恒成立问题

1、f (x)是偶函数，且在(0,+∞)上是增函数，若x∈[

立，则实数a的取值范围是_________.

1,1]时，不等式f (ax+1)≤f (x－2)恒成21x131（－2,0,提示|ax1|2x1a1) 2xx|ax1||x2|解：据题意，

1x12|ax1||x2|由a1|ax1|2x131a1. xx33112,a2；由a1，且10, 且1xmaxxxxmina0.2a0.

2、已知1+2x+3x·a≥0在(－∞,1上恒成立，则a的取值范围为 .(a≥－1)

1x2x1x2x解：∵a， 且函数为增函数，

33331x2x1121∴a1.

33max331（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲

已知abc1，且a、b、c是正数，求证：

2229。 abbcca（3）本题主要考查利用柯西不等式证明不等式，考查推理论证能力。 证明：左边2(abc)(111) abbcca111(ab)(bc)(ca)()(111)29

abbcca111(或＝(ab)(bc)(ca)()

abbcca1

3abbcabcabcabbccacaabcabc 32abbcabbcab2cacaab2bccacabc9)

22abbc2ca9。 2(本小题满分7分)选修4－5：不等式选讲

已知点P是边长为23的等边三角形内的一点，它到三边的距离分别为x、y、z, 求x、y、z所满足的关系式，并计算x2y2z2的最小值.

(3)解： 由面积相等得：

122323sin60=1223(xyz)，……………2分 得xyz3。……………3分

(x2y2z2)(121212)(x1y1z1)2，……………5分

即x2y2z23，当且仅当xyz1时取等号……………6分 所以x2y2z2的最小值是3. ……………7分 （3．选修4－5：不等式选讲

已知x，y，z均为正数．求证：x+y+z≥1+1y+1yzzxxyxz．

（C）证明：因为x，y，z都是为正数．所以xyzyzx1z(xy2yx)≥z， 同理可得

yzxzxy≥2x，zxyxyz≥2y，当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得xyz11yzzxxy≥xy1z．

4(本小题满分7分）选修4——5：不等式选讲

已知x22y23z21817,求3x2yz的最小值。 （3）(本小题满分7分）选修4——5：不等式选讲

2

2x2y3z3222222131解： 3x2y23z3 3x2yz222

3x2yz12,233x2yz23当且仅当x93333,y,z 1717173x2yz取最小值，最小值为23 5若0a.b.c1,并且abc2,则a2b2c2的取值范围是（B）

4444A,B,2C,2D,2 33336对于和为1的正数a1,a2,an求证:

an12an2a12a221 a1a2a2a3an1anana127已知x,y,zR,且123yz1,则x的最小值是（ xyz23C．8

D．9

D ）

A．5 , B．6

说明5。6。7希望杯p55

三练习直线和圆中的不等式

1.（全国Ⅰ文

16）若直线m被两平行线l1:xy10与l2:xy30所截得的线段

的长为22，则m的倾斜角可以是

 ①15 ②30 ③45 ④60 ⑤75

 3

其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号） 【解析】解：两平行线间的距离为d|31|112，由图知直线m与l1的夹角为30o，

l1的倾斜角为45o，所以直线m的倾斜角等于30o450750或45o300150。

【答案】①⑤

2.（全国Ⅱ理

16）已知AC、BD为圆O:xy4的两条相互垂直的弦，垂足为

22M1,2,则四边形ABCD的面积的最大值为 。

【解析】设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2,则d1+d2OM3. 四边形ABCD的面积S【答案】5

2221|AB||CD|2(4d12)(4-d22)8(d12d22)5 23.（2009江苏卷18）（本小题满分16分） 在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1:(x3)2(y1)24和圆C2:(x4)2(y5)24. （1）若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程； （2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。 解 (1)设直线l的方程为：yk(x4)，即kxy4k0 由垂径定理，得：圆心C1到直线l的距离d42(结合点到直线距离公式，得：232)1， 2|3k14k|k121,

化简得：24k7k0,k0,or,k27 24 4

求直线l的方程为：y0或y7(x4)，即y0或7x24y280 24(2) 设点P坐标为(m,n)，直线l1、l2的方程分别为：

111ynk(xm),yn(xm)，即：kxynkm0,xynm0

kkk因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，两圆半径相等。 由垂径定理，得：：圆心C1到直线l1与C2直线l2的距离相等。

41|5nm|k故有：|3k1nkm|k，

21k11k2化简得：(2mn)kmn3,或(mn8)kmn5

2mn0m-n+8=0,或关于k的方程有无穷多解，有：

mn30m+n-5=0解之得：点P坐标为(3,13)或(5,1)。

22222009年联考题

4. 已知点P（x，y）是直线kx+y+4 = 0（k > 0）上一动点，PA、PB是圆C：x2y22y0的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为 A．3

答案 D

B．21 2

（ ） C．22 D．2

5