双曲线渐近线有关问题 讲义及练习

双曲线渐近线有关问题-教师版

一.综述

在双曲线的几何性质中,渐近线是双曲线所特有的性质,因此学好双曲线的渐近线对学习双曲线的几何性质有很大的帮助.

过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们围成一个矩形，其两条对角线所在直线即为双曲线的渐近线.画双曲线时,应先画出它的渐近线.理解“渐进”两字的含义,当双曲线的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接近,接近的程度是无限的.

掌握根据双曲线的标准方程求出它的渐近线方程的方法.最简单且实用的方法是：把双曲线标准方程中等号右边的1改成0，就得到了此双曲线的渐近线方程.即:

x2y2x2y2b(1)已知双曲线方程221求渐近线:220yx

ababa(2)已知渐近线ymx设双曲线标准方程mxy

在考题中,常结合双曲线方程和离心率进行考查,只要抓住渐近线斜率与离心率可以通过a2b2c2的关系进行相互转化即可.几何性质中我们除了要掌握对称性,还需要熟记焦点到渐近线的距离为b. 二.例题精讲 破解规律

222x2y2例1. 已知双曲线221（a0,b0）的一条渐近线被圆x2y26x50截得的弦

ab长为2，则该双曲线的离心率为( )

A. 2 B.

3 C.

56 D. 22b.由已知条件根据直线与圆a分析:双曲线渐近线为过原点的两条相交直线,且斜率分别为的位置关系可以求出其中一条渐近线的斜率然后再利用a2b2c2求出离心率. 解析: 由题意得圆方程即为(x3)2y24，故圆心为（3,0），半径为2.双曲线的一条渐

近线为ybx，即bxay0，故圆心到渐近线的距离为da23bab223bab22。

3bb2122∵渐近线被圆截得的弦长为2,∴12，整理得2. 22a2abca2b2b216∴e.选D. 1122aaa22答案：D.

点评: 双曲线几何性质是高考考查的热点，其中离心率是双曲线的重要性质，求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a、b、c的方程或不等式，利用a2b2c2和e=的值或取值范围．

规律总结:相关渐近线斜率k与离心率e的问题,由a2b2c2,可以得到12k2e2进行相互转化.

现学现用1: 已知焦点在x轴上双曲线的离心率为2，则双曲线C的渐近线方程为（ ）

c转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率aA. y3x B. y5x C. y2x D. y3x 3cx2y2解析: ∵双曲线C:221(a0,b0)的离心率为2∴2，即c24a2

abab∵c2a2b2∴b23a2，即3 ax2y2∴双曲线C:221(a0,b0)的渐近线方程为y3x

ab故选D

x2y2例2. 已知双曲线C:221的右焦点为F,过点F向双曲线的一条渐近线引垂线,垂足为

abM,交另一条渐近线与N,若7FM3FN,则双曲线的渐近线方程为 .

分析:题目中给出的向量表达式7FM3FN,从代数的角度讲就是给出向量坐标的比例关

系,通过这个比例关系,列方程找出a、b、c的关系式,从而求出渐近线方程.从几何的角度讲,就是给出点M分线段NF的比例,再利用渐近线的对称性结合三角函数知识进而解决问题. 解析: (解法一)如下图所示:由对称性,令MOFNOF2,MON,渐近线l1的斜率为ktan.易知2, 故tantan2tan22tan2k, 221tan1k所以

tantan2k1k22①; k1k2由已知7FM3FN得:

MNMF4; 3tan在RtMOF和RtMON中,易得

tan由①②得: MNOMMN4② MFMF3OM101024kyx 解得;所以渐近线方程为: 2221k3bx，则另一渐a (解法二) 由题意得双曲线的右焦点F(c,0)，设一渐近线OM的方程为ybnbmbMm,,Nn,近线ON的方程为yx．设，

aaa∵7FM3FN，∴7mc,bmbn3nc,， aa2c7mc3ncm2c2bc7∴，解得．∴点M的坐标为 ,， 7bm3bn77a2cnaa3又OMFM，∴kOMkFM2bc2b5b7a，整理得， 12a2a2cc7∴双曲线的渐近线方程为ybx10x

a2

答案:y10x. 2点评: 本题主要考查双曲线及渐近线,解法一利用对称性与三角函数列方程找出a、b、c的关系式,从而解出k.解法二代数法列方程求出坐标,再利用垂直关系,解出k

规律总结:关于直线与双曲线渐近线交点问题,可以利用渐近线的对称性结合三角方法来处理.

x2y2现学现用2: 点P在双曲线221(a0,b0)的右支上，其左、右焦点分别为F1、

abF2，直线PF1与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，线段PF1的垂直平分线

恰好过点F2，则该双曲线的渐近线的斜率为__________． 答案: 4 3解析:如图,A是切点,B是PF1的中点,因为所以

OAa,所以BF22a,又F1F22c,

BF12b,PF24b,又PF2F1F22c,根据双曲线的定义,有PF1PF22a,

c5， a322即4b2c2a，两边平方并化简得3c2ac5a0，所以

b4c因此1.

a3a2

例3: 已知双曲线𝑪:𝒂𝟐−𝒃𝟐=𝟏(𝒂>𝟎,𝒃>𝟎),过其左焦点𝑭作斜率为𝟐的直线与双曲线的两⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线的两条渐近线方程为 条渐近线的交点分别为A、𝑩，若𝑭𝑨

𝟐

𝟏

𝒙𝟐

𝒚𝟐

𝟏

A. 𝒚=±𝟑𝒙 B. 𝒚=±(√𝟐−𝟏)𝒙 C. 𝒚=±𝒙 D. 𝒚=±𝟒𝒙

分析:

𝟏𝟏

答案:C

解析:由题意设直线𝑨𝑩的直线的方程为𝒚=(𝒙+𝒄).与两条渐近线联立.

𝟐𝟏

𝒚=𝟐𝒙+𝟐𝒄𝒚=𝟐𝒙+𝟐𝒄𝒂𝒄𝒃𝒄𝒂𝒄𝒃𝒄{，得𝑨(,);{，得𝑩(,) 𝒃𝒃−𝟐𝒃−𝒂𝟐𝒃+𝒂𝟐𝒃−𝒂𝟐𝒃−𝒂

𝒚=−𝒂𝒙𝒚=𝒂𝒙

𝟏

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则𝟏⋅若⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑭𝑨=𝑨𝑩

𝟐

𝟑

𝒃𝒄𝟐𝒃−𝒂

𝟏𝟏𝟏𝟏

=

𝒃𝒄

𝟐𝒃+𝒂

，解得𝒂=𝒃，故双曲线的两条渐近线方程为𝒚=±𝒙

故选C.

𝟏

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 转化为坐标的比例关系. 点评:本题给出直线的斜率,较适宜列方程解出坐标.再利用⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑭𝑨=𝑨𝑩

𝟐

规律总结: 关于直线与双曲线渐近线交点问题,可以利用解析法求出交点坐标,利用坐标的关系解答问题.

现学现用3: 已知双曲线C的中心为原点， 于A，

F3,0是C的焦点，过F的直线l与C相交

B两点，且AB的中点为N12,15，则该双曲线的渐近线方程为（ ）

2552x C. y2x D. yx B. yx 522A. yx2y2解析:设双曲线的标准方程为221a0,b0，由题意知c=3,a2+b2=9，

abx12y121a2b2设A(x1,y1),B(x2,y2)，则有:  ,

22x2y21a2b2y1y2b2x1x212b24b2150222，又AB的斜率是两式作差得： 1，

123x1x2ay1y215a5a所以将4b2=5a2代入a2+b2=9得：a2=4,b2=5.则双曲线的渐近线方程为y本题选择A选项.

5x. 2

三.课堂练习 强化技巧

1. 已知以原点为中心，实轴在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为y的距离为6，则此双曲线的标准方程为（ ）

3x，焦点到渐近线4x2y2x2y2x2y2x2y2A. 1 B. 1 C. 1 D. 1

64363664169916答案:C

解析:∵双曲线的一条渐近线方程是y3b3x，∴ 4a422xy6c10 ∴c=10.∵c2=a2+b2∴a2=64 b2=36∴双曲线方程为又∵=1

643653c故答案为C.

x2y22.已知双曲线221(a0，b0)， A,B为双曲线的左右顶点，若点M在双曲线上，

ab且满足ABM为一个顶角为120的等腰三角形，则双曲线的渐近线方程是（ ）

A. y=x B. y=2x C. y=2x D. y=答案:A

2x 2yktan30y2AMxa解析:由题意，设Aa,0,Ba,0,Mx,y，则，则21，2xakytan60BMxa即双曲线的方程为x2y2a2，其渐近线方程为yx；故选A.

x2y23. 已知双曲线C:221的右焦点为F,过点Fab向双曲线的一条渐近线引垂线,垂足为

M,交另一条渐近线于N,若2MFFN,则双曲线的渐近线方程为 .

解析:如下图所示:令MOF,MON,渐近线l1的斜率为ktan.

2ktan1k222tan2k由对称性知2,故tantan2,所以1tan21k2tank1k2①;

由已知2MFFN得:

MN3; MF1MNOMMN3②

MFMF1OMtan在RtMOF和RtMON中,易得tan由①②得:

四.课后作业 巩固内化 1.已知双曲线过点

332解得;所以渐近线方程为: kyx 3331k21,2，渐近线方程为y2x，则双曲线的标准方程是（ ）

x2y2y2x22222y1 B. x1 C. x1 D. y1 A. 2233答案:B

y2解析:设双曲线的标准方程y2x422x21 ,选B

2222. 已知双曲线𝑬:

𝒙𝟐𝒂𝟐−

𝒚𝟐𝒃𝟐=𝟏，其一渐近线被圆𝑪:(𝒙−𝟏)𝟐+(𝒚−𝟑)𝟐=𝟗所截得的弦长等于

𝟒，则𝑬的离心率为( )

A.

√𝟓√𝟓√𝟓 B. 𝟓 C. 或𝟑 D. 或√𝟓 √√𝟐𝟐𝟐

答案:D

解析:𝑬的渐近线为𝒚=±𝒙∴𝒃𝒙∓𝒂𝒙=𝟎∵ 渐近线被𝑪截得的弦长为𝟒

𝒂𝒃

∴𝒅𝟐+()𝟐=𝟑𝟐∴𝒅=√𝟓∴

𝟐

𝟒|𝒃×𝟏±𝟑𝒂|√𝒃𝟐+𝒂𝟐=√𝟓∴𝒂=𝟐𝒃 或𝒂=𝒃∴𝒆=√𝟓或𝒆=

𝟐

𝟏

√𝟓。选𝟐

D。

x2y23. 当双曲线M:21的离心率取得最小值时,M的渐近线方程为（ ）

mm4A. y2x B. y22x C. y2x D. y答案:A

1x 2m2444解析:由题意得m0,e11m12m5, mmm4x2y21,所以渐近线方程当且仅当m,即m2时等号成立.此时双曲线的方程为28m为y2x.选A. 4. 如果曲线2xy40与曲线x2y24(0)恰好有两个不同的公共点，则实数

的取值范围是__________．

1答案:,0

4解析:因为曲线2xy40与曲线x2y24(0)都过点2,0，所以双曲线渐近

111线yx 斜率不小于直线y2x4 斜率，即20

45. 𝑷是双曲线𝑪:𝒙𝟐−𝒚𝟐=𝟐左支上一点，直线𝒍是双曲线𝑪的一条渐近线， 𝑷在𝒍上的射影为𝑸,𝑭𝟐是双曲线𝑪的右焦点，则|𝑷𝑭𝟐|+|𝑷𝑸|的最小值为（ ）

A.

√𝟐 B. √𝟐 C. 𝟑√𝟐 D. 𝟐𝟐

+

√𝟐 𝟐

答案:C

解析:由题知|𝑷𝑭𝟐|−|𝑷𝑭𝟏|=𝟐𝒂=𝟐√𝟐，则|𝑷𝑭𝟐|+|𝑷𝑸|=|𝑷𝑭𝟏|+|𝑷𝑸|+𝟐√𝟐，由对称性，当𝑭𝟏,𝑷,𝑸在同一直线上时|𝑷𝑭𝟏|+|𝑷𝑸|最小，由渐近线方程𝒚=𝒙，|𝑭𝟏𝑶|=𝟐知|𝑭𝟏𝑸|=√𝟐 则|𝑷𝑭𝟐|+|𝑷𝑸|的最小值为𝟑√𝟐．故本题答案选C．

6. 已知𝑶为原点，双曲线𝒂𝟐−𝒚𝟐=𝟏(𝒂>𝟎)上有一点𝑷，过𝑷作两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为𝑨,𝑩，平行四边形𝑶𝑩𝑷𝑨的面积为1，则双曲线的离心率为__________． 答案:

解析:设𝑷(𝒎,𝒏)，则𝒎𝟐−𝒂𝟐𝒏𝟐=𝒂𝟐，渐近线方程为𝒙=±𝒂𝒚，点P到直线𝒙−𝒂𝒚=𝟎距离为𝒅=

|𝒎−𝒂𝒏|√𝟏+𝒂√𝟓𝟐

𝒙𝟐

，由𝒙−𝒂𝒚=𝟎及(𝒙−𝒎)+𝒂(𝒚−𝒏)=𝟎得𝑨(𝟐𝟏

|𝒎𝟐−𝒂𝟐𝒏𝟐|

𝟐𝒂

𝒂

𝒎+𝒂𝒏𝒎+𝒂𝒏𝟐

,

𝟐𝒂√𝟓)，所以平行四边形

OBPA面积为𝟐×𝟐×|𝑶𝑨|×𝒅=

=𝟐=𝟏⇒𝒂=𝟐.离心率为𝟐.

x2y27.过双曲线221(a0,b0)的左、右焦点分别作它的两条渐近线的平行线，若这4

ab条直线所围成的四边形的周长为8b，则该双曲线的渐近线方程为（ ）

A. yx B. y2x C. y3x D. y2x

答案:A

byxcx0a解析:由题设bc，

yybxcaab2c2c22b，即a2b22abab， 则由图形的对称性可知4c28baa2故答案A x2y28.已知双曲线C:221(a0,b0)的右顶点为A，以A为圆心， b为半径作圆A，

ab圆

A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，若MAN60，则C的离心率为

__________． 答案:2

解析:如图所示，作APMN，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则

MN为双曲线的渐近线ybx上的点，且Aa,0， AMANb， ab而APMN，所以PAN30，点Aa,0到直线yx的距离APab1ba22，

在RtPAN中， cosPANPANA22，代入计算得a3b，即a3b，

222由cab得c2b，所以ec2b23. a33b9. 定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过90的正角.已知双曲线

x2y22,2E： 221(a0,b0)，当其离心率e时，对应双曲线的渐近线的夹角ab的取值范围为（ ）

A. 0,



,,, B. C. D. 6343326

答案:D

c2b2b2解析:由题意可得e2122,4,21,3 ,

aaa2设双曲线的渐近线与x 轴的夹角为,双曲线的渐近线为ybx ,则, , a64,. 32结合题意相交直线夹角的定义可得双曲线的渐近线的夹角的取值范围为本题选择D选项.

10. 设𝐹为双曲线𝑎2−𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的右焦点，𝑃是双曲线上的点，若它的渐近线上存⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线离心率的取值范围是（ ） ⃗⃗⃗⃗⃗ =2𝑃𝑄在一点𝑄（在第一象限内），使得𝐹𝑃A. (1,3) B. (3,+∞) C. (1,2) D. (2,+∞)

答案:A

𝑏

⃗⃗⃗⃗⃗ =(𝑡−𝑥,𝑏𝑡−𝑦)，⃗⃗⃗⃗⃗ =(𝑥−𝑐,𝑦),𝑃𝑄解析:设𝑄(𝑡,𝑡)(𝑡>0),𝑃(𝑥,𝑦),𝐹(𝑐,0)，则𝐹𝑃由题意设可

𝑎

𝑎

𝑥2𝑦2

𝑥−𝑐=2(𝑡−𝑥)𝑥=3(2𝑡+𝑐)1

得{⇒{代入双曲线方程可得[(2𝑡+𝑐)2−(2𝑡)2]=1，即𝑏22𝑏9𝑎𝑦=2(𝑎𝑡−𝑦)𝑦=3𝑎𝑡(4𝑡+𝑐)𝑐=9𝑎2，因为𝑡>0，所以9𝑎2=4𝑡𝑐+𝑐2>𝑐2⇒𝑒2<9，即1<𝑒<3，应选答案A.

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