
时间 3 3
路程 3 3+90
速度
1 相遇后 时间
路程 3+90 3
相遇前甲行驶的路程+90=相遇前乙行驶的路程； 相遇后乙行驶的路程=相遇前甲行驶的路程.
解：设甲行驶的速度为千米/时，则相遇前甲行驶的路程为3千米， 乙行驶的路程为（3+90）千米，乙行驶的速度为
千米/时，由
题意，得.
解这个方程，得=15.
检验：=15适合方程，且符合题意. 将=15代入
，得
=
=45.
答：甲行驶的速度为15千米/时，乙行驶的速度为45千米/时.
总结升华：理解相遇前后的等量关系，相遇问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题可以通过画线段图或列表帮助理解、分析。
举一反三：
[变式] 甲、乙两地相距240千米，汽车从甲地开往乙地，速度为36千米/时，摩托车从乙地开往甲地，速度是汽车的
。摩托车从乙地出发2小时30分
钟后，汽车才开始从甲地开往乙地，问汽车开出几小时后遇到摩托车？
思路点拨：本题是一个异地不同时出发的相遇问题，其基本关系是：速度×时间＝路程。虽然不同时出发，但在相遇时，汽车所行的路程＋摩托车所行的路程＝甲、乙两地的距离，这就是本题的等量关系。如果设汽车开出x小时后与摩托车相遇，则在相遇时，汽车和摩托车所行的路程可表示如图：
其中摩托车先行的路程为
千米；摩托车后来所行的路程为
千米。
解：设汽车开出x小时与摩托车相遇，则 36x＋36×
＝240，解得x＝3
答：汽车开出3小时后遇到摩托车。
4．银行储蓄
13、小张在银行存了一笔钱，月利率为2%，利息税为20%，5个月后，他一共取出了本息和为1080元，问它存入的本金是多少元？
解：设小张存入的本金为x元，则5个月后的利息为2%×x×5即0.1x元， 这些利息需交利息税0.1x×20%即0.02x元 由题意得：x+0.1x-0.02x=1080 ∴x=1000
答：他存入银行的本金为1000元。
举一反三：
【变式】从1999年11月1日起，全国储蓄存款征收利息税，税率为利息的20%，由各银行储蓄点代扣代收．某人在2001年1月存入定期一年的人民币
若干元，年利率为2.25%，一年到期后缴纳利息税72元，则他存入的人民币为________元。 答案：16000
解析：设某人存入的人民币为x元，根据题意列方程得： x×2.25%×20%=72， 解得x=16000．
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