人教版高一数学练习题-零点的存在性及其近似值的求法

課時跟蹤檢測（二十三） 零點的存在性及其近似值的求法

A級——學考水準達標練

1．已知定義在R上的函數f(x)的圖像是連續的，且其中的四組對應值如下表，那麼在下列區間中，函數f(x)不一定存在零點的是( )

x f(x)

A．(1,2) C．[2,5)

1 2 3 5 3 －1 2 0 B．[1,3] D．(3,5)

解析：選D 由圖表可知，f(1)＝3，f(2)＝－1，f(3)＝2，f(5)＝0.

由f(1)·f(2)<0，可知函數f(x)在(1,2)上一定有零點，則函數f(x)在[1,3]上一定有零點．

由f(2)·f(3)<0，可知函數f(x)在(2,3)上一定有零點，則函數f(x)在[2,5)上一定有零點．

由f(3)>0，f(5)＝0，可知f(x)在(3,5)上不一定有零點．所以函數f(x)不一定存在零點的是(3,5)．

2．已知f(x)＝x2＋6x＋c有零點，但不能用二分法求出，則c

的值是( )

A．9 C．7

B．8 D．6

解析：選A f(x)＝x2＋6x＋c有零點，但不能用二分法求出， 則x2＋6x＋c＝0，有兩個相等的實數根，則Δ＝36－4c＝0，解得c＝9.

3．函數f(x)＝x3－9的零點所在的大致區間是( ) A．(－1,0) C．(1,2)

B．(0,1) D．(2,3)

解析：選D 因為函數f(x)＝x3－9在R上單調遞增， 且f(2)＝8－9＝－1<0，f(3)＝27－9＝18>0，

所以根據零點存在定理，可得函數f(x)＝x3－9的零點所在的大致區間是(2,3)．

4．用二分法求方程的近似解，求得f(x)＝x3＋2x－9的部分函數值資料如表所示：

x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5 f(x) －6 3 －－－1.341 0.579 8 3 2.625 1.459 0.14

則當精確度為0.1時，方程x3＋2x－9＝0的近似解可取為( )

A．1.6 C．1.8

B．1.7 D．1.9

解析：選C 由表格可得，函數f(x)＝x3＋2x－9的零點在(1.75,1.875)之間，

結合選項可知，方程x3＋2x－9＝0的近似解可取為1.8，故選C.

b，a－b≥1，

5．對任意實數a，b定義運算⊗：a⊗b＝

a，a－b<1，

設f(x)

＝(x2－1)⊗(4＋x)，若函數y＝f(x)＋k有三個零點，則實數k的取值範圍是( )

A．(－1,3] C．[－1,2)

解析：選D 由題意可得

B．[－3,1] D．[－2,1)

f(x)＝错误!

作出f(x)的函數圖像，如圖因為y＝f(x)＋k有三個零點，

所示．

所以－1<－k≤2，即－2≤k<1.

6．若函數y＝x2＋a存在零點，則a的取值範圍是__________． 解析：函數y＝x2＋a存在零點，則x2＝－a有解，所以a≤0. 答案：(－∞，0]

7．已知函數f(x)是定義域為R的奇函數，－2是它的一個零點，且在(0，＋∞)上是增函數，則該函數有________個零點，這幾個零點的和等於________．

解析：因為函數f(x)是定義域為R的奇函數，且在(0，＋∞)上是增函數，所以f(0)＝0.又因為f(－2)＝0，所以f(2)＝－f(－2)＝0，故該函數有3個零點，這3個零點之和等於0.

答案：3 0

8．若函數f(x)＝x2－2ax＋2在區間[0,4]內至少有一個零點，則實數a的取值範圍為________．

解析：因為函數f(x)＝x2－2ax＋2在區間[0,4]內至少有一個零點，且f(0)＝2>0，結合函數f(x)的圖像(圖略)，所以

0≤2a≤4，2

Δ＝4a－8≥0

2

2a>4，或2

f4≤0，

解得2≤a≤4或a>4，即

a≥2.所以實數a的取值範圍為[2，＋∞)．

答案：[2，＋∞)

1

9．已知函數f(x)＝x3－x2＋1.

3

(1)證明方程f(x)＝0在區間(0,2)內有實數解；

(2)使用二分法，取區間的中點三次，指出方程f(x)＝0(x∈[0,2])的實數解x0在哪個較小的區間內．

1

解：(1)證明：∵f(0)＝1>0，f(2)＝－<0，

31

∴f(0)·f(2)＝－<0，

3

由函數零點存在定理可得方程f(x)＝0在區間(0,2)內有實數解． 1

(2)取x1＝×(0＋2)＝1，得f(1)＝>0，

23

1

由此可得f(1)·f(2)＝－<0，下一個有解區間為(1,2)．

91313

再取x2＝×(1＋2)＝，得f＝－<0，

2282133

∴f(1)·f＝－<0，下一個有解區間為1，.

2422351517

再取x3＝×1＋＝，得f＝>0，

2424192

1

5353∴f·f<0，下一個有解區間為，. 424253故f(x)＝0的實數解x0在區間，內．

42

10．若方程x2－2kx＋k2－1＝0有兩個不等實數根介於－2與4之間，求k的取值範圍．

解：令f(x)＝x2－2kx＋k2－1，

則二次函數f(x)的圖像的對稱軸方程為x＝k，



－2由題意可得

f－2＝3＋4k＋k>0，

f4＝15－8k＋k>0，

22

Δ＝4k2－4k2－1>0，

解得－11．已知函數y＝f(x)為[0,1]上的連續函數，且f(0)·f(1)<0，使用二分法求函數零點，要求近似值精確度達到0.1，則需對區間至多等分的次數為( )

A．2 C．4

B．3 D．5

解析：選C 設需計算n次，則n滿足

n>10.因為<0.1，即2

2n1

23＝8,24＝16，所以計算4次就可滿足要求，所以將區間(1,2)等分的次數為4次．

2．已知函數

|x|－3，x≤3，f(x)＝

－x－32，x>3，

函數g(x)＝b－f(3

－x)，其中b∈R，若函數y＝f(x)－g(x)恰有4個零點，則實數b的取值範圍是( )

11A.－，＋∞ 4

11

C.－∞，－

4

11

B.－3，－

4D．(－3,0)

解析：選B

|x|－3，x≤3，

因為f(x)＝

－x－32，x>3，

|3－x|－3，x≥0，

所以f(3－x)＝

－x2，x<0.

由y＝f(x)－g(x)＝f(x)＋f(3－x)－b＝0. 得b＝f(x)＋f(3－x)，



令h(x)＝f(x)＋f(3－x)＝－3，0≤x≤3，

－x＋7x－15，x>3，

2

－x2－x－3，x<0，

函數y＝f(x)－g(x)恰有4個零點，即y＝b與h(x)＝f(x)＋f(3－x)的圖像有4個不同交點，

作出函數圖像如圖所示．

結合函數的圖像可得，

11

當－3411

b的取值範圍是－3，－.

4

3．已知函數f(x)＝3x2－5x＋a的兩個零點分別為x1，x2，且－2解：因為f(x)＝3x2－5x＋a， 所以f(x)的圖像是開口向上的抛物線．

f－2>0，f0<0，

由題意得

f1<0，

f3>0，

解得－1212＋10＋a>0，a<0，即

3－5＋a<0，

27－15＋a>0，

故實數a的取值範圍為(－12,0)． 4．已知函數f(x)＝x|x－1|－a.

(1)當a＝0時，在直角坐標系內畫出f(x)的圖像，並寫出函數的單調區間；

(2)討論函數y＝f(x)零點的個數．

xx－1，x≥1

解：(1)當a＝0時，f(x)＝

x1－x，x<1，

的圖像如圖所示，

則函數y＝f(x)

由圖可知，函數

1

f(x)在－∞，和(1，＋∞)上單調遞增，在

2

1

，1上單調遞減． 2

(2)函數y＝f(x)零點的個數等價於函數y＝x|x－1|的圖像與直線y＝a的交點個數，由(1)得：

1

①當a<0或a>時，函數y＝f(x)零點的個數為1個；

41

②當a＝0或a＝時，函數y＝f(x)零點的個數為2個；

41

③當04

5．北京時間2018年4月10日18時19分智利發生6.0級地震，震源深度50千米．地震發生後，停水斷電，交通受阻．已知A地到B地的電話線路發生故障(假設線路只有一處發生故障)，這是一條10 km長的線路，每隔50 m有一根電線杆，如何迅速查出故障所在？

解：如圖，可首先從中點C開始檢查，若

AC段正常，則故障在BC段；再到BC段中點D檢查，若CD段正

常，則故障在BD段；再到BD段中點E檢查，如此這般，每檢查一次就可以將待查的線路長度縮短一半，經過7次查找，即可將故障範圍縮小到50～100 m之間，即可迅速查出故障所在．