江苏省盐城市2019届高三第一学期期中考试数学试题

数学试题

（总分160分，考试时间120分钟）

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）

1．若全集U＝{1，2，3}，A＝{1，2}，则∁UA＝． 2．函数ylnx的定义域为．

3．若钝角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P(m，

3)，则tan＝ 2．

4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝5，c＝7，则角C＝．

5．已知向量m(1，1)，n(cos，sin)，其中[0，]，若m∥n，则＝．

6．设等差数列an的前n项和为Sn，若a36，S749，则公差d＝． 7．在平面直角坐标系中，曲线yex2x1在x＝0处的切线方程是．

k2x8．设函数f(x)，则k＝﹣1是函数f(x)为奇函数的条件（选填“充分不必要、

1k2x必要不充分、既不充分又不必要、充要”之一） 9．在△ABC中，AB＝2，AC＝1，A＝则AD＝．

10．若函数f(x)sin3xm(0m1)的所有正零点构成公差为d(d＞0)的等差数列，则

d＝．

11．如图，在四边形ABCD中，A＝

3，点D为BC上一点，若ABAD2ACAD，

3，AB＝2，AD＝3，分别延长CB、CD至点E、F，

使得CECB，CFCD，其中＞0，若EFAD15，则

的值为．

12．已知函数f(x)(xm)e数m的取值集合

为．第11题

x12x(m1)x在R上单调递增，则实213．已知数列an满足2anan1an3an1+2=0，其中a1数列bn中唯一最小项，则实数的取值范围是．

1n，设bn，若b3为2an114．在△ABC中，tanA＝﹣3，△ABC的面积S△ABC＝1，P0为线段BC上一定点，且满足

1CP0＝BC，若P为线段BC上任意一点，且恒有PAPCP0AP0C，则线段BC的

3长为．

二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文

字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）

若函数f(x)sin(ax点之同的距离为π．

（1）求a，b的値；

（2）求f(x)在[0，

3)b(a＞0，b＞0)的图象与x轴相切，且图象上相邻两个最高

4]上的最大值和最小值．

16．（本小题满分14分）

已知命题p：函数f(x)x22mxm的图象与x轴至多有一个交点，命题q：log2m11．

（1）若q为真命题，求实数m的取值范围；

（2）若pq为假命题，求实数m的取值范围．

17．（本小题满分14分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3cosCsinC（1）求A的大小；

（2）若b＋c＝6，D为BC的中点，且AD＝22，求△ABC的面积．

3b． a 18．（本小题满分16分）

如图，PQ为某公园的一条道路，一半径为20米的圆形观赏鱼塘与PQ相切，记其圆心为O，切点为G．为参观方便，现新修建两条道路CA、CB，分别与圆O相切于D、E两点，同时与PQ分别交于A、B两点，其中C、O、G三点共线且满足CA＝CB，记道路CA、CB长之和为L．

（1）①设∠ACO＝，求出L关于的函数关系式L()；②设AB＝2x米，求出L关于x的函数关系式L(x)．

（2）若新建道路每米造价一定，请选择（1）中的一个函数关系式，研究并确定如何设计使得新建道路造价最少．

19．（本小题满分16分）

已知正项数列an的首项a11，前n项和Sn满足anan2Sn．

2（1）求数列an的通项公式；

（2）若数列bn是公比为4的等比数列，且b1a1，b2a2，b3a3也是等比数列，若数列an单调递增，求实数的取值范围；

bn（3）若数列bn、cn都是等比数列，且满足cnbnan，试证明: 存在三项．

数列cn中只 20．（本小题满分16分）

若函数yf(x)在xx0处取得极大值或极小值，则称x0为函数yf(x)的极值点．设函数f(x)x3ax2bx1ab，g(x)k(x1)，a，b，kR．

（1）若g(x)为f(x)在x＝1处的切线．①当f(x)有两个极值点x1，x2，且满足x1·x2＝1时，求b的值及a的取值范围；②当函数g(x)与f(x)的图象只有一个交点，求a的值；

（2）若对满足“函数g(x)与f(x)的图象总有三个交点P，Q，R”的任意突数k，都有PQ＝QR成立，求a，b，k满足的条件．

盐城市2019届高三年级第一学期期中考试

数学参考答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1.3 2. 1, 3. 3 4.

23 5. 6. 1 7. 34y3x2

8. 充分不必要 9.

523 10. 11. 12. 1 13.

6235,7 14.6

二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.

15．解：（1）因为图像与x轴相切，且b0，所以yf(x)的最小值为0，即b1，又由最高点间距离为π，故（2）由（1）得fx分 当2x当2x2，即a2…………4分 a，当x0,sin2x+13125时，有2x，…………833643==2时，即x，fx有最大值2；

353时，即x，fx有最小值……………14分 642（规范阅卷说明：求最值时不交代x的值，各扣1分.）

16．（1）解：由log2m11，得1log2m11，…………2分

所以0log2m2，解得1m4，又因q为真命题，所以m4或m1. …………7分

（2）由函数f(x)x2mx+m图像与x轴至多一个交点，所以

2(2m)241m0，

解得0m1，…………9分

所以当p是假命题时，m0或m1， …………10分 由（1）q为真命题，即q是假命题，所以m4或m1，

又pq为假命题，所以命题p、q都是假命题， …………12分

m0或m1所以实数m满足，解得m4或m0. …………14分

m4或m1（阅卷说明：若第一问学生直接q解得m4或0m1,虽然错误，只扣2分，给5分；若第二问学生利用第一问的错误结论m4或0m1进行运算的，只要根据p是假命题求得m0或m1，第二问就再给4分.） 17．解:（1）由正弦定理

abbsinB3sinB知，所以3cosCsinC,

sinAsinAsinBasinA即3sinAcosCsinAsinC3sinB…………2分

所以3sinAcosCsinAsinC3sinAC3sinAcosC3cosAsinC，化简得

sinAsinC3cosAsinC …………4分

因为ABC中，sinC0，所以sinA3cosA，即tanA又A(0,)， 所以A=（

2

，

sinA3， cosA2…………6分 3）

因

为

1， …………8ADABAC2分

21所以ADABAC42221AB2ABACAC 412112b2bccosAc2=b2bcc2bc3bc8，由b+c=6，解得444bc=4……12分 3所以ABC的面积

11433 …………14分 SABCbcsinA22323（说明：用余弦定理处理的，仿此给分）

(阅卷规范说明：第一问中知值求角必须交代角A的范围，否则扣1分.) 18．解：（1）①在RtCDO中，ACO，所以CO20，所以sinCG2020…………2分 sin在

RtAGC中

2020CG2020sinsinACcoscossincos，所以

L=2AC

其中0,4040sin……4分

sincos…………5分 2②设ACy，则在RtAGC中CGy2x2，由RtCDO与RtAGC相似得，

COOD, CAAG即

y2x220202222，即xyx20x20y，即xyx20x+y，即

yx2xyx20x+y即xyx400x+yx3400x，化简得CAy2，

x4002x3800xLx=2CA2…………9分其中x20,…………10分

x4004040sin401+sin=（2）选择（1）中的第一个函数关系式L=2AC研究. sincossincos2240sin3+sin2cos240cossincos1sincossin=L22sincossincos

40sin3+2sin2140sin3sin2sin2140sin1sin2sin1==222sincossincossincos令

L=0，得

sin=51. …………14分 251令sin0=,当(0,0)时，L0，所以L递减；

251当(0,)时，L0，所以L递增，所以当sin=时，L取得

22最小值，新建道路何时造价也最少…………16分

2x3800x（说明：本题也可以选择（1）中的第二个函数关系式Lx=2求解，仿此给分）

x400(阅卷规范说明：第一问中有两个定义域，少交代或交代错误一个各扣1分；第二问中求最小值要交代单调性，否则扣2分，最后要交代结论，否则扣1分.)

2219．解：（1）anan2Sn，故当n2时an1an12Sn1，两式做差得

(an1an)(anan1)an1an …………2分

由{an}为正项数列知，anan11，即{an}为等差数列，故ann…………4分 （2）由题意，(4b12)2(b11)(16b13)，化简得 b1，

1，所以 31bn4n1，…………6分

3所

以

an+n+1bn4n13，由题意知

n1+4n+ an+1+an+n1+n+3n1n1n1bn+1bn4443333n+3123n>131330恒成立，即恒成立，所以，解得…………8

34n分

（3）不妨设{cn}超过3项，令bnbpn,cncqn，由题意anbncn，则有

2an1anan2，

即2(bn1cn1)(bncn)(bn2cn2)…………11分

带入bnbpn,cncqn，可得bp(p1)cq(q1) （*）， 若pq1则bncnbc，即{an}为常数数列，与条件矛盾;

若p1,q1，令n1,得bp(p1)2cq(q1)2，令n2,得bp2(p1)2cq2(q1)2，两式作商，可得pq，带入（*）得bc，即{an}为常数数列，与条件矛盾，故这样的{cn}只

…………16分

20．解：（1）①由f(x)3x22axb，因函数f(x)x3ax2bx1ab有两个极值点x1,x2， 所

以

有

n2n23项 …

f(x)23x2a两x个0b不

等的实数根

x1,x2， ……………2分

所以(2a)4b322，0即a3b，又x1x2b1，所以b3，a3或3a3. ……………4分

②因g(x)k(x1)为函数f(x)在x1处的切线，

所以

， ……fk(………5分

yf(x)联立方程组，即x3ax2bx1ab(32ab)(x1)，

yg(x)所

以

2(x， ……1x………7分

整理得(x1)2(xa2)0，解得x1或xa2， 因

g(x)与

f(x)只有一个交点，所以

a21，解得

a3. ……………9分

（2）联立方程组2yf(x)，由②得(x1)[x2x1a(x1)bk]0，

yg(x)即(x1)[x(a1)xab1k]0，方程有一根x1 因g(x)与f(x)有三个交点， 所

以

x2(a1)xa有1b两0k个不

等实根

x1,x2， ……………11分

因g(x)与f(x)有三个交点P,Q,R且满足PQQR， 所

以

实

数

根

x1,x2,1满足

2x1x21，或

2x2x11，或

x1x22， ……………12分

因k为满足g(x)与f(x)有三个交点的任意实数，

令kab1，则x2(a1)x0，解得x10，x2a1， 当2x1x21时，得x2a11，a0，

22此时xxb1k0，令kb7，则xx60，

解得x13，x22，不满足2(3)21与2231，不符题意； 同

理

2x2x11也不符题

意； ……………14分 当x1x22时，由0(a1)2，得a3， 此时x2xb2k0总满足x1x22，

为此只需x2xb2k0有两个不等的实根即可，

2所以(2)4(b2k)0，化简得kb3，

22综上所述，

a,b,k应满足条件

a3与

kb3. ……………16分

（另解，仿解法一给分） 法二：同法一得

x2(a1)xab1k0有两个不等实根

x1,x2， ……11分

所以x1x2a1， 由2x1x21，解得x1a3，x2a231， 此时xa2a1x2(3)(31)ab1k，所以kab1a3(2a31)为常数，不满足“k为满足g(x)与f(x)有三个交点的任意实数”，故不符题意； 类

似

的

2x2x11也不符意； ……………14分 余下同方法一.

题