一道“燕尾”形几何题的多角度思考

２００８年第１０期　一道　燕后　何题的ｊ　霸ｊ度思　考　赵军　（江苏省东台市新街镇中学，２２４２３４）　本文以一道“燕尾”形几何题为例，展示　如何从多角度思考问题，希望对同学们的学　习有所帮助．　题目　如图１，探　索　Ａ、　Ｂ、　Ｃ、　ＢＰＣ四个角之间的　数量关系．　Ｂ　Ｃ　１．运用外角进行　图１　转化　方法１：如图２，联结　Ｐ并延长至点　．　因为　１＝　Ｂ＋　３，Ｚ２＝　Ｃ＋ｌ＿４，则　１＋　２＝　Ｂ＋　３＋　Ｃ＋　４。　故　ＢＰＣ＝　ＢＡＣ＋　Ｂ＋　Ｃ．　Ｂ　－Ｄ　Ｃ　图２　图３　方法２：如图３，延长　交ＡＣ于点Ｅ．　因为　１＝　Ａ＋　，．　）ｃ＝　１＋　Ｃ，　所以，　ＢＰＣ＝　Ａ＋　Ｂ＋　Ｃ．　２．运用三角形内角和进行转化　方法３：如图４，联　结ＢＣ．因为在△ＰＢＣ　中，　２＋　ＢＰＣ＋　３　＝１８０。，则　Ｃ　２＋　３　＝ｌ８０ｏ一　胱．　图４　在△ＡＢＣ中，　Ａ＋　１＋　２＋　３＋　４＝１８０￣，则　＋　１＋（１８０。一　ＢＰＣ）＋Ａ４　＝１８　ｏ．　町求得　ＢＰＣ＝　Ａ＋　１＋　４．　方法４：如图５，联　结ＡＰ，因为在△ＰＡＢ　中，　１＋　＋　ＡＰＢ　＝１８０￣，所以，　Ｃ　１　Ｂ　图５　＝１８　ｏ一　ＡＰＢ．　同理可得　２＋　Ｃ＝１８０。一　ＡＰＣ，　１＋　曰＋　２＋　Ｃ　＝３６０￣一（　ＡＰＢ＋　ＡＰＣ），　即　ＢＰＣ＝　Ｃ＋　Ｂ＋　Ｃ．　方法５：如图６，过　点尸作直线ＭＮ，分别　交ＡＢ、ＡＣ于点Ｍ、Ⅳ．　在△ＡＭＮ中，　１８０。．因为　Ａ＋　１＋　３＝　图６　ｌ＝　Ｂ＋　２，　３＝　Ｃ＋Ｚ４，　则　Ａ＋　＋　２＋　Ｃ＋　４＝１８０。　从而　Ａ＋　Ｂ＋　Ｇ　＝１８０。一（Ａ２＋Ｚ４）＝　ＰＣ，　即　Ｐｃ＝　Ａ＋　＋　Ｃ．　３．构造平行线进行转化　方法６：如图７，过　点Ｐ作　／／ＡＢ，交ＡＣ　于点Ｋ．因为　ＰＫ／／ＡＢ，所以，有　ｌ＝　Ａ，　‘　图７　２＝　Ｂ．　中学教与学　梯形中常用的蕊　镶　李爱君　（山东省临清市先锋中学，２５２６００）　１．平移一腰——将梯形一部分转化成平　行四边形　故应选（Ｂ）．　２．延长两腰——将梯形转化为三角形　例２　如图２所　例１如图１，　Ａ　Ｂ　梯形ＡＢＣＤ中，ＡＢ∥　ＣＤ，船１６，　＝示，已知在梯形ＡＢＣＤ　ＡＢ｝｝ＣＤ，　Ｃ＝　８０。，　Ｄ＝５０。，ＡＢ　４，　＝８，ＣＤ＝　Ｄ　Ｃ＝３０￣，　６０。．则腰ＢＣ的长　ＤＣ＝１０．求ＢＣ的长．　解：如图２，分别延　Ｄ　图２　Ｃ　为（　）．　（Ａ）３√３　（ｃ）　（Ｂ）４√３　（Ｄ）５４３　长ＤＡ、ＣＢ交于点Ｆ．　曰＝／Ｄ＝５０。，　删＝　Ｃ＝８０。．　因为ＡＢ∥ＤＣ，　Ｄ＝５０￣，　Ｃ＝ＳｔＹ，所以，　解：过点Ａ作ＡＰ∥ＢＣ，交ＣＤ于点Ｐ．　因为ＡＢ∥ＣＤ，ＡＰ∥ＢＣ，所以，四边形　ＡＰＣＢ是平行四边形．因而有　ＡＰＤ＝　Ｃ＝３０。，ＡＰ＝ＢＣ，ＡＢ＝ＰＣ．　可得　Ｆ＝５０￣，　ＦＡＢ＝　Ｆ，　Ｄ＝　Ｆ．　则ＢＦ＝ＡＢ＝４，ＣＦ＝ＣＤ＝１０．　故ＢＣ＝６。　则　Ｄ＋　ＡＰＤ＝９０。，　ＰＤ＝ＣＤ—ＣＰ＝１６—８＝８．　３．作高——将梯形转化为直角三角形和　矩形　故△ＤＡＤ为直角三角形．　例３　如图３，已　知在梯形ＡＢＣＤ中，　Ａ　曰　所以，ＡＤ＝去ＤＰ＝４，　ＰＡ：ＰＤ—２－—ＡＤ２：　：４　，　ＡＢ　｛ＣＤ　ＡＥ　ＤＣ，　ＡＥ　１２，ＢＤ＝１５，ＡＣ　Ｄ　Ｅ　Ｆ　Ｃ　即　Ｃ＝４√３．　又因　３＝／ｌ＋　Ｃ，所以，　３＝　Ａ＋　Ｃ．　＝２０．求．ｓ梯　脚．　图３　又　１－－Ｉ－　ＢＰＣ＝３６０。，所以，　尸Ｃ＝　Ａ＋　Ｂ＋　Ａ　Ｃ．　故　ＢＰＣ＝Ｌ２＋　３　＝　Ａ＋　Ｂ＋　Ｃ．　４．运用凹四边形内角和直接转化　方法７：如图８，在凹四边形ＡＣＰＢ中，因　为　Ａ＋　曰＋　１　４－　Ｃ＝３６０￣，　图８