恒成立问题

恒 成 立 问 题

恒成立问题是高中数学的一个综合性问题，涉及面广，处理难度大，经常考。处理恒成立问题的方法主要有：判别式法；数形结合法；重要不等式法；换元法；极值法等。

一、判别式法

此法适用于一元二次不等式ax2+bx+c>0和可化为一元二次不等式类的恒成立问题，当x∈R时，只需a>0且△<0；若x∈[a,b],则需用求函数极值的方法或用根的分布的方法分类讨论解决。 例1：已知不等式2x-1>m(x2-1)， (1） 是否存在实数m，使不等式对任意x∈R恒成立？说明理由； (2） 若对于m∈[-2，2]不等式成立，求实数x的取值范围。 解：（1）原不等式等价于mx2-2x+(1-m)<0,若对于一切实数x恒成立， 当且仅当m<0且△=4-4m(1-m)<0，此不等式解集为空集， ∴ 不存在实数m使不等式恒成立。

（2）设f(m)=(x2-1)m-(2x-1)，当m∈[-2，2]时，f(m)<0恒成立。 而f(m)=0,(m∈[-2，2])时表示线段，当且仅当f(2)<0且f (-2)<0, 2x2-2x-1<0, ① -2x2-2x+3<0 ② 由①得

13131717x,x，由②得x， 222217131713xx，x的取值范围是{x|}。 2222取交集得

3x2px6例2：是否存在实数x，使不等式-9<≤6对一切实数x恒成立？若存在，求出p的值，若2xx1不存在，请说明理由。 解：∵ x2-x+1=(x-

123)+>0, 242

∴ 原不等式等价于 -9(x2-x+1)<3x2+px+6≤6(x-x+1),

即 -9(x2-x+1)<3x2+px+6 ①

2

3x2+px+6≤6(x-x+1) ② 对一切实数x恒成立，即①,②对一切实数恒成立。

2

由①得12x2+(p-9) x +15>0恒成立，∴△1=(p-9)-41215 < 0;

2

由②得3x2-(p+6)x≥0恒成立，∴ △2=(p+6)≤0, 将= -6代入△1知此时△1<0成立。

因此存在p= -6使原不等式对一切x恒成立。 二、重要不等式法

例3：已知函数f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2y(x+y)+1，且f(1)=1，

*

（1）若x∈N，试求f(x)的表达式；

*

（2）若x∈N，且x≥2时不等式f(x) ≥(a+7)x-(a+10)恒成立，试求实数a的取值范围。 解：(1)令y=1则f(x+1)=f(x)+2x+4， ∴ f(x+1)-f(x)=2x+4,

1

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∴ f(x)=[f(x)-f(x-1)]+[f(x-1)-f(x-2)]+ … +[f(2)-f(1)]+f(1)= x+3x-3

2

x24x7 (2)不等式可化为 x+3x-3≥(a+7)x-(a+10), ∴ a≤恒成立,

x12

x24x74因为 x≥2, x∈N ,=(x-1)+ ≥2。 ∴ a≤2.

x1x1*

三、极值法

时，f(msinθ)+f(1-m)>0恒成立，则实数m的取值范围是（ ） 21 A (0,1) B (-∞,0) C (-∞,) D(-∞,1)

2例4：设f(x)=x+x,x∈R，当0≤θ≤

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分析：若用函数解析式代入化简，问题变得相当复杂，如能考虑到函数f(x)=x+x,x∈R是单调递增的奇函数，将原不等式化为f(msinθ)>f(m-1)，再脱去函数符号，可得，msinθ>m-1, 由m<立，∵ 当0≤θ≤

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1恒成

1sin1时,()min=1, ∴m<1.选D。

1sin2 由上述解法知此题可不给出函数解析式，只要给出函数在R上是单调的奇函数即可。例5：设f(x)=x-3

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x-2x+5 2（1）求函数f(x)的单调递增区间、递减区间；

（2）当x∈[-1,2]时，f(x)2,x=1, 322,1)；增区间 (- ∞, -),(1,+ ∞) 33 (2) 当x∈[-1,2]时,[f(x)]max=f(2)=7, ∴ m>7.

四、换元法

例 6、已知对于满足等式x2+(y-1)2=1的一切实数x 、y,不等式x+y+c≥0恒成立，则实数c的取值范围是（ ）

A (-,0] B [2,+) C[2-1,+) D [1-2,+)

分析：考虑到等式x2+(y-1)2=1的几何意义是坐标平面的圆，运用圆的参数方程进行换元，令x=cosθ，y=1+sinθ, θ∈[0,π),则有cosθ-sinθ+c+1≥0恒成立，即c≥2cos(θ+∈[0,π)时，有2cos(θ+

)-1恒成立,而当θ4)-1≤2-1，c≥2-1,选C 4此题还可用数形结合法解。 五、数形结合法

例7、若关于的不等式|x+3|+|x-1|>a恒成立,则a的取值范围是（ ）, A a≤4 B a<4 C a>4 D a≥4

分析：|x+3|和|x-1|分别表示数轴上动点P（x）到两定点A（-3）、B（1）的距离，当时|x+3|+|x-1|取最小值4，∴ a<4，选B。

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2008.11

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