多面体外接球半径内切球半径的常见几种求法

如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.

公式法

例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为

9，底面周长为３，则这个球的体积为 . 86x3,1x,2 解 设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有932xh,64h3．8∴正六棱柱的底面圆的半径r31，球心到底面的距离d.∴外接球的半径

22Rr2d21.V球4. 3222小结 本题是运用公式Rrd求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 多面体几何性质法

例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16 B.20 C.24 D.32

解 设正四棱柱的底面边长为x，外接球的半径为R，则有4x16，解得x2. ∴2R222224226,　 　R6.∴这个球的表面积是4R224.选C.

小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.

补形法 例3 若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 .

解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.

设其外接球的半径为R，则有2R223232329.∴R29. 4故其外接球的表面积S4R9.

小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a、b、c，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有

2Ra2b2c2. 寻求轴截面圆半径法

例4 正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点都在同一球面上，则此球的体积为 .

解 设正四棱锥的底面中心为O1，外接球的球心为O，如图3

DAO1图3BSS、A、B、C、D所示.∴由球的截

C面的性质，可得OO1平面ABCD.

又SO1平面ABCD，∴球心O必在SO1所在的直线上.

∴ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径. 在ASC中，由SASC2，AC2，得SA2SC2AC2.

∴ASC是以AC为斜边的Rt. ∴

AC4. 1是外接圆的半径，也是外接球的半径.故V球23小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半

径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.

确定球心位置法

例5 在矩形ABCD中，AB4,BC3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为

125125125125

 B. C. D. 12963解 设矩形对角线的交点为O，则由矩形对角线互相平分，可知OAOBOCOD.∴点O到四面体的四个顶点A、B、C、D的

5为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径ROA.

24125V球R3.选C.

36A.

DCB距离相等，即点O故

AO图4出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解

【例题】：已知在三棱锥ABCD中，AD面ABC，BAC120，ABADAC2，求该棱锥的外接球半径。

解：由已知建立空间直角坐标系

0) 由平面知识得 C(1，3，zD设球心坐标为O(x,y,z) 则AOBOCOADO,由空间两C点间距离公式知

x2y2z2(x2)2y2z2 x2y2z2x2y2(z2)2 y3解得 x1y3z1

xB所以半径为R12（32221 ）133222【结论】：空间两点间距离公式：PQ(x1x2)(y1y2)(z1z2)

四面体是正四面体

外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点，

根据勾股定理知，假设正四面体的边长为a时，它的外接球半径为

内切球的半径

正方体的内切球：

设正方体的棱长为a，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3）与棱相切的球半径。 （1）截面图为正方形EFGH的内切圆，得R6a。 4a； 2（2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O为正方形EFGH的外接圆，易得R2a。 2（3） 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面AA1作截面图得，圆O为矩形

AA1C1C的外接圆，易得RA1O3a。 2构造与球外接面中心、底构成球半

例题：

图3 图4

图5

直三角形，巧解正棱柱的组合问题正棱柱的球，其球心定在上下底心连线的中点处，由球面中心及底面一顶点的直角三角形便可得径。

已知底面边长为a正三棱

柱ABCA1B1C1的六个顶点在球O1上，又知球O2与此正三棱柱的5个面都相切，求球O1与球O2的体积之比与表面积之比。

分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。

解：如图6，由题意得两球心O1、O2是重合的，三棱柱的一条侧棱AA1和它们的球心作截面，设正三棱面边长为a，则R2过正柱底

3a，正三棱柱的高为6图6

h2R23a，由RtA1D1O中，得 3222333522a2，R15a R1aR2aa3612123S1:S2R1:R25:1，V1:V255:1

22二 棱锥的内切、外接球问题

4 .正四面体的外接球和内切球的半径是多少？

分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解：如图1所示，设点O是内切球的球心，正四面体棱长为a．由图形的性知，点O也是外接球的球心．设内切球半径为r，外接球半径为R．

2在RtBEO中，BO2BE2EO2，即R23ar2，得R6a，34R3r

【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为h4 ( h为正四面体的高)，接球的半径

3h4，从而可以通过截面图中RtOBE建立棱长与半径之间的关系 多面体的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为：3V/S

高为h，各面面积均为S的棱锥内任意一点到各表面距离之和为h

图1

解之。 对称

得

重合且外