高中物理共点力平衡问题题型与与解题方法例析与训练

1．平衡问题与正交分解法

题型1．物体在粗糙水平面上的匀速运动

例1．如图所示，物体与水平面间的动摩擦因数为μ＝0.3, 物体质量为m=5.0kg．现对物体施加一个跟水平方向成θ=37°斜向上的拉力F，使物体沿水平面做匀速运动．求拉力F的大小．

解析：物体受四个力：mg 、 FN、f、F ．建立坐标系如图所示．将拉力F沿坐标轴分解．

Fx = F cosθ Fy = Fsinθ 根据共点力平衡条件，得

X轴：∑ Fx = 0 Fcosθ — f = 0 ………⑴

Y轴：∑ Fy = 0 Fsinθ + FN — mg = 0………⑵ 公式 f = μ FN ………⑶ 将⑵⑶代入⑴ F cosθ = μ FN = μ (mg — Fsinθ )

解得 F =

mg0.35.09.8=15N

cossin0.80.30.6归纳解题程序：定物体，分析力→建坐标，分解力→找依据，列方程→解方程，得结果． 变式1：如果已知θ 、m、F，求摩擦因数μ。

变式2：如果将斜向上的拉力改为斜向下的推力F，θ、m、μ均不变，则推力需要多大，才能使物体沿水平面做匀速运动。

结果 F =

mg0.35.09.823.71N

cossin0.80.30.6讨论：当θ增大到某一个角度时，不论多大的推力F,都不能推动物体。求这个临界角。这里的无论多大，可以看成是无穷大。则由上式变形为

cosθ—μsinθ =

mgFmg当 F→∞时， → ０ 则令cosθ—μsinθ = 0

F所以有 co t θ= μ 或 tanθ =

时

11 θ = tan—1 变式3．如果先用一个水平拉力F0恰好使物体沿水平面做匀速运动．则这个F0有多大？

现在用同样大小的力F0推物体，使物体仍然保持匀速运动，则这个推力跟水平方向的夹角多大？

解法一：物体受五个力：mg 、 FN、f 、两个 F0。由共点力平平衡条件得

当只有一个F0沿水平方向作用时，物体匀速运动 F0 = f = μ mg 水平方向∑Fx = 0 F0+ F0cosθ — f = 0 竖直方向∑Fy=0 FN— F0sinθ —mg = 0

解得 μ = cotθ θ = cot —1μ .

解法二：物体保持原来的速度匀速运动，则施加推力F0后，增加的动力部分跟增加的阻力部分相等，则有 F0 cosθ = △f = μ Fsinθ

所以得 co t θ = μ

题型2．物体在粗糙斜面的匀速运动 例2．（见教材P65例2）物体A在水平力F1=400N的作用下，沿倾角θ =60°的斜面匀速下滑，如图⑴所示，物体A受的重力G =400N.．求斜面对物体A的支持力和A与斜面间的动摩擦因数μ．

解析：物体匀速下滑，摩擦力f沿斜面向上，物体受力： mg ，FN ，f．F．如图所示．建立坐标系，分解mg和F．由共点力平衡条件得

x轴 mgsin60° —f—Fcos60° = 0………⑴ y轴 FN —mgcos60°—Fsin60° = 0 ………⑵ 公式 f = μ FN ……… ⑶

由⑴ f = mg sin60°— Fcos60° = 400×3/2 —400×0.5 = 146N

由⑵ FN =mgcos60° + Fsin60° = 546N 由⑶ μ = f / FN = 146 /546 = 0.27． 变式1．如果m、θ= 60°、μ= 0..27保持不变，要使物体沿斜面向上匀速运动，需要多大的水平推力？

解析：物体沿斜面向上做匀速运动，只将动摩擦力f改为沿斜面向下。

物体匀速下滑，摩擦力f沿斜面向上，物体受力： mg ，FN ，f．F．如图所示．建立坐标系，分解mg和F．由共点力平衡条件得

x轴 Fcos60°—f—mgsin60°= 0………⑴ y轴 FN —mgcos60°—Fsin60° = 0 ………⑵ 公式 f = μ FN ……… ⑶ 由以上三式得

sin60ocos60o F = mg1481.5N

cos60osin60o变式2．如果物体A的质量m，A与斜面间的动摩擦因数μ，斜面倾角θ=60°是已知，假设物体的滑动摩擦力等于它的最大静摩擦力，则水平推力F多大时，物体能保持不动．

解析：⑴用滑动摩擦力等于最大静摩擦力，当物体恰好不下滑时，最大静摩擦力fmax= μ FN ,方向沿斜面向上，

物体受力： mg ，FN ，fmax．F．如图⑴所示．建立坐标系，分解mg和F． 由共点力平衡条件得

x轴 mgsinθ —fmax—Fcosθ = ………0⑴ y轴 FN —mgcosθ—Fsinθ = 0……… ⑵ 公式 f = μ FN ……… ⑶

由⑴⑵⑶解得 F =

sincosmg

cossin⑵当物体恰好不上滑时，fmax沿斜面向上，物体受力如图⑵所示，在两坐轴上的方程如下

x轴 Fcosθ—fmax—mgsinθ= 0………⑷

y轴 FN —mgcosθ—Fsinθ = 0 ………⑸ 公式 f = μ FN ……… ⑹ 由以上三式解得 F =

sincosmg

cossin要使物体能在斜面上保持静止，则水平推力F的取值范围是

sincossincosmg≤ F≤mg

cossincossin变式练习：如果推力F沿斜面向上，要使物体在斜面上保持静止，则这个推力的取值范围如何？

题型3．物体沿竖直墙壁运动

例3．物体与竖直墙壁之间的动摩擦因数为μ，用一个斜向上的推力F可以使物体沿竖直墙壁做匀速运动，物体质量为m．求F的大小．

解析：题中没有指明运动方向，所以有两种可能情况。 ⑴物体沿墙壁向上做匀速运动，受力情况及力的分解如图⑴所示。由共点力平衡条件得

x轴 F1sinθ = FN………1 ⑴ y轴 F1cosθ = mg + f1……… ⑵ 公式 f1 = μ FN1 ………⑶

由⑴⑵⑶得 F1 =

mg

cossin⑵物体沿墙壁向下做匀速运动时，受力情况及力的分解如图⑵所示。由共点力平衡条件有

x轴 F2sinθ = FN2 ………⑴

y轴 F2cosθ+ f2 = m ………………g⑵ 公式 f2 = μ FN2 ⑶ 由⑴⑵⑶得 F2 =

mg

cossin思考：要让物体保持静止，则推力F的取值范围如何？

变式1．如图所示，物体重10N，物体与竖直墙的动摩擦因数为0.5，用一个与水平成45°角的力F作用在物体上，要使物体A静止于墙上，则F的取值是____________。

变式2．重为30N的物体与竖直墙壁的动摩擦因数为0.4，若用斜向上与水平面成θ=53°的推力F=50N托住物体。物体处于静止，如图所示。这时物体受到的摩擦力是多少？

题型4．质量为5kg的木块放在木板上，当木板与水平方向的夹角为37°时,木块恰能沿木板匀速下滑．当木板水平放置时，要使木块能沿木板匀速滑动，给木块施加的水平拉力应多大？（sin37°=0.6, cos37°=0.8,g=10N/kg）.

解析：木块沿木板匀速下滑时，有 mgsinθ = f = μ mgcosθ 得 μ = tan θ = 0.75

当木板在水平状态时，要木块沿木板匀速运动，所施加的水平拉力 F = f = μ mg = 0.75×5×10 N = 37.5N

变式题．质量为3kg的物体，放在倾角为30°的斜面上恰能匀速下滑，若要使该物体沿斜面匀速上滑，需对物体施加多大的沿斜面向上的力？（取 g = 10N/kg）

解析：当物体沿斜面自由地匀速下滑时，有 mgsin30° = μ mgcos30°

μ = tan30° =

3/3

现在要使同一物体沿斜面匀速上滑，所施加的沿斜面向上的拉力 F = mgsin30° + μ mgcos30° = 2 mgsin30° = mg =30N 题型5．如图所示，物体可以自由地沿斜面匀速下滑，当沿竖直方向施加一个压力F后，物体能否保持匀速运动

解析：物体自由地匀速下滑时，有 mgsinθ — μ mgcosθ = 0………⑴ 或变为 sinθ — μ cosθ = 0………⑵

当对物体施加一个竖直向下的力F时，将F和mg等效为一个竖直向下的作用力 G′ = F + mg ………⑶

则物体沿斜面方向受的合力为

∑F = G′sinθ—μG′cosθ = ( F + mg )sinθ —μ (F+ mg)cosθ………⑷ 将⑴式代入⑶得 ∑ F = F (sinθ — μ cosθ ) = 0 即物体仍然做匀速运动。

变式题：如图所示，一个空木箱恰好能沿斜面匀速下滑．现将质量为m的球放到箱子中，这时木箱能否保持匀速运动，这时球与木箱之间的相互作用力有多大？

解析：设木箱的质量为M，木箱匀速下滑时，有：Ｍgsinθ — μＭgcosθ = 0 在木箱中放一质量为m的小球后，整体受合力为

∑F =( M +m) g sinθ— μ( M+m) g cosθ = mg ( sinθ —μ cosθ ) = 0

木箱仍然能保持匀速运动。小球与木箱前壁之间存在弹力，对小球有 FN = mgsinθ 题型6．如图所示，质量为m＝5kg的物体，置于倾角为＝30°的粗糙斜面块上，用一平行于斜面的大小为30N的力推物体，使其沿斜面向上匀速运动．求地面对斜面块M的静摩擦力是多少？[8 ]

解答 把M、m作为一个整体进行受力分析，如图所示，根据水平方向的平衡条件可得 f=Fcosθ,

其中F=30N，θ=30°，代入可得f=153 N。 所以地面对斜面M的静摩擦力为153 N。

例．质量为0.8kg的物块静止在倾角为30°的斜面上，若用平行于斜面沿水平方向大小等于3N的力推物块，物块仍保持静止，如图（原图所示，则物块所受的摩擦力大小等于( )

A．5N B．4N C．3N D．33N

解答：在斜面平面内物体的受力分析如图1-33所示，根据平衡条件得

fF2mgsin，其中F＝3N，m＝0.8kg， θ=30°，代入得 f=5N。

本题的正确选项为（A）。

题型7．如图所示，OA、OB、OC三条轻绳共同连接于O点，A、B固定在天花板上，C端系一重物，绳的方向如图。OA、OB、OC这三条绳能够承受的最大拉力分别为150N、100N和200N，为保证绳子都不断，OC绳所悬重物不得超过多重？

解析：结点O受三个力： FAO 、FBO、 FCO 而平衡，根据任两个力的合力与第三个力等大反向完成矢量图

设BO 绳恰好拉断，即 FBO =100N，则

FAO = FBO cot 30° = 1003N＞150N，FCO= FBO / sin30°= 2 FBO = 200N, CO绳也恰好拉断。所以，在BO和CO还达到承受限度之前，AO绳已被拉断。 应设AO绳恰好被拉断，由此得到悬持的重物的最大重力为

G = FAO / cos30° = 150 /

23/2 = 1003N

变式1：如图⑴所示，AＯ、BO、CO三条绳中，随受拉力最大的是哪一根？最小是哪一根。若AO、BO绳能承受的拉力最大值是200N，CO绳能承受的拉力最大值是300N，为保证三条绳子都不会断，所吊物体的最大质量为何值？

解析：⑴ 从已知角度值可知AO⊥BO，结点O受三个力FAO 、FBO、

FCO 而平衡, 根据任两个力的合力与第三个力等大反向完成矢量图.⑵

因AO和BO承受限度均为200N，从矢量图中可知AO受力较大，所以，设AO绳恰好被拉断，则FBO不会被拉断。FCO= FAO /cos37° = 200 / 0.8=250N

＜300N，CO绳不会被拉断。所以，CO绳悬挂的重物的最大质量为m， mg = FCO．m = FCO / g = 25 kg

变式2．如图，不计重力的细绳AB与竖直墙夹角为60º，轻杆BC与竖直墙夹角为30º，杆可绕C自由转动，若细绳承受的最大拉力为200N，轻杆能承受的最大压力为300N，则在B点最多能挂多重的物体？

题型8（整体法也隔离法的应用）

例题．如图所示，光滑的金属球B放在纵截面为等腰三角形的物体A与竖直墙壁之间，恰好匀速下滑，已知物体A的重力是B的重力的6倍，不计球跟斜面和墙壁之间摩擦，问：物体A与水平面之间的动摩擦因数μ是多少？（3/7）

变式1．如图所示，质量为M的直角三棱柱A放在水平地面上，三棱柱的斜面是光滑的，且斜面倾角为θ。质量为m的光滑球放在三棱柱和光滑竖直墙壁之间，A和B都处于静止状态，求地面对三棱柱支持力和摩擦力各为多少？

变式2．如图所示，一个质量为m、顶角为α的直角劈和一个质量为M的正方体放在两竖直墙壁之间，若不计摩擦，求地面对正方体的支持力F1，左右墙壁对正方体的压力F2、F3分别是多大？

变式3．如图所示，直角劈A插在墙壁和物体B之间，劈跟竖直墙壁的夹角为37，劈的质量为m1，表面光滑，物体B的质量为 m2，两物体均处于静止状态，求B受到的静摩擦力

变式４．如图所示，一个底面粗糙，质量为m的斜面体静止在水平地面上，斜面体的斜面部分是光滑的，倾角为30°。现用一端固定的轻绳系一质量也为m的小球，小球静止时轻绳与斜面的夹角也是30°。试求：⑴当斜面体静止时绳的拉力大小？⑵若地面对斜面体的最大静摩擦力等于地面对斜面体支持力的k倍，为了使整个系统始终保持静止状态，k 值必须满足什么条件？

题型9．

例题．如图所示，在水平地面上放一木板B，重力为G2=100N，再在木板上放一货箱A，重力为G1=500N，设货箱与木板、木板与地面的动摩擦因数μ均为0.5，先用绳子把货箱与墙拉紧，如图所示，已知tgθ=3/4，然后在木板上施一水平力F，想把木板从货箱下抽出来，F至少应为多大？（Fmin= 413.6N）

变式1．如图所示，物体A、B叠放在倾角为＝37°的斜面上，并通过细线跨过光滑滑轮相连，细线与斜面平行，两物体质量分别为mA＝5kg，mB＝10kg，A、B间动摩擦因数为μ1＝0.1，B与斜面间的动摩擦因数为μ2＝0.2，现对A施一平行于斜面向下的拉力F，使A平行于斜面向下匀速运动，求F的大小。[10 ]

解答 A、B的受力分析如图所示，对于A根据平衡条件可得 F+ mAgsina＝T+ f1 ， ① N1=mAgcosa ， ②

f1=μ1N1 ， ③

对于B有 f1 + f2 + mBgsina=T ， ④ N2= N1 + mBgcosa ， ⑤ f2=μ2 N2 ， ⑥

由以上各式可解得

F =2μ2mAgcosα +μ2(mA+mB)gcosα +(mB—mA)gsinα 代入数据可得F=62N。

所以沿斜面向下拉力F 的大小为62N。

变式2．如图，A、B两物体质量相等，B用细绳拉着，绳与倾角θ的斜面平行。A与B，A与斜面间的动摩擦因数相同，若A沿斜面匀速下滑，求动摩擦因数的值。

题型9．固定在水平面上的光滑半球，球心O的正上方固定一小定滑轮，细线

一端拴一小球A，另一端绕过定滑轮，今将小球从图示的位置缓慢地拉至B点，在小球到达B点前的过程中，小球对半球的压力N，细线的拉力T的大小变化情况C

A．N变大，T变大 B..N变小，T变大 C．N不变，T变小 D.N变大，T变小 解析：小球受三个力：mg、T、N ,如图所示。由于T与N的合力与mg等大反向，画矢量图如图所示。力三角形与空间三角形相似，有大

TLNR, mghRmghR mg、R、h是不变量，小球沿大球面缓慢向上移动，L减小，所以 T减小，N不变。

变式1．质量为m的小球（半径不计）用一根细绳悬挂在A点，放在半径为R的光滑大球体表面上，悬点A恰好在大球体的球心O的正上方，且悬点到大球面的最小距离为d，d小于细绳的长度．若细绳恰与球面相切，求小球对大球面的压力为多大？细绳的张力是多大？

变式2．如图所示，轻杆AC和BC固定在墙上，AC=90cm，BC =120cm，AB=60cm，在C处挂一个G =10N的路灯，求AC和BC杆所受的力各是多大？

变式3．一球重为G，固定的竖直大圆环半径为R，轻弹簧原长为L(L＜2R)，其劲度系数为k，一端固定在圆环最高点，另一端与小球相连，小球套在环上，所有接触面均光滑，则小球静止时，弹簧与竖直方向的夹角θ为多少？

变式4．如上图，如果已知m、大球半径R、弹簧原长L，求当球静止时弹簧的长度

题型10

例题．（临界问题）3．跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A和B，物体A放在倾角为θ的斜面上，如图。已知物体A的质量为m，物体A与斜面间的动摩擦因数为μ（μ＜tanθ），滑轮的摩擦不计，要使物体A静止在斜面上，求物体B的质量

取值范围。

变式1．如图所示，物体的质量为2kg，两根轻绳AB和AC的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成θ=600的拉力F，若要使两绳都能伸直，求拉力F的大小范围。

题型11．如图所示，长为5m的细绳的两端分别系于竖立在地面上相距为4m的两杆的顶端A、B，绳上挂一个光滑的轻质挂钩，其下连着一个重为12N的物体，平衡时，问：

①绳中的张力T为多少?

②A点向上移动少许，重新平衡后，绳与水平面夹角，绳中张力如何变化? 分析与解：例6中因为是在绳中挂一个轻质挂钩，所以整个绳子处处张力相同。而在例7中，OA、OB、OC分别为三根不同的绳所以三根绳子的张力是不相同的。

对于例6分析轻质挂钩的受力如图所示，由平衡条件可知，T1、T2合力与G等大反向，且T1=T2。所以 T1sinα +T2sinα =T3= G

G，而 AO·cosα+BO.cosα= CD，所以 cosα =0.8 2sinsin=0.6，T1=T2=10N

同样分析可知：A点向上移动少许，重新平衡后，绳与水平面夹角，绳中张力均保持不变。

变式1．如图所示，A、B两物体重均为G =100N，A拴在绕过定滑轮O1的细绳一端，B吊在动滑轮O2上。整个装置静止不动，两个滑轮和细绳的重量及摩擦不计。求绕过动滑轮O2的两细绳间的夹角α 。

解：动滑轮两边细绳的拉力F1、F2大小相等，动滑轮在三个力作用下平衡（两边绳子的拉力F1、F2和重物向下的拉力F3）。F竖直向下，F1、F2以竖直线为对称轴。由后力与分力的关系，得

2 F1cos(α /2) = F3= G ，F1 = GA =100N，F1 = F2= 100N，所以 cos(α /2) = 1/2 α =120°。 变式2．如图（a）所示，将一条轻而柔软的细绳一端固定在天花板上的A点，另一端固定在竖直墙上的B点，A、B两点到O点的距离相等，绳的长度为OA的两倍。图（b）所示为一质量和半径中忽略的动滑轮K，滑轮下悬挂一质量为m的重物，设摩擦力可忽略。现将动滑轮和重物一起挂到细绳上，在达到平衡时，绳所受的拉力是多大？

即T1=T2=

解：将滑轮挂到细绳上，对滑轮进行受力分析如图，滑轮受到重力和AK和BK的拉力F，且两拉力相等，由于对称，因此重力作用线必过AK和BK的角平分线。延长AK交墙壁于C点，因KB =KC，所以由已知条件 AK+ KC = AC=2AO，所以图中的角度α =30°，此即两拉力与重力作用线的夹角。两个拉力的合力R与重力等值反向，所以： 2 F cos30° = R =G， 所以F = mg/2cos30° =

3mg/3 。

点评：①本题中的动滑轮如果换为光滑挂钩，则结果相同。②设绳子长度为L=AC，两悬点之间的水平距离为d = AO ，sinα = d /L ，所以，当L、d不变时，任由B点在竖直墙壁的一条竖直线上下移动，则角度α为定值。滑轮两边绳子拉力F也为定值。③对于可以改变两悬点A、B的水平距离的情况，拉力的变化也可由sinα = d/L 先分析角度，然后由平衡条件求解。

变式3．如图所示，一根柔软的轻绳两端分别固定在两竖直的直杆上，绳上用一光滑的挂钩悬挂一重物，AO段中张力大小为T1，BO段张力大小为T2。现将右固定端由B沿杆慢移到B′点的过程中，关于两绳中张力大小的变化情况为（ ）

A．T1变大，T2减小 B．T1减小，T2变大 C．T1、T2均变大 D．T1、T2均不变

变式4．如图所示的装置中，绳子与滑轮的质量不计，滑轮轴上的摩擦不计。A、B两物体的质量分别为m1和m2 ，处于静止状态，则以下说法不正确的是（ ）

A．m2一定等于m1 B．m2一定大于m1g/2 C．θ1角与θ2角一定相等 D．当B的质量m2稍许增加时，θ1+θ2一定增大，系统仍能达到平衡状态

变式5．如图（原图所示，相距4m的两根柱子上拴着一根5m长的细绳，细绳上有一光滑的小滑轮，吊着180N的重物，静止时AO，BO绳所受的拉力各是多少？

解答 同一条绳子拉力处处相等，所以T1=T2=T，且与竖直线夹角均为θ，如图所示，根据平衡条件得

,2T cosθ = mg ①

延长BO至墙于C点，过C作水平线交右墙于D点，根据几何关系得AO=OC，而AO+BO=5m，所以BC=OB+OC=5m，在ΔBCD中，有 cosθ =3/ 5 ② 由①②式得 T = 5mg /6 =150N

所以静止时AO、BO绳子所受拉力各是“150N，150N”。 题型12．

例题．如图所示，水平横梁一端A插在墙壁内，另一端装有小滑轮B，一轻绳一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为m=10kg的重物，CBA30，则滑轮受到绳子作用力为：

A．50N B．503N C．100N D．1003N

变式1．（对称原理与隔离法）如图所示，重为G的均匀链条。两端用等长的细线连接，

C O A O D B θ A B 挂在等高的地方，绳与水平方向成θ角。试求：⑴绳子的张力。⑵链条最低点的张力。

变式2．如图所示，质量为m的小球被三根相同的轻质弹簧a、b、c拉住，c 竖直向下，a、b 、c伸长的长度之比为3∶3∶1，则小球受c的拉力大小为（α=120°）

A．mg B．0.5mg C．1.5mg D．3mg. 题型12．

例题．如图所示，A、B两小球固定在水平放置的细杆上，相距为l，两小球各用一根长也是l的细绳连接小球C，三个小球的质量都是m．求杆对小球A的作用力的大小和方向．

解答：C球受力如图所示，根据平衡条件有 2Tcos30° =mg 得 T =

3 mg /3 ①

A球受力如图所示，根据平衡条件有 Tsin60°=mg=N , ② Tcos60° =f, ③

由①②③可得N= 3mg/ 2, f=3mg /6 因此杆对小球A的作用力F=

N2f2，代入可得

F=7/3mgm7/3g, 与竖直方向成a角， tanα = f / N =

3 /9 。

所以杆对小球A的作用力大小为mg,，方向为竖直向上偏左a角，其中α= arctan3 /9。 变式1．（对称原理与整体法、隔离法）如图所示。在光滑的水平杆上，穿着两个重均为2N的球A、B，在两球之间夹着一弹簧，弹簧的劲度系数为10N/m，用两条等长的线将球C与A，B相连，此时弹簧被压缩短10cm，两条线的夹角为60°。求。⑴杆对A球的支持力多大？⑵ C球的重力多大?