总第141期
巢湖学院学报Journal of Chaohu College
N〇.6.,V〇1.18.2016General Serial No.141
半线性脉冲泛函微分方程正解的存在性
潘欣吴正王良龙
(安徽大学，安徽合肥230031)
摘要:本文利用线性算子半群理论，锥压缩不动点定理和Gronwall型脉冲积分不等式，在
合适的条件下证明了抽象空间中半线性脉冲泛函微分方程正解的存在性。
关键词院紧悦〇 -半群;半线性脉冲泛函微分方程；正解；Gronwall型脉冲积分不等式 中图分类号:0175.15
文献标识码:A
文章编号= 1672-2868(2016)06-0005-06
引言
在生物数学和种群生物学等领域中，常常需要寻找微分方程的正解.因此，微分方程正解的存在性 在实际问题中有很重要的应用。而许多数学物理方程可以转化为抽象空间中的微分方程。抽象空间中 的微分方程也因此成为人们一直关注的课题。其中关于泛函微分方程获得了不少重要成果。见文[1，2,3]遥
抽象空间中的半线性发展方程近来引起国内外学者广泛的研究兴趣，获得了不少重要结果，见 文献[3-8]。其中文献[6-8]研究了半线性发展脉冲微分方程，受到以上文献的启发，本文考虑抽象空间上 半线性脉冲泛函微分方程正解的存在性。
为此我们假设(耘，卜|)为一个Banach空间，耘垣为耘上的一个正规锥(晕为正规常数），耘垣诱导耘中 的一个偏序关系臆（或逸），即对x，ye耘，x臆y当且仅当y-x缀耘垣，则(耘，窑|，臆）构成一个偏序Banach空 间。文中耘总是指偏序Banach空间。
以下考虑偏序Banach空间(耘，窑|，臆）中半线性脉冲泛函微分方程Cauchy问题
x =粤x +/(t，，x(t))，x(t - Ti)，x,)， t 屹 tk，
吟xl=!1 越陨K(x(tk))
x(0+)=棕，x(0)=椎，
k =员，2,…，
棕沂耘+椎沂孕悦+
(1)
正解的存在性。
1
预备知识
Cauchy问题(1)中的粤为无界线性算子，可以生成一个正且紧的悦。-半群嗓T(t): t逸0 } ;Ax|,=,k =
收稿日期：2016-10-25
基金项目：安徽省髙校省级自然科学研究项目（项目编号：KJ2013Z012,KJ2014A010);安徽省自然科学基金（项目编号：
1508085QA01);安徽省髙等教育质量工程计划教学研究项目（编号:2015]yxm057);安徽大学本科质量提升计
划项目（项目编号:ZLTS2015052)
作者简介:潘欣(1983-)，男，安徽凤台人。安徽大学江淮学院，讲师。研究方向:微分方程与动力系统。
5
x(tk+)-x(tk )其中 x(tk+)，x(tk )分别表示 x(t)在 t = tk 处右极限，左极限;0 < ti < t2〈…< +肄；limtk=+肄;
k寅肄
/=(0，+肄）曰 xt(6) = x(t+6)，6 沂[-t，0](t>0)；子员 >0.
孕悦([-子,0]袁耘) = {x |x:[-t,0]寅E; x(r)= x(t),t E(-T,0];x(t+)存在,t 沂[-子,0);
对t e(-t,0]除有限个点外有x(t+)= x(t) |
臆
T(s厂s) f(s，x(s), x(s-Ti)，xs)ds- I T(s2-s) f(s，x(s)，x(s-Ti)，xs)ds■|栽(5员)棕-T(s2)棕移 T(s 1 - tk))k(x(tk))-移 T(s2 - tk))k(x(tk))
0 < tk < s
0 < tk < s2
臆
[T(s「s)- T(s2-s)]f(s ,x(s),x(s-Ti),Xs)ds移 | T(s1 - tk)- T(s2 - tk) I1k(x(tk)) I
■|T(si)-T(2) I I 棕垣 I 臆陶-％2)||棕I-2
^(s!-; )f(s ,x(s )，x(s-Ti)，Xs) |ds+ 移 |T(si - tk) I |/k(x(tk)) I|T(s广s)-T(s2-s) |b(s)|| x(s)|| + c(s)|| x(s-Ti)|| + d(s)T || Xs ||)ds
0
■运 I a(s)+b(s)|| x(s)|| + c(s)|| x(s-Ti)|| + d(s)T || Xs ||)ds + 移 |/k(x(tk)) I
垣移 I T(si - tk)- T(s2 - tk)椰 Ik(x(tk)) I
tk < s2
再由引理2可推知，对于任意的着>0,总可以找到一个啄>0使得I (•Sx)(si)-(Sx)(s2) I <着，其中X沂D 且|s「s2 |<5，si，s2E(0，ti].所以(&D)(t)在(0，ti]上等度连续，类似地可以证明(&D)(t)在(0,7]上逐段等 度连续，故杂阅是相对紧的。再由T的任意性知，算子杂是孕悦垣中的紧算子，从而是全连续算子，引理8 得证。
主要定理设孕悦垣为孕c[j，e]的一个正规锥且假设(匀员），(匀2)和(匀猿)均成立，则对于坌椎沂孕悦+\\{0}， 棕沂E+ \\嗓0}，方程（i)在Banach空间孕qj，E]中至少存在一个全局正解軇t)，t沂允.
证明对任意固定的实数茁>0记赘J = {x沂孕悦[/，邵|| X II臆S }，孕悦茁=孕悦垣疑赘茁，则鄣孕悦+=孕悦+疑赘茁 由引理1，对于任意固定的棕沂E+ \\嗓0}，sup嗓I T(t)棕I颐t沂J }是一个有限的正常数，记为T .(i) 取任意实数ri(0 < ri < |)，我们断言Vx沂鄣孕悦。，Sx > x .若上述断言不成立，则3x沂鄣孕悦。，使得Sx臆x成立，此时II x II = ri .
x(t)逸T(t)棕+ I T(t-s)f(s，x(s)，x(s-Ti)，Xs)ds+ 移 T(t-tk)/k(x(tk))，VtEj-
由引理5及引理6的证明知，
|T(t一s)f(s，x(s)，x(s-子l)，Xs)ds逸0，VtE/，移^(t一tk)/k(x(tk))逸0，VtE/■
0 0 < tk < t故x(t)逸T(t)棕逸0，t沂允.又由E+的正规性知，N|x(t) |逸| T(t)棕|，t沂允，从而 |x(t)|逸j
|T(t)棕I，tEj，故||x II逸|，这与ri的取法相矛盾，从而断言成立。
,
肄 , •,
蓸麗 I0 [a(s)+ b(s) + Tc(s)]ds + NK移 Pk 蔀，^栽，显然
r2
,
(ii) 取实数 r2 >max!NT exp 断言V x E鄣孕悦，Sx > x .r2 7
> ri，我们
6
(St)(t)= T(t)棕 + 乙 r(t-s)/(s,x(s),x(s-r1),Xs)ds+ 移 T{t-tk)Ik(x(tk))1 0 0 我们先给出证明过程中所需要的假设： ⑶ (匀〇/(t，x，y，准):允伊耘+伊耘+伊L+ ^耘+连续，且/映允伊耘+伊耘+伊L+中的有界集为耘+的有界集；(匀圆)存在允上的非负可积函数a(t)，b(t)和c(t)使得 | /(t，x，y，准）| 臆 a(t) |x| + b(t) |y| + c(t) || 准椰袁 V(t，x，y，准）沂允伊耘+ 伊耘+ x L+；(匀3)Ik(x)+寅耘+连续，且存在常数内> 〇(k=1，2…），使得 I Ik(x) I臆Pk|x|，Vxe/ ;且移内臆肄 k = 1 在给出主要结果之前，我们先证明几个重要的引理：引理5 孕悦+，孕悦+分别为Banach空间孕悦[/，£]，孕悦([-子，0]，耘)上的正规锥，且其正规常数均为1 证明以下仅证明孕悦+为孕悦([-子，0]，耘)的一个正规锥且正规常数为N.假定0臆x臆y，其中孕悦+， 则V t沂[原子，0]，有0臆x(t)臆y(t).从而由耘+的正规性知，V t沂[原子，0]有| x(t) |臆N| y(t) |.故有 l|x||〇臆N||y||〇成立，引理5得证。 引理6在假设(匀1)和(匀猿)下算子杂是从孕悦+到孕悦+中的映射，即杂:孕悦+寅孕悦+. 证明由(匀1)及引理2易知，VtEj有|0T(t-s)/(s，x(s)，x(s-Ti)，xs)ds逸0.再由(匀猿)及引理2知，移T(t-tk)Ik(x(tk))逸0,由棕逸0及半群T(t)的正性知T(t)棕逸0.故杂把孕悦+映到孕悦+即杂:孕悦+寅孕悦+. 0< tk < t 引理6得证. 引理7 在假设(匀1)，（匀2)，(匀3)的条件下，上述⑶式所定义的算子杂:孕悦+寅孕悦+是连续的。 证明证明算子杂在孕qj，E]中是连续的。即Vx„沂孕qj，£]满足，x„寅x〇(n寅肄），其中x〇E孕qj，E]. 下证&„寅&〇(^寅肄).由反证法知，若上式不成立，则存在着〇>0，&〇>0和{^;}奂{^}使得||5尤„)-5尤0||逸着〇,片，2，猿，…. 由于II xn-x。||寅0( j寅肄），所以对于任意的s逸0有 椰 x„.s -x0s ^0 = S -z = 乙- |x n (s+r) - x 0(s+r) |dr臆子椰 xj „S -x0s ^1 寅)（寅肄） 由假设(匀1)，（匀2)，（匀猿），引理2及Lebesgue控制收敛定理知， | T(t-tk)[Ik(x„.(tk))-Ik(x0(tk))] |寅>0(n寅^)k=1，2,…，k0-1 j\" \\ 且乙 0 |T(t-s)[/(s，x„j.(s)，x„j.s)-/(s，x0(s)，x0S)]|ds寅0( j寅肄） 这与反证假设|| Sx„.-Sx0 ||逸着0, j=1，2,3,…产生矛盾，故算子S是连续的。引理7得证。引理8算子。 证明对于任意的有界的阅奂孕悦+，由假设(匀1)易证杂(阅)是有界的。 V T >0,对有界的D奂孕悦[(0, T]，耘+]，若x沂阅且s 1 > S2逸0，则由假设(匀2)和(匀3)可以得到 I (Sx)(S1)-(Sx)(S2) I 在假设(匀1)，（匀圆)，(匀猿)的条件下，如⑶所定义的算子S是孕悦+中的紧算子，从而是全连续 = |T(s〇棕+乙 T(S1-s)/(s，x(s)，x(s-T1)，xs)ds+ 移 T(s1-tk))k(x(tk)) ^ 0 0 < tk < S1 -T(S2)棕 + 乙 T(S2-s)/(s，x(s)，x(s-T1)，xs)ds-移 T(S2 - tk)7k(x(tk)) I 0 0 < tk < s2 7 臆 T(si~s) f(s ,x(s), x(s-Ti),xs)ds- I T(s2-s) f(s ,x(s), x(s-Ti),xs)ds■\\T(s员)棕-T(s2)棕0 < tk < s, 移 T(s1 - tk))k(x(tk))-移 T(s2 - tk))k(x(tk)) 0 < tk < s2移 | T(s1 - tk)- T(s2 - \\ \\lk(((tk)) I 臆 [T(s「s)- T(s2-s)]f(s ,x(s),x(s-Ti),Xs)ds ■|T(si)-T(2) I I 棕垣 I |T(s「s)f(s，x(s)，x(s-T,)，Xs) |ds+ 移 | T(s, - tk) | |/k(x(tk)) |臆陶-％2)||棕|-|T(s广s)-T(s2-s) |b(s)|| x(s)|| + c(s)|| x(s-Ti)|| + d(s)T || Xs ||〇)ds ■运 | (a(s)+b(s)|| x(s)|| + c(s)|| x(s-T,)|| + d(s)T || Xs |)ds + k 移 |/k(x(tk)) | 垣移 I T(s 1 - tk)- T(s2 - tk)椰 Ik(x(tk)) | tk < s2 再由引理2可推知，对于任意的着>0,总可以找到一个啄>0使得| (&)〇1)-(&)〇2) | <着，其中x沂D 且|s,-s2 |<5，s,，s2E(0，ti].所以(&D)(t)在(0，ti]上等度连续，类似地可以证明(&D)(t)在(0,7]上逐段等 度连续，故杂阅是相对紧的。再由T的任意性知，算子杂是孕悦垣中的紧算子，从而是全连续算子，引理8 得证。 主要定理设孕悦垣为孕悦[/，£]的一个正规锥且假设(匀员），(匀圆)和(匀猿)均成立，则对于坌椎沂孕〇{〇}，棕沂E+ \\嗓0}，方程（1)在Banach空间孕qj，E]中至少存在一个全局正解軇t)，t沂允. 证明对任意固定的实数々>0记赘茁={x沂孕qj，E]:|| x ||臆S }，孕悦茁=孕悦垣疑赘茁，则鄣孕悦+=孕悦垣疑坠赘j 由引理1，对于任意固定的棕沂E+ \\嗓〇}，sup{ | T(t)棕|颐t沂J }是一个有限的正常数，记为T .(i) 取任意实数r1(0 < n < |)，我们断言Vx沂鄣孕悦。，Sx > x .若上述断言不成立，则3x沂鄣孕悦。，使得Sx臆x成立，此时|| x || = n . x(t)逸T(t)棕+ | T(t-s)f(s，x(s)，x(s-T1)，xs)ds+ 移 T(t-tk)/k(x(tk))，VtEj. 由引理5及引理6的证明知， J 0 fT(t一s)f(s，x(s)，x(s-子l)，Xs)ds逸0，VtE/，移^(t一tk)/k(x(tk))逸0，VtE/■ 0 < tk < t 故x(t)逸T(t)棕逸0，tE允■又由E+的正规性知，N|x(t) |逸|T(t)棕I，tE允，从而 |x(t) |逸去I T(t)棕|，t沂允，故|| x ||逸^栽，这与n的取法相矛盾，从而断言成立。 (ii) 取实数厂圆 >max|NT exp 蓸晕K | [a(s)+ b(s) + Tc(s)]ds + NK移 ^ j，吾■，显然 r2 > r1，我们断言 V x E dPCr，Sx < x ■ 若上述断言不成立，则埚x沂鄣孕悦，使得Sx逸x成立，此时|| x || = r2 . 入 f t A. A. A. \\ ' A.0臆x(t)臆T(t)棕 + | T(t-s)-f(s，x(s)，x(s-T1)，xs)ds + 移 T(t - 6左)）;(尤（左）），坌 t e 允■ 0 0 < tk < t 由E+的正规性知， 8 (t)棕+ I T(t-s)-f(s ,：赞(s )袁 oc (s-rx)袁 ocs)ds + 移 T(t - tk))k(c (tk))|x(t)|臆晕栽 J 0 0 < tk < t 臆晕|T(t)棕卜晕 |〇 |T(t-s)-f(s,x(s),x(s-Ti),〇s)|ds +晕移 |T(t - tk)/k(x(tk))| 臆 NT + NK | 〇[a(s)+ b (s) + rc(s )]| X(s) |ds + NK 移 pk\\； (tk)|,VtE/. 0 < tk < t 由引理3知， I x(t) | 臆NT 仪（1+ NKpk)exp(NK | [a(s)+ b(s) + Tc(s)]ds 蔀，t 沂允■ o \\ J 0 0 < tk < t I臆NTexp蓸NK I [a(s)+ b(s) + rc(s)]ds + NK移 _Pk j ■ 所以 II x 椰臆NT exp (Nk|: [a(s)+b(s) +Tc(s)]ds +狐移 Pk 卜 r2. 这与r2的取法相矛盾，从而上述断言成立。 由锥压缩不动点定理知，算子杂在孕悦垣疑（孕悦2\\孕悦。）上至少存在一个不动点，不妨记为x ■则 x(t)=T(t)棕+| T(t-s)f(s，x(s)，x(s-r1)xs)ds+ 移 T(t-tk)/k(x；(tk)),VtEj. [〇(0+)=棕，棕沂耘垣 且x(0+)=棕从而x是方程(1)满足初始条件嗓 + jx(0)=椎，椎沂孕悦0 ri臆| x |臆^,故方程(1)在 〜 〜 〜 的全局正解,显然軇t)逸0, te/且 孕悦垣中至少存在一个正解。 3应用举例 设/=(0,+叫，tk =~2+f寅+肄(k寅肄）,/忆=[0,+肄)\\jtk :k=1,2, — }，赘为俨中的有界集。考虑下列抛物型偏微分方程 坠棕-=Ax +f(t,棕(t-1),棕t), t沂赘伊/,t沂坠赘伊/,t = tkx沂坠赘 x沂赘 棕(x ,0)=棕(x,+肄)， Tk(棕(x,tk)) =去棕(x,tk), (4) 棕(x,0+)=棕 棕(x,0)=棕 0(x) 其中生成兀粤=移移ay(x) J坠-移a;(x)冬-〇q(x),A中的系数a^xXa^x), a〇(x)在赘中是 坠x^坠x； i 坠x^i=1 j=1 H觟Ider连续的，则A是正且紧的压缩半群;棕t =棕(x,t+兹），兹沂[—^ Q];棕以+ ;棕0(x)以sinx; f(t,^(x,t-1),^t) = e-8t^(x,t-1)+ e-4t sint2 | 棕（t+兹）d兹，则 a(s)=0,b(s) = e'cfs) = e\"4,内=7^,显 •* _ 丄 k2 然(匀员），(匀2)和(匀猿)均满足，故方程至少有一个正解。 9 参考文献： [1] 郑祖庥.泛函微分方程理论[M].合肥:安黴教育出版社，1994. [2] WU J H. Theory and applications of partial functional differential equations[M]. Springer: New York.1996.[3] 王良龙.抽象半线性泛函微分方程正解的存在性[J].数学理论与应用，2001，（1):94-99. [4] WANG L L，WANG Z C. Monotone iterative techniques for parameterized BVPs of abstract semilinear evolution equations[J]. Computers and Mathematics with Applications，2003，46(8-9):1229-1243. 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THE EXISTENCE OF THE POSITIVE SOLUTIONS OF SEMILINEAR IMPULSIVE FUNCTIONAL DIFFERENTIAL EQUATIONS PAN Xin WU Zheng WANG Liang-long (Anhui University, Hefei Anhui 230031) Abstract： This paper is concerned with the existence of the positive solutions of semilinear impulsive functional differential equa tions in abstract space under the certain conditions by combining the semi-group theory of linear operators, the fixed point theorem in cones with the impulsive integral inequality of Gronwall type. Key words: Compact -semigroup； Semilinear impulsive functional differential equations； Positive solutions； Impulsive integral inequality of Gronwall type 责任编辑:杨松水 校对:陈侃 10 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容