2001年高教社杯数学建模 抢渡长江问题

2001高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： D 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名)：1.

2. 3.

指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：

日期： 2011 年 7 月 3日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2001高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编号专用页

评 阅 人 评 分 备 注 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

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全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

关于长江抢渡的探究

摘 要

本文章建立的是一个以抢渡的路径进行设计的优化模型，第一问运用2002年冠军的速度来进行时间的运算，其速度大小约为1．54米／秒，方向为垂直对岸左偏27．5 ；近似求出了速度为1．5米 的选手的前进方向应左偏31．9 ，他的最好成绩约为15分10秒，得出了1934年和2002年成功完成赛事的最低速度及可以选择的前进角度，较好地解释了两次比赛成功者比例相差悬殊的原因，进而得出了能够垂直游向对岸的条件为

NYX，建立了江水速度分段变化的模型Ⅱ，选手的前进方向为靠近两岸200米

之内时，左偏36．r，在江心区域左偏28．1。；它的最好成绩大约为15分4秒。进一步，我们又完成了江水流速按区域连续变化的模型Ⅲ和模型Ⅳ，并用离散的方法求解了该模型。根据运算结果．为选手提供了在垂直距离上每前行100米所应调整的角度，求得最优路径为一“反S”型：得出了“两侧偏角大，中间偏角小”的行进方向基本原理。利用LINGO和Mat喇叭数学软件编程算出了问题的最优解。最后将本文所建立的模型做了一些推广，它们可以应用到航空，航天和航海等领域

关键词：抢渡长江；数学模型；最优化；速度

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一、问题重述 抢渡长江问题

“渡江”是武汉城市的一张名片。1934年9月9日，武汉警备旅官兵与体育界人士联手，在武汉第一次举办横渡长江游泳竞赛活动，起点为武昌汉阳门码头，终点设在汉口三北码头，全程约5000米。有44人参加横渡，40人达到终点，张学良将军特意向冠军获得者赠送了一块银盾，上书“力挽狂澜”。

2001年，“武汉抢渡长江挑战赛”重现江城。2002年，正式命名为“武汉国际抢渡长江挑战赛”，于每年的5月1日进行。由于水情、水性的不可预测性，这种竞赛更富有挑战性和观赏性。

2002年5月1日，抢渡的起点设在武昌汉阳门码头，终点设在汉阳南岸咀，江面宽约1160米。据报载，当日的平均水温16.8℃, 江水的平均流速为1.89米/秒。参赛的国内外选手共186人（其中专业人员将近一半），仅34人到达终点，第一名的成绩为14分8秒。除了气象条件外，大部分选手由于路线选择错误，被滚滚的江水冲到下游，而未能准确到达终点。假设在竞渡区域两岸为平行直线, 它们之间的垂直距离为 1160 米, 从武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为 1000米，见示意图

终点: 汉阳南岸咀 1000m 1160m 长江水流方向 起点: 武昌汉阳门 。 请你们通过数学建模来分析上述情况, 并回答以下问题:

1. 假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变，且竞渡区域每点的流速均为 1.89 米/秒。试说明2002年第一名是沿着怎样的路线前进的，求她游泳速度的大小和方向。如何根据游泳者自己的速度选择游泳方向，试为一个速度能保持在1.5米/秒的人选择游泳方向，并估计他的成绩。

2. 在1的假设下，如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游,他(她)们能否到达终点？根据你们的数学模型说明为什么 1934年和2002年能游到终点的人数的百分比有如此大的差别；给出能够成功到达终点的选手的条件。

3. 若流速沿离岸边距离的分布为 (设从武昌汉阳门垂直向上为 y轴 正向) ：

1.47米/秒，0米y200米v(y)2.11米/秒，200米y960米1.47米/秒，960米y1160米

2

游泳者的速度大小（1.5米/秒）仍全程保持不变，试为他选择游泳方向和路线，估计他的成绩。

4. 若流速沿离岸边距离为连续分布, 例如

2.28y，0y200200 v(y)2.28，200y9602.28(1160y)，960y1160200或你们认为合适的连续分布，如何处理这个问题。

5. 用普通人能懂的语言，给有意参加竞渡的游泳爱好者写一份竞渡策略的短文。 6. 你们的模型还可能有什么其他的应用？

二、 问题的提出

1. 游泳的路程是怎样的才更节省时间 2. 抢渡的过程中游泳者到对岸的各种因素

二、问题的分析

依据水速的变化来改变竞渡者速度方向的思路得出了一个较合理的水速分布函数，再根据实际情况得出一个更为合理的分布函数，再进行求解

三、模型假设

1)在游泳过程中，游泳者的速度可以保持恒定不变； 2)竞渡区域内各点水流速度相同；

3)江面宽度保持不变，即两岸是保持平行的； 4)游泳过程中游泳者之间互不影响。

四、名词及符号约定

i，J：分别是水速和垂直水速方向的单位向量； 7．2，：游泳者的游泳速度； 7．2 ：水流速度； 合速度(游泳者受水速影响的最终游泳速度)； O ，O ：起点(武昌汉阳门码头)和终点(汉阳南岸咀)；

a ：第i区域内游泳者游泳方向和水流方向(正岸边方向)夹角(i=1，2，3)； ：合速度方向和水流方向夹角； T ：游泳者渡河总时间；

3

Y ：第i区域游泳者垂直前进的距离； z ： 游泳者离起点的水平距离；

五、模型建立与求解

1. 问题一：由于假设了游泳者的速度大小和方向均不随时间变化，则令

u(t)(ucos，usin)，而流速v(t)(v,0)， 其中u 和 v 为常数, 为游泳者和x 轴正向间的夹角。于是游泳者的路线 (x(t), y(t)) 满足 dxucosv,dtdyusin,dtx(0)0,x(T)L （1） y(0)0,y(T)HT是到达终点的时刻。 令zcos，如果 (1) 有解, 则

LT(uzv)x(t)(uzv)t,22y(t)u1zt,HTu1z2 （2）

即游泳者的路径一定是连接起、终点的直线，且 TLuzvHu1z2H2L22u2uzvv （3）

若已知L, H, v, T, 由（3）可得

zHLvT2(LvT)2,uLvTzT （4）

由（3）消去 T 得到

Lu1z2H(uzv) （5） 给定L, H, u , v的值，z满足二次方程

222222222（HL)uz2HuvzHvLu0 （6） （6）的解为 zz1，2HvL2(H(H22L)uHv22222L)u （7）

方程有实根的条件为

uvHH2L2dTdz0（8）

为使（3）表示的T最小，由于当L, u, v 给定时, ， 所以(7) 中z 取较

大的根, 即取正号。将（7）的z1代入（3）即得T，或可用已知量表为

T(H2L2)u22H22v2Lvuv

（9）

4

以H = 1160 m, L = 1000 m, v= 1.89 m/s 和第一名成绩T=848 s 代入（4），得

0

z= -0.641, 即 =117.5，u=1.54 m/s。

以H = 1160 m, L = 1000 m, v= 1.89 m/s 和u=1.5 m/s代入（7），（3），得z= -0.527, 即 =1220，T=910s，即15分10秒。

问题二：游泳者始终以和岸边垂直的方向（y轴正向）游, 即 z = 0, 由（3）得T =L/v≈529s, u= H/T≈2.19 m/s。游泳者速度不可能这么快，因此永远游不到终点, 被冲到终点的下游去了。

注：男子 1500 米自由泳世界记录为 14分41秒66, 其平均速度为1.7 m/s。

1500米自由泳 哈克特(澳大利亚) 14分34秒56 1500自由泳 埃文斯(美

国)

式（8）给出 了能够成功到达终点的选手的速度，对于2002年的数据，H = 1160 m, L = 1000 m, v= 1.89 m/s，需要u >1.43 m/s。 问题三：假设 1934 年竞渡的直线距离为5000 m, 垂直距离仍为H = 1160 m, 则L=4864 m, 仍设v= 1.89 m/s，则游泳者的速度只要满足 u >0.44 m/s，就可以选到合适的角度游到终点。 D v3 u H3 3

C

v2 H2 u 2

v1 u B H1 1 A L1 L1 L2

图2

如图2，H分为H=H1+H2+H3 3段，H1= H3=200 m, H2=760 m, v1= v3=1.47 m/s，v2= 2.11m/s, 游泳者的速度仍为常数

u=1.5 m/s, 有v1，v3< u, v2> u, 相应的游泳方向1，2为常数。路线为ABCD, AB平行CD。L分为L=L1+L2+L3, L1=L3, 据（8），对于v2> u, L2应满足

L2Hv2u222u2（752m) （10）

因为v1< u, 故对L1无要求。

对于确定的L1，L2，仍可用1中的公式计算游泳的方向和时间。

为确定使总的时间最小的路线ABCD, 注意到 L1=L3= ( L -L2)/2，由 (9) 知所需要的总时间为

T(H22L2)uu222H2v2L2v2v2222 （11）

求L2使T最小。编程计算可得：L2= 806.33 m时T = 904.02s ≈ 15 分 4 秒。 可知L1=L3=100(m)，L2 =800(m) 时T=904.58(s)最小，即成绩为15分5秒，相应的游泳

5

2(H1（LL2)/4)uu2222H1v1（LL2)v2/2222v1

方向1=3=124.660，2=119.190。

问题四：H仍分为3段，对于流速连续变化的第1段H1=200 m，方程（1）变为

vdxucosy,x(0)0,x(T1)L1H1dtdyusin,y(0)0,y(T1)H1dt （12）

其中v（=2.28m/s）为常数, 仍设游泳者的速度大小和方向均不随时间变化，及zcos，若(1) 有解，则

2uv1z2tuzt,x(t)2H12y(t)u1zt,L1x(T1)H1y(T1) （13）

是一条抛物线。类似于1中的作法得到，给定L, H, u , v的值，z满足二次方程

222222222（4H1L1)uz4H1uvzH1v4L1u0 （14） 取绝对值较小的根，为

zH1vL124(H1L1)u2(H1L1)u22222H1v22 （15）

有实根的条件为

uv2H1H1L122（16） 将（15）的z代入（13）得第1段的时间

T1H1u1z2 （17）

因u>v/2，由（16）对L1无要求。

对于第2段H2=760 m，仍用（9），（10），应有L2> 870 m，且第2段的时间 （18） 注意到 L1=L3= ( L -L2)/2，T1=T3, 得总的时间为

TT22T1 （19） 将给定的L, H1, H2, u和v=2.28 m/s代入（15），（17），（18），（19），求L2使T最小。编程计算可得：L2= 922.9 m时T =892.5s ≈ 14 分53 秒。

将L2= 923 m，L1==L3= 38.5 m分别代入（7）和（15）可得1=127.70，2=114.50，即最佳的方向。根据图表可知L1 =L3=40，L2 =920时T=892.56(s)最小，即14分53秒， 1=3=126.870，2=115.040。

T2(H22L2)uu222H2vv222L2v

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七、模型的评价与改进方向

模型的改进方向：

1、找到问题的核心，让模型看起来更加通俗易懂。 2、题中可以分析下抢渡过程中的各种情况，更具有说服力。

八、参考文献

[1] 王志魁．化工原理[M]．北京：化学工业出版社，199

[2] 宋济．知识助我登上领奖台[J]．游泳，2002；4：27—28 [3] 彭援军．毛泽东畅游九江[J]．游泳，2002；4：28—28

[4] 史力生．用数字直接模拟层流[J]．长沙铁道学院学报，1994；12(2)：43—54 [5] 杨波，程亮．陈晶，李亮，吴莎．抢渡长江最佳路线的探讨[J]．数学通讯，2002；24：42—43

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