人教版初三(上)数学第65讲：旋转的应用(学生版)

旋转的应用

1.旋转：将一个图形绕着某点O转动一个角度的变换叫做旋转。其中，O叫做__________，转动的

角度叫做__________。

2.旋转性质

⑴ 旋转后的图形与原图形_______ ⑵ 对应线段与O形成的角叫做旋转角 ⑶ 各旋转角都相等

3.平移：将一个图形沿着某条直线方向平移一定的距离的变换叫做平移。其中，该直线的方向叫做

平移方向，该距离叫做平移距离。

4.平移性质

（1） 平移后的图形与原图形全等

（2） 两个图形的对应边连线的线段_______（等于平行距离） （3） 各组对应线段平行且相等 5.中心对称与中心对称图形

（1） 中心对称：若一个图形绕着某个点O旋转180°，能够与另一个图形____________，则这

两个图形关于这个点对称或中心对称。其中，点O叫做对称中心.两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。

（2） 中心对称图形：若一个图形绕着某个点O旋转180°，能够与原来的图形完全重合，则这

个图形叫做中心对称图形。其中，这个点叫做该图形的___________。

6.轴对称与轴对称图形

(1)轴对称：若两个图形沿着某条轴对折，能够________，则这两个图形关于这条轴对称或它们成

轴对称。其中，这条轴叫做对称轴。

注：轴对称的性质：① 两个图形全等；② 对应点连线被对称轴垂直平分

（2）轴对称图形：若一个图形沿着某条轴对折，能够完全重合，则这个图形叫做轴对称图形。 7.点的对称变换

（1）关于原点对称的点的特征

两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于__________的对称点为

1

P＇（-x，-y）

（2）关于x轴对称的点的特征

两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P＇（x，-y）

（3）关于y轴对称的点的特征

两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于__________的对称点为P＇（-x，y） （４）关于直线y＝x对称

两个点关于直线y＝x对称时，横坐标与纵坐标与之前对换，即：P（x，y）关于直线 y＝x的对称点为P＇（y，x）

（5）两个点关于直线y＝-x对称时，横坐标与纵坐标与之前完全相反，即：P（x，y）关于直线y＝

x的对称点为P＇（-y，-x）

注：y＝x的直线是过一三象限的角平分线，y＝-x的直线是过二四象限的角平分线。

1.旋转的定义

【例1】下列是中心对称图形的有（ ） （1）线段；（2）角；（3）等边三角形；（4）正方形；（5）平行四边形；（6）矩形；（7）等

腰梯形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【解析】根据中心对称图形的定义：若一个图形绕着某个点O旋转180°，能够与原来的图形

完全重合，则这个图形叫做中心对称图形进行判断即可.

【答案】C

练习1. 下列文字中属于中心对称图形的有（ ）

A．干 B．中 C．我 D．甲

练习2. 已知下列图形（1）矩形；（2）菱形；（3）等腰梯形；（4）等腰三角形．其中是轴对

称图形，而不是中心对称图形的序号是（ ） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（3）（4）

2.轴对称和中心对称

【例2】下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）

Ａ Ｂ

Ｃ

Ｄ

【解析】根据轴对称和中心对称的定义判断即可。 【答案】D

练习3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

Ａ

Ｂ

Ｃ

Ｄ

练习4. 在等边三角形、平行四边形、矩形和圆这四个图形中，即是轴对称图形，又是中心对

1

称图形的有（ ） A．1个 B．2个

3.坐标的对称

C．3个

．

D．4个

【例3】点P(5，3)关于原点的对称点的坐标为

【解析】关于远点对称的坐标想x，y都取相反数即可。 【答案】(5，3)．

练习5．已知点P(2，3)和点Q(2，3)，则P，Q两个点的位置关系是 练习6．点P(3，4)关于原点对称的点的坐标为（ ）

A．(3，4)

4.对称图形的作法 【例4】已知：如图

（1）画出（2）画出（3）

中心．

A

B．(3，4)

C．(3，4)

D．(4，3)

．

ABCD．

A1B1C1D1，使A2B2C2D2，使

A1B1C1D1与A2B2C2D2与

ABCD关于直线MN对称； ABCD关于点O中心对称；

A1B1C1D1与A2B2C2D2是对称图形吗？若是，请在图上画出对称轴或对称

Ｂ C D O

【解析】按要求作图，关于直线对称的两图形沿直线折叠完全重合，中心对称绕对称中心180°，

图像完全重合。 【答案】解：（1）如图，

（2）如图，

N A1B1C1D1，就是所求的平行四边形．

A2B2C2D2，就是所求的平行四边形．

（3）是轴对称图形，对称轴是直线EF．

1

A B F

C A1 D D1 O B1

D2 A2 C1 E C2 B2

N 练习7．如图，每个小正方形的边长为1个单位，对于A，B的位置，下列说法正确的是（ ）

A．如果B(0，0)，则A(2，2)

B．以A为原点，右为正方向，上为正方向建立直角坐标系，则点B在第一象限

C．A与B的距离为两个单位长

0) D．以B为原点建立坐标系，A的坐标为(2，B A

练习8. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，5)，B(51)，，C(2，1)，将△ABC绕

点C按顺时针方向旋转90，得到△DEC，则点D的坐标为（ ） A．(1，2)

B．(2，， 1)C．(11)D．(2，2)

Ａ Ｅ y Ｂ Ｃ Ｏ Ｄ x

5. 图形的旋转

，C【例5】如图，等边△ABO的边长为2，顶点B在y轴上，边AC在x轴上，请写出点A的坐标___________．

1

y Ｂ Ａ Ｏ Ｃ x

【解析】A和C点关于y轴对称，根据坐标的对称即可求出。 【答案】10，，10，．

练习9. 下面的方格纸中，画出了一个“小猪”的图案，已知每个小正方形的边长为１．

（1）“小猪”所占的面积为多少？

（2）在上面的方格纸中作出“小猪”关于直线DE对称的图案（只画图，不写作法）； （3）以G为原点，GE所在直线为x轴，GB所在直线为y轴，小正方形的边长为单

位长度建立直角坐标系，可得点A的坐标是（ ， ）． B C A G D Ｆ Ｅ 练习10． 将图中的△ABC作下列运动，画出相应的图形，并指出三个顶点所发生的变化． （1）沿x轴正方向平移3个单位； （2）关于x轴对称；

（3）绕O点旋转180．

y 3 4 3 2 1 1 1 x 1

6. 旋转的应用

【例6】如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD，连结DC，以DC为边作

等边△DCE，B，E在C，D的同侧．若AB2,则BE=______．

ABCDE

【解析】根据等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质解答．

∵△ABC等腰直角三角形∴AC=BC，∵△ABD是等边三角形

∴BD=AD∴△ADC≌△BDC∴∠BCD=（360°-90°）÷2=135°又∵∠CBD=60°-45°=15° ∴∠CDB=180°-135°-15°=30°，∠BDE=60°-30°=30°∴CD=ED，∠CDB=∠BDE，BD=BD

∴△BCD≌△BED∴BE=CB=

【答案】BE=1．

练习11. 如图，菱形ABCD的中心是坐标原点，且AD∥x轴，点A的坐标为(4，3)，那么

×sin45°=1∴BE=1．

C点的坐标为（ ）

A．(4，3)

B．(3，4)C．(4，4)

D．(3，3)

y Ａ Ｄ Ｏ Ｂ Ｃ x

练习12. 如图所示：ABC中，ACB90，ACBC，P是ABC内的一点，且AP3，

CP2，BP1，求BPC的度数．

B1P2C3A练习13. （2014湖北咸宁一模）如图①，已知ABC是等腰直角三角形，BAC，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE、BG．

1

⑴试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论．

⑵将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0，小于或等于360°），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．

⑶若BCDE2，在②的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值．

FGAFGAEBD①CEBD②C

1．下列现象属于旋转的是（ ）

A．摩托车在急刹车时向前滑动; C．运动过程中篮球的滚动

B．拧开自来水水龙头 D．空中下落的物体

2．（2014江苏无锡一模）如图，△OAB绕点O逆时针旋转80到△OCD的位置，已知

AOB45，则AOD等于（ ）

A．55 B．45 C．40 D．35

3．如图1所示，紫荆花图案旋转一定角度后能与自身重合，则旋转的角度可能是 ( )

A．30° B．60° C．72° D．90°

图1

4．如图2，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心( )． A．顺时针旋转60°得到 B．顺时针旋转120°得到 C．逆时针旋转60°得到 D．逆时针旋转120°得到

1

图2

5．（2014辽宁葫芦岛一模）如图3，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同，它是( )．

图3

6．（2014湖北咸宁一模）如图，在Rt△ABC 中，ABAC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90后，得到△AFB，连接EF，下列结论： ①△AED≌△AEF； ②△ABE∽△ACD； ③BEDCDE； ④BE2DC2DE2 其中正确的是（ ）

A．②④； B．①④； C．②③； D．①③．

AFBED(第8题图）C

内部一点，

、

、

的大小之

7．（2014云南西双版纳一模） P是等边

比是5:6:7，所以PA、PB、PC的长为边的三角形的三个角的大小之比是 .

图8

8．如图9，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到的正方形EFCG,EF交AD于点H,那么DH的长为______。

1

图9 9．如图10所示，△ABP是由△ACE绕A点旋转得到的，那么△ABP与△ACE是什么关系？若∠BAP＝40°，∠B＝30°，∠PAC＝20°，求旋转角及∠CAE、∠E、∠BAE的度数。

E APBC图10 10．如图11，在平面直角坐标系中，先把梯形ABCD向左平移6个单位长度得到梯形A1B1C1D1.

(1）请你在平面直角坐标系中画出梯形A1B1C1D1 ； (2）以点C1为旋转中心，把（1）中画出的梯形绕点C1顺时针方向旋转90 得到梯形A2B2C2D2 ，请你画出梯形A2B2C2D2．

11．如图12在ABC中，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC边上两点，且ED⊥FD，你能说明BE+CF>EF的道理吗?

A

E

B

图11 F

D C

图12

12．在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点 都在格点

1

上（每个小方格的顶点叫格点）．

(1）画出△ABC向平移4个单位后的△A1B1C1；

(2）画出△ABC绕点O顺时针旋转90后的△A2B2C2，并求点A旋转到A2所经过的路线长．

图13

13.探究：

（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，试判断BE、DF

与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果： ；

（2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E、F分

别是边BC、CD上的点，且∠EAF=

1∠BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，2请给出证明，若不成立，请说明理由；

（3）在（2）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，

如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明..

_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________

1

1. 如果一个图形是中心对称图形，那么对称点的连线段被________平分，对应线段________且________． 2. 已知A那么线段AB，B，O三点不在同一直线上，A，A关于O点对称．B，B关于O点对称，与AB__________．

3. 正方形是中心对称图形，它绕它的中心，旋转一周和原来的图形重合________次．

4. 正方形是中心对称图形，对称中心是________ ，正方形也是轴对称图形，共有_______条对称轴． 5. 一条线段是轴对称图形，因为_______是它的对称轴；它又是中心对称图形，它的对称中心是________．

6．等边三角形至少旋转__________度才能与自身重合。

7．如图5，四边形ABCD为正方形，P为正方形ABCD外一点，ABP经过旋转后到达BCQ的位置，那么旋转中心是 ，旋转角是 度。

APQBCD 图5 ①,②,④中阴影部分的分布规律，按此规律在图③中画出其中的阴

8．分析图6中影部分

图6

9．如图7，△ABC绕点B逆时针方向旋转到△EBD的位置，若∠A＝15°，∠C＝10°，E，B，C在同一直线上，则∠ABC＝________，旋转角度是________ 图7

10.如图，下列对图形判断正确的是（ ）

A．非对称图形

B．既是轴对称图形，又是中心对称图形 C．是轴对称图形，非中心对称图形 D．是中心对称图形，非轴对称图形

11. 你玩过扑克牌吗？你仔细观察过每张扑克牌的图案吗？请你指出图案是中心对称图形的一组为

1

（ ）

A．黑桃6与黑桃9 B．红桃6与红桃9 C．梅花6与梅花9 D．方块6与方块9

12. 在下列几何图表中：①两条互相平分的线段；②两条互相垂直的直线；③两个有公共顶点的角；④两个有一条公共边的正方形．其中是中心对称图形的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13. 经过矩形对称中心的任意一条直线，把矩形分成面积分别为S1，S2的两部分，则（ ）

A．S1S2 C．S1S2

B．S1S2

D．S1与S2的关系由直线的位置确定

14. △ABC和△ABC关于点O对称，下列结论不正确的是（ ） A．AOAO B．AB∥AB C．COBO D．BACBAC 15. 下列说法正确的是（ ）

A．会重合的图形，一定是轴对称图形 B．中心对称图形，一定是会重合的图形

C．两个成中心对称的图形的对称点的连线不一定过对称中心 D．两个会重合的三角形一定关于某一点成中心对称 16.如图，已知D，E分别是正三角形的边BC和CA上的点，且AE=CD，AD与BE交于P，则∠BPD______°

AEPBDC

17.已知：正方形ABCD中，MAN45，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．

（1）如图1，当MAN绕点A旋转到BMDN时，有BMDNMN．当MAN 绕点A旋转到BMDN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；

（2）当MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．

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