模糊数学

主讲教师：张博侃

第一章

§1

模糊集合的基本概念

预备知识

一、模糊集合论的起源

第一章模糊集合的基本概念

现实世界中遇到的对象分多是这种模糊的、不确定性的类型，模糊集合正反映了这类“亦此亦彼”的模糊性.

模糊数学是研究模糊现象的定量处理方法.

第一章模糊集合的基本概念

二、诞生时间、标志

L. A. Zadeh1965

Information and ControlFuzzy Sets

第一章模糊集合的基本概念

为了与模糊集合相区别，将我们所熟悉的普通的集合称之为普通集合、经典集合、分明集合. 思考：

如何将集合的定义，由普通集合推广到模糊集合.

第一章模糊集合的基本概念

普通集合

设论域为X，AX,对xX,要么xA,要么xA,二者必居其一，且仅居其一.元素对集合的属于程度最小是零，此时隶属度为0.

元素对集合的属于程度最大是百分之百，此时隶属度为1.

第一章模糊集合的基本概念

普通集合

由集合A可以确定一个映射A A:X{0,1}, xA(x),1,xA,其中 A(x)0,xA,称A为A的特征函数.由A可以确定一个集合 {xXA(x)1}.第一章

模糊集合的基本概念

§3模糊子集定义及运算一、模糊子集的概念

定义 给出映射A:X[0,1],xA(x),~~则称A确定了X的一个模糊子集A,A称为~~~模糊集A的隶属函数,A(x)称为x对A的隶属度.~~~X的全体模糊子集组成的集合称为模糊幂集合,记作F(X).第一章模糊集合的基本概念

例1

~Old\\young

以人的年龄作为论域X,模糊集O表示“年老

~”, Y表示“年轻”，不妨设X = [0,150]. Zadeh 给出它们的隶属函数分别如下：

0, 0x5021o(x)x50,50x1501~5第一章模糊集合的基本概念

0, 0x5021o(x)x501,50x150~51o(x)~O50old

第一章

模糊集合的基本概念

1, 0x2521Y(x)x251,x25~51Y(x)~Oyoung

25第一章模糊集合的基本概念

二、模糊集合的表示方法

1.Zadeh 记法2. 序对表示法3.向量表示法

第一章模糊集合的基本概念

三、模糊子集之间的关系与运算

定义 设A,BF(X),称A包含于B（AB）~~~~~~当且仅当对任意的xX,A(x)B(x).~~A与B相等AB且BA.~~对任意的xX,A(x)B(x).~~~~~~第一章模糊集合的基本概念

定义 设A,BF(X),定义运算AB,AB,A~~~~~~~c如下AB(x)max{A(x),B(x)}A(x)B(x)~~~~~~AB(x)min{A(x),B(x)}A(x)B(x)~~~~~~A(x)1A(x)c~~AB,AB分别称为A与B的并集、交集，~~~~~~~A称为A的补集（余集）.~c第一章模糊集合的基本概念

四、模糊集合与普通集合之间的关系

记X上的模糊子集的全体为F(X), 称F(X)为X的模糊幂集.

将模糊集A与其隶属函数A看作同一，~~都用符号A表示.~F(X){A|A:X[0,1]}.~~若AF(X),称A为X的一个模糊集，~~A(x)为x对A的隶属度.~~第一章模糊集合的基本概念

F(X){A|A:X[0,1]}.~~AF(X),若对任意的xX,恒有A(x){0，1}，~~则A是X的一个普通子集（经典子集）.记~P(X)A|A:X{0,1}F(X)将普通子集A与其特征函数A都用符号A表示.1,xAA(x)0,xA第一章模糊集合的基本概念

五、模糊集合间的运算规律

模糊集合间的并、交、补（余）运算具有如下的性质.

AA,AAA.1)幂等律A~~~~~~2)交换律ABBA;ABBA.~~~~~~~~3)结合律

(AB)CA(BC),~~~~~~~~~~~~(AB)CA(BC).B)AA,(AB)AA.4)吸收律(A~~~~~~~~第一章

模糊集合的基本概念

B)C(AC)(BC)5）分配律(A~~~~~~~(AB)C(AC)(BC)~~~~~~~6)零-壹律

AA,A,~~~~AXX;AXA;~~7)复原律(A)A~~cc8)对偶律

(AB)AB~~~~~~~~cccccc(AB)AB第一章

模糊集合的基本概念

定义 设AtF(X),tT,T为指标集.对任意xX,规定At(x)supAt(x)At(x)~tT~tT~tTAt(x)infAt(x)At(x)~tTtT~tT~称At为At的并集.称At为At的交集.~tT~tTtT~tT~~显然 At， AtF(X).tT~tT~第一章模糊集合的基本概念

注：模糊集的补运算不满足互补律，即

AA,AAX~~~~cc不一定成立.

第一章模糊集合的基本概念

§4分解定理与表现定理

一、截集与强截集

F(X),对[0,1],记1. 定义设A~(A)A{xxX,A(x)}~~称A为A的截集，称为置信水平(或阈值).~(A)A{xxX,A(x)}~••~称(A)为A的强截集.~•~第一章模糊集合的基本概念

对xX,当A(x)时,则xA,即在水平上，~x属于模糊集A；当A(x)时,则xA，即在~~水平上，x不属于模糊集A.~第一章模糊集合的基本概念

2.性质

模糊集的截集与强截集具有如下性质.性质1设A，BF(X),[0,1],则~~（1）(AB)AB（,2）(AB)AB,~~~~（3）(AB)AB（,4）(AB)AB.~~•••~~•••第一章模糊集合的基本概念

性质1'设Ai，BiF(X),i1,2,,n，则~~（1）,2）AiAi（AiAi,i1~i1~i1~i1~nnnnnnnn（3）,4）AiAi（AiAi.i1~i1~i1~i1~••••第一章模糊集合的基本概念

性质2设T为指标集,AtF(U),tT,则（1）AtAttT~tT~（2）AtAttT~tT~（3）AtAttT~•tT~•（4）AtAttT~•tT~•第一章

模糊集合的基本概念

~性质3 AA•性质4 若12,则（1）A2A1，（2）A2A1，（3）A2A1•••A2A2A1A1••第一章模糊集合的基本概念

性质5

设t[0,1]，tT,记t，t,则tTtT（1）AAt（,2）AAttT•tT•（3）AAt（,4）AAttT•tT•第一章模糊集合的基本概念

性质6

(A)(A~c~1•),(A)(A~•cc~1)c0.50.7例1设X{a,b},A.~abcc求(A)0.6与(A0.6).~0.50.3c解A,(A)0.6~~abc而A0.6{b},(A0.6){a}c第一章模糊集合的基本概念

性质7A0X,A1•F(X)，定义2设A~称A1{xxX,A(x)1}为A的核,记KerA.~~称A0{xxX,A(x)0}为A的支集,记SuppA.•~~称A0A1为A的边界.•~当KerA{xxX,A(x)1}时,称A为

~~~正规模糊集.

第一章

模糊集合的基本概念

1A(x)~OKerAASuppA~~第一章模糊集合的基本概念

从前面介绍的性质可以看出当从1逐渐

A是从A的核Ker 下降趋于0，而不达到0时，A~~A因此，我们可以逐渐扩展为A的支集Supp .

~~A和Supp A之间将模糊集A看作是其边界在Ker ~~~游移,即将模糊集A看作是普通集合族{A[0,1]}~的总体.

下面将要介绍的分解定理就是反映这一事实的.

先来学习数积概念与性质.

第一章

模糊集合的基本概念

二、分解定理

1. 数积的概念与性质定义

设AF(X),[0,1],规定AF(X),~~其隶属函数为

(A)(x)A(x)~~称A为与A的数乘或数积.~~第一章模糊集合的基本概念

(A)(x)A(x)~~与A的数积A具有如下性质：~~性质1 设1,2[0,1],若12,则1A2A.~~性质2 若AB,则AB.~~~~第一章模糊集合的基本概念

2. 分解定理

F(X),则定理1 （分解定理I）设A~A~(A)[0,1]1,xA1],A(x)证明AP(X),[0，0,xA,xA(A)(x)A(x)0,xAAF(X).第一章

模糊集合的基本概念

对xX,有(A)(x)(A)(x)[0,1][0,1]maxA(x),A(x)(A(x),1][0,A(x)]~~max(1),(0)0A(x)A(x)1~~max{A(x),0}A(x)~AA~[0,1]~第一章模糊集合的基本概念

定理2 （分解定理II）

设AF(X),则A~证明 对xX,有~( A)•[0,1]max(A(x)),(A(x))••[0,A(x))[A(x),1]~~max{A(x),0}max(1),(0)~0A(x)A(x)1A(x)~~~( A)(x)( A)(x)••[0,1][0,1]第一章模糊集合的基本概念

F(X),若定理3（分解定理III）设A~H:[0,1]Ρ(X) H()使得对[0，1]，有AH()A,则(1)A~ H()[0,1]•(2)12H(2)H(1);(3)AH(),0,AH(),1.•第一章模糊集合的基本概念

上述分解定理说明，模糊集A不仅可以~由截集族{A}[0,1]（或者强截集族,{A}[0,1]）•来确定，而且还可以由更一般的集合族{H()}[0,1]来确定，即H()不一定是A或者A，还可以介于它们之间.•第一章模糊集合的基本概念

三、表现定理

定义1

令H:[0,1]P(X)若H满足 H()12H(2)H(1)则称H 为X上的集合套.X上的全体集合套记作U(X).

第一章模糊集合的基本概念

12H(2)H(1)F(X),[0,1],例1设A~H1()A{xxX,A(x)}12AAH1(2)H1(1)21H2()A{xxX,A(x)}•12AAH2(2)H2(1)2•1•则H1与H2都是X上的集合套.第一章

模糊集合的基本概念

H3：[0，1]P(X)满足AH3()A，[0，1]，•由分解定理III，可知

若12，则H3(2)H3(1).所以H3也是X上的集合套.第一章模糊集合的基本概念

定义2在U(X)中定义并、交、补运算如下H1H2：（H1H2）()H1()H2()H1H2：（H1H2）()H1()H2()Ht: Ht()Ht()tTtTtTHt: Ht()Ht()tTtTtTH: (H)()(H(1))第一章

ccc模糊集合的基本概念

H:(H)()(H(1))ccc121112H(11)H(12)(H(11))(H(12))H(1)H(2)H是集合套.ccccc第一章模糊集合的基本概念

定理4（表现定理）

T:U(X)F(X) HT(H)c设

 H()[0,1]则T是从(U(X),,,)到(F(X),,,)上的同态满射,且满足T(H)H()T(H),[0,1];•cT(H)•H(),(0,1];T(H)H(),[0,1).第一章模糊集合的基本概念

§5表现定理的证明

例1设AF(X),[0,1].H1()A{xxX,A(x)}~H1是X上的集合套.A0X,若t[0,1]，t，则AAt.tTtTtTtH1(0)A0X,H1()AAH1(t)tT第一章模糊集合的基本概念

定义1设t[0,1]，tT,记t.tT若集合套FU(X),满足F(0)X,F()F(t)tT称F为X上的一个晕集（或集轮）.全体晕集组成的集合记作(X).第一章模糊集合的基本概念

例2

设AF(X),[0,1].~•H2()A{xxX,A(x)}则H2是X上的集合套.A1,••若t[0,1]，t，则AAt.tT•tT•H2(0)A0,H2()AAtH2(t)•tT•tT第一章模糊集合的基本概念

定义2设t[0,1]，tT,记t.tT若集合套FU(X),满足• F(1),F()F(t)••tT•称F为X上的一个强晕集（或强集轮）.•全体强晕集组成的集合记作(X).•第一章模糊集合的基本概念

设AF(X),令F()A,F()A,[0,1].~••则F为X上的一个晕集（或集轮）,F为X上的一个强晕集（或强集轮）.•推论2 存在同构映射f与f ,使得•~(X),F(X)—~(X).F(X)—•ff第一章模糊集合的基本概念