2021山东青岛市中考数学试题

数 学 试 题

（考试时间：120分钟；满分：120分）

第Ⅱ卷在答题卡上作答，在本卷上作答无效本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共有9—14题为填空题，15题为作图题，． 1624—道题24题为解答题，共．第Ⅰ卷1—8题为选择题，共96分．要求所有题目均24分；

第Ⅰ卷

一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）

下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分． 1．（2014山东省青岛市，1，3分）7的绝对值是（ ）．

A．7

B．7

1C．7

1D．7

【答案】B

2．（2014山东省青岛市，2，3分）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）．

A． B． C． D．

【答案】D

3．（2014山东省青岛市，3，3分）据统计，我国2013年全年完成造林面积约6090000公顷．6090000用科学记数法可表示为（ ）．

A．6.0910

6B．6.0910 C．60910

44

D．60.910

5【答案】A

4．（2014山东省青岛市，4，3分）在一个有15万人的小镇，随机调查了3000人，其中有300人看中央电视台的早间新闻．

据此，估计该镇看中央电视台早间新闻的约有（ ）．

A．2.5万人 【答案】C

5．（2014山东省青岛市，5，3分）已知⊙O1与⊙O2的半径分别是2和4，O1O2＝5，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（ ）．

B．2万人

C．1.5万人

D．1万人

A．内含 【答案】C

B．内切 C．相交 D．外切

6．（2014山东省青岛市，6，3分）某工程队准备修建一条长1200m的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20%，结果提前2天完成任务．若设原计划每天修建道路xm，则根据题意可列方程为（ ）．

120012001200120022(120%)xx(120%)xxA．1200 B．1200 1200120022x(120%)xx(120%)x C． D． 【答案】D

7．（2014山东省青岛市，7，3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点DC恰好落在

E AB边的 D A 中点C′上，若AB＝6，BC＝9，则BF的长为（ ）．

A．4 C．4.5

B．32 D．5

y

C

的图象可能是（8．（2014山东省青岛市， ）． 8，3分）函数

y y A． B．

x x O O 【答案】B

kB C F 2x与ykxk（k0）在同一直角坐标系中（第7题）

y y

C．

O D．

x

O x

第Ⅱ卷

二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）

40559．（2014山东省青岛市，9，3分）计算： ． 【答案】22+1

10．（2014山东省青岛市，10，3分）某茶厂用甲、乙两台分装机分装某种茶叶（每袋茶叶

的标准质量为200g）．为了监控分装质量，该厂从它们各自分装的茶叶中随机抽取了50袋，测得它们的实际质量分析如下： 平均数（g）

甲分装机 乙分装机 200 200 方差 16.23 5.84 则这两台分装机中，分装的茶叶质量更稳定的是 （填“甲”或“乙”）．

【答案】乙

11．（2014山东省青岛市，11，3分）如图，△ABC的顶点都在方格线的交点（格点）上，

如果将△ABC绕C点按逆时针方向旋转90°，那么点B的对应点B′的坐标是 ． 【答案】（1,0）

12．（2014山东省青岛市，12，3分）如图，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点

B，C的切线，且∠BDC＝110°．连接AC，则∠A的度数是 °． 【答案】35

A

y 4

C

1 2 3 4 x

A O D

B

B

B

-4 -3 -2 -1 O

C 2 1

3

A E P F

（第

13

D C

（第11

（第12题）

13．（2014山东省青岛市，13，3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD＝2，∠BCD＝

60°，对角线AC平分∠BCD， E，F分别是底边AD，BC的中点，连接EF．点P是EF上的任意一点，连接PA，PB，则PA＋PB的最小值为 ． 【答案】23

14．（2014山东省青岛市，14，3分）如图，是由一些小立方块所搭几何体的三种视图，若

在所搭几何体的基础上（不改变原几何体中小立方块的位置），继续添加相同的小立方块，以搭成一个大正方体，至少还需要 个小立方块．

主视图 左视图 俯视图

【答案】54

三、作图题（本题满分4分）

用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 15．（2014山东省青岛市，15，4分）已知：线段a，∠α．

求作：△ABC，使AB＝AC＝a，∠B＝∠α．

a

【答案】解：正确作图；

α

正确写出结论．

四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）

16．（本小题满分8分，每题4分）（2014山东省青岛市，16，4分）

x21x12yy； （1）计算：

x1y2yx1 【答案】（1）解：原式＝

(x1)(x1)y2yx1 ＝

2 ······························ 3分 ······························ 4分

， ① ． ②

x1＝y

．

3x502x1（2014山东省青岛市，16，4分）（2）解不等式组：【答案】解：解不等式①，得

5x＞3．

解不等式②，得

x＜3．

5所以，原不等式组的解集是3＜x＜3．

······························· 4分

17．（本小题满分6分）（2014山东省青岛市，17，6分）

空气质量状况已引起全社会的广泛关注，某市统计了2013年每月空气质量达到良好以上的天数，整理后制成如下折线统计图和扇形统计图．

某市2013年每月空气质量良好以上天数统计图 某市2013年每月空气质量良好以上天数分布统计图

30 25 20 15 10 天数/天

2

18 119 1

1

1

1

1

2

A C A：20天以B 上 B：10~20

根据以上信息解答下列问题：

（1）该市2013年每月空气质量达到良好以上天数的中位数是_____天，众数是_____天； （2）求扇形统计图中扇形A的圆心角的度数；

（3）根据以上统计图提供的信息，请你简要分析该市的空气质量状况（字数不超过30字）．

【答案】解：（1）14，13．

·····································

2（2）360°×12＝60°，

答：扇形A的圆心角的度数是60°． ······························· 4分 （3）合理即可．

······························· 6分

18．（本小题满分6分）（2014山东省青岛市，18，6分）

某商场为了吸引顾客，设立了可以自由转动的转盘（如图，转盘被均匀分为20份），并规定：顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得200元、100元、50元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券30元．

（1）求转动一次转盘获得购物券的概率；

（2）转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客 更合算？

红 绿 绿 黄 101【答案】解：（1）P（转动一次转盘获得购物券）＝绿 20＝2． ·····································

绿 黄 绿 黄 绿

2分

（2）

2001361005040202020（元）

∵40元＞30元，

∴选择转转盘对顾客更合算．

······························· 6分

19．（本小题满分6分）（2014山东省青岛市，19，6分）

甲、乙两人进行赛跑，甲比乙跑得快，现在甲让乙先跑10米，甲再起跑．图中l1

和l2分别表示甲、乙两人跑步的路程y(m)与甲跑步的时间x(s)之间的函数关系，其中l1的关系式为y1＝8x，问甲追上乙用了多长时间？

【答案】解：设y2＝kx＋b（k≠0），

根据题意，可得方程组

10=b

22=2k+b解这个方程组，得 k6

b10所以y2＝6x＋10．

22

y/m

l1 l2

10

O

2

（第

19

x/s

当y1＝y2时，8x＝6x＋10， 解这个方程，得x＝5． 答：甲追上乙用了5s．

······························· 6分

20．（本小题满分8分）（2014山东省青岛市，20，8分）

如图，小明想测山高和索道的长度．他在B处仰望山顶A，测得仰角∠B＝31°，再往山的方向（水平方向）前进80m至索道口C处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角∠ACE＝39°．

（1）求这座山的高度（小明的身高忽略不计）；

（2）求索道AC的长（结果精确到0.1m）．

3197（参考数据：tan31° ≈5，sin31° ≈2，tan39° ≈11，sin39° ≈11） A 【答案】解：（1）过点A作AD⊥BE于D， 设山AD的高度为x m， 在Rt△ABD中,∠ADB＝90°， 31° 39°

B

C

E

ADtan31°＝BD，

BD∴

ADx5=xtan31º335．

在Rt△ACD中,∠ADC＝90°，

ADtan39°＝CD，

CD∴

ADx11=xtan39º9911．

∵BCBDCD

511xx809∴ 3， 解这个方程，得x180. 即山的高度为180米.

（2）在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，

ADsin39°＝AC，

······························ 6分

AC∴

AD180282.9sin39º711（米）．

······························ 8分

答：索道AC长约为282.9米. ．

21．（本小题满分8分）（2014山东省青岛市，21，8分）

已知：如图，□ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．

（1）求证：△AOD≌△EOC；

（2）连接AC，DE，当∠B∠AEB °时，

四边形ACED是正方形？请说明理由．

【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

B

O A D

C （第 21题）

E

∴AD∥BC．

∴∠D＝∠OCE，∠DAO＝∠E． 又∵OC＝OD， ∴△AOD≌△EOC．

（2）当∠B＝∠AEB＝45°时，四边形ACED是正方形.

∵△AOD≌△EOC， ∴OA＝OE． 又∵OC＝OD，

∴四边形ACED是平行四边形. ∵∠B＝∠AEB＝45°， ∴AB＝AE，∠BAE＝90°. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD． ∴∠COE＝∠BAE＝90°． ∴□ACED是菱形． ∵AB＝AE，AB＝CD， ∴AE＝CD．

∴菱形ACED是正方形.

22．（本小题满分10分）（2014山东省青岛市，22，10分）

某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．

（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，

那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本＝每件的成本×每天的销售量）

······························ 4分

A O B

C

E D （第21

······························ 8分

【答案】解：（1）y＝（x－50）[50＋5（100－x）]

＝（x－50）（－5x＋550）

＝－5x2＋800x－27500 ∴y＝－5x2＋800x－27500．

······························ 4分

（2）y＝－5x2＋800x－27500

＝－5(x－80)2＋4500 ∵a＝－5＜0， ∴抛物线开口向下．

∵50≤x≤100，对称轴是直线x＝80， ∴当x＝80时，y最大值＝4500．

······························· 6分

（3）当y＝4000时，－5(x－80)2＋4500＝4000，

解这个方程，得x1＝70，x2＝90．

∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元． 由每天的总成本不超过7000元，得50（－5x＋550）≤7000， 解这个不等式，得x≥82．∴82≤x≤90，

∵50≤x≤100，∴销售单价应该控制在82元至90元之间. ··························· 10分

23．（本小题满分10分）（2014山东省青岛市，23，10分）

111123nmm（其中m，n都是正整数，且m≥2，n≥1）数学问题：计算mm． 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面

积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．

111232探究一：计算2212n．

1第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为2；

第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为

11222； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……；

……

第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之

和

111232为22112n，最后空白部分的面积是2n．

第3次分割 第n次分割

第1次分割

第2次分割

12 1 12 1 12 123…

112 123

111232根据第n次分割图可得等式：2211

12n＝2n．

11123333探究二：计算

13n．

2 第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为3；

第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为

22332；

第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……； ……

第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之

和

22223333为

第1次分割

2 3

213n，最后空白部分的面积是3n．

第3次分割 第n次分割

第2次分割

23 23 2133… 23 233222223 23333根据第n次分割图可得等式：11123333两边同除以2， 得

2223n1n ， 3＝3111n3＝223n．

232 … 23n 1

3n

111234探究三：计算4414n．

（仿照上述方法，只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过

程）

第n次分割

11123m解决问题：计算mm1mn．

（只需画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空） 根据第n次分割图可得等式： ，

111123nmm＝ ． 所以，mm

5152153123555拓广应用：计算

5n1n5 ．

第n次分割

【答案】 解：探究三： 第1次分割，把正方形的面积四等分， 第n次分割

3 3其中阴影部分的面积为4；

4 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，

3332334 阴影部分的面积之和为44； 42 … 31第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，……； n4 4n

…… 第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分，所有阴影部分的面积之和

314n，最后的空白部分的面积是4n， 3333123n1n

44＝4， 根据第n次分割图可得等式：44111234两边同除以3， 得44

333234为441114n＝334n．

······················ 4分解决问题：

第n次分割

m1m1m1m1123n1nmmm＝m， m11nm1(m1)m ．

m1m m1m3 1mn m1m2 …m1n

······························ 8分

拓广应用：

11111111原式 552535n 1111n23n

5555

1 1nn 445

114n11n(或)24．（本小题满分12分）（2014山东省青岛市，24，12分） nn445445已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝12cm，BD＝16cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t(s)（0＜t＜8）．解答下列问题： （1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？

（2）设四边形APFE的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使S

P O Q 四边形APFE∶S菱形ABCD＝17∶40？若存在，求出

t的值，并

求出此时P，E两点间的距离；若不存在，请说明理由．

A E D

F B 【答案】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，

11∴AB∥CD，AC⊥BD，OA＝OC=2AC＝6，OB＝OD=2BD＝8． A C P （第24E Q D

F G B O 22在Rt△AOB中，AB＝68＝10． ∵EF⊥BD，

∴∠FQD＝∠COD＝90°．

C

（第24题）

又∵∠FDQ ＝∠CDO， ∴△DFQ∽△DCO． DFQD∴DC＝OD． DFt即10＝8，

5∴DF＝4t．

∵四边形APFD是平行四边形， ∴AP＝DF．

5即10－t＝4t，

40解这个方程，得t＝9．

40答：当t＝9s时，四边形APFD是平行四边形．2）过点C作CG⊥AB于点G，

1∵S菱形ABCD＝AB·CG＝2AC·BD，

1即10·CG＝2×12×16，

48∴CG＝5．

1∴S梯形APFD＝2（AP＋DF）·CG

15486＝ 2（10－t＋4t）·5＝5t＋48．∵△DFQ∽△DCO， QDQF∴OD＝OC． tQF即8＝6， 3∴QF＝4t． 3同理，EQ＝4t．

····························· 4分

·

（

3∴EF＝QF＋EQ＝2t．

1133∴S△EFD＝2EF·QD＝ 2×2t×t＝4t2．

6336∴y＝（5t＋48）－4t2＝－4t2＋5t＋48．

······························ 8分

A P E M Q （3）若S四边形APFE∶S菱形ABCD＝17∶40，

3617则－4t2＋5t＋48＝40×96，

即5t2－8t－48＝0，

12解这个方程，得t1＝4，t2＝－5（舍去）

B O N D

过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N， 当t＝4时， ∵△PBN∽△ABO，

PNPBBNPN4BN∴AO＝AB＝BO，即6＝10＝8．

1216∴PN＝5，BN＝5．

F C

（第24题）

∴EM＝EQ－MQ＝

31235＝5．

164445＝5．

PM＝BD－BN－DQ＝在Rt△PME中，

161945(44)2(3)255＝5(cm)． ·PE＝PMEM＝···························· 12分

22