习题课（二） 不等式
一、选择题
1．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是( ) A．A≤B C．A B．A≥B D．A>B b3 a－2＋b2≥0，∴A≥B. 解析：选B ∵A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)＝242．设集合A＝{x|x2－x－2<0}，集合B＝{x|1 4 ，Q＝5，则P，Q的大小关系为( ) m－1 B．P＝Q D．P≤Q 44＝m－1＋＋1≥2m－1m－1 4 m－1·＋1 m－1 4 ＝5＝Q.当且仅当m－1＝，即m＝3时等号成立，故选C. m－1 4．不等式2x2－x－1>0的解集是( ) 1 － B．{x|x>1} 1 x<－或x>1 D.x2 C．{x|x<1或x>2} 解析：选D ∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，∴由2x2－x－1>0得(2x＋1)(x－1)>0，解得 11 . x<－或x>1x<－或x>1，∴不等式的解集为x22 5．当x>1时，不等式x＋A．a≤2 C．a≥3 1 ≥a恒成立，则实数a的取值范围是( ) x－1 B．a≥2 D．a≤3 11＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，由xx－1x－1 解析： 选D 因为x>1，所以x－1>0，则x＋1 ＋≥a恒成立得a≤3. x－1 6．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝x x－2 ，则A∩B等于( ) x≤0 A．[－1,0) C．(－∞，－2) B．(0,1] D．[0,1] 解析：选B 因为A＝{x|－1≤2x＋1≤3}＝[－1,1]， x－2B＝x≤0＝{x|(x－2)x≤0，且x≠0}＝(0,2]． x 所以A∩B＝(0,1]． 7.《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB.设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为( ) a＋bA.≥ab(a>0，b>0) 2B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0) 2abC.≤ab(a>0，b>0) a＋ba＋bD.≤ 2 a2＋b2 (a>0，b>0) 2 a＋ba－b1 解析：选D 由图形可知OF＝AB＝，OC＝.在Rt△OCF中，由勾股定理可 222得CF＝ a＋b＋a－b＝ 2222 a2＋b2a＋b .∵CF≥OF，∴≤22a2＋b2 (a>0，b>0)． 2 8．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( ) A．甲先到教室 C．两人同时到教室 B．乙先到教室 D．谁先到教室不确定 解析：选B 设甲用时间T，乙用时间2t，步行速度为a，跑步速度为b，距离为s，ss22a＋bsa＋bss2s2s 则T＝＋＝＋＝s×，ta＋tb＝s⇒2t＝，∴T－2t＝－＝ ab2a2b2ab2aba＋ba＋ba＋b2－4absa－b2 s×＝>0，故选B. 2aba＋b2aba＋b 二、填空题 9．若a＜b＜0，则 11 与a的大小关系为________． a－b b111111 解析：∵－a＝，a＜b＜0.∴a－b＜0，∴－a＜0.∴＜a. a－ba－baa－ba－b 答案： 11＜ a－ba m 10．已知x＋(x>2)的最小值为6，则正数m的值为________． x－2mm 解析：∵x>2，m>0，∴x＋＝x－2＋＋2≥2 x－2x－2x＝2＋m时取等号，又x＋ 答案：4 11．已知关于x的不等式ax＋b>0的解集为(－∞，1)，则不等式________． b 解析：∵关于x的不等式ax＋b>0的解集为(－∞，1)，∴a<0，且－＝1. ax＋2x＋2x＋2 ∴不等式>0可化为b<0，即<0，解得－2 x－a答案：(－2，－1) m2x－112．若＜0(m≠0)对一切x≥4恒成立，则实数m的取值范围是________． mx＋1解析：依题意，对任意的x≥4，有y＝(mx＋1)·(m2x－1)＜0恒成立，结合图像分析可m＜0， －1＜4，知m 1m＜4， 2 mx－2·＋2＝2m＋2，当 x－2 m (x>2)的最小值为6，∴2m＋2＝6，解得m＝4. x－2 x＋2 >0的解集为ax－b 11 m<－由此解得m＜－，即实数m的取值范围是 m2. 2 1 m<－ 答案：m2 三、解答题 2x2 13. 当x>3时，求的取值范围． x－3解：∵x>3，∴x－3>0. 2x22x－32＋12x－3＋18∴＝ x－3x－3＝2(x－3)＋ 18 ＋12≥2 x－3 18 2x－3·＋12＝24. x－3 18当且仅当2(x－3)＝，即x＝6时，上式等号成立． x－314．解关于x的不等式56x2＋ax－a2<0. 解：原不等式可化为(7x＋a)(8x－a)<0， aa x＋x－<0. 即78 aaaa①当－<，即a>0时，－ aa ②当－＝，即a＝0时，原不等式解集为∅； 78aaaa ③当－>，即a<0时， aa x－ 当a＝0时，原不等式的解集为∅； aa 1119 15．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求＋的最小值． a－1b－111 解：∵正数a，b满足a＋b＝1， a＋b11 ∴a>1，且b>1，＋＝1变形为＝1， abab∴ab＝a＋b，∴ab－a－b＝0， ∴(a－1)(b－1)＝1，∴a－1＝∵a－1>0，∴ 1 ， b－1 1·9a－1＝6， a－1 191＋＝＋9(a－1)≥2a－1b－1a－1 11 当且仅当＝9(a－1)，即a＝1±时取“＝”， 3a－1419 由于a>1，故取a＝，∴＋的最小值为6. 3a－1b－1 16. 国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54 000美元． (1)写出钻石的价值y关于钻石重量x的关系式； (2)把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m克拉和n克拉， 试证明：当m＝n时，价值损失的百分率最大． 原有价值－现有价值 (注：价值损失的百分率＝×100%；在切割过程中的重量损耗忽略 原有价值 不计) 解：(1)由题意可设价值与重量的关系式为：y＝kx2， ∵3克拉的价值是54 000美元， ∴54 000＝k·32，解得k＝6 000，∴y＝6 000x2， ∴此钻石的价值与重量的关系式为y＝6 000x2. (2)证明：若两颗钻石的重量为m，n克拉，则原有价值是6 000(m＋n)2， 现有价值是6 000m2＋6 000n2，价值损失的百分率： m＋n2 2× 6 000m＋n2－6 000m2－6 000n2212mn ×100%＝×100%≤＝， 26 000m＋n2m＋n2m＋n2 当且仅当m＝n时取等号． ∴当m＝n时，价值损失的百分率最大． 高考数学：试卷答题攻略 一、“六先六后”，因人因卷制宜。 考生可依自己的解题习惯和基本功，选择执行“六先六后”的战术原则。1.先易后难。2.先熟后生。3.先同后异。先做同科同类型的题目。4.先小后大。先做信息量少、运算量小的题目，为解决大题赢得时间。5.先点后面。高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，步步为营，由点到面。6.先高后低。即在考试的后半段时间，如估计两题都会做，则先做高分题;估计两题都不易，则先就高分题实施“分段得分”。 二、一慢一快，相得益彰，规范书写，确保准确，力争对全。 审题要慢，解答要快。在以快为上的前提下，要稳扎稳打，步步准确。假如速度与准确不可兼得的话，就只好舍快求对了。 三、面对难题，以退求进，立足特殊，发散一般，讲究策略，争取得分。 对于一个较一般的问题，若一时不能取得一般思路，可以采取化一般为特殊，化抽象为具体。对不能全面完成的题目有两种常用方法：1.缺步解答。将疑难的问题划分为一个个子问题或一系列的步骤，每进行一步就可得到一步的分数。2.跳步解答。若题目有两问，第一问做不上，可以第一问为“已知”，完成第二问。 四、执果索因，逆向思考，正难则反，回避结论的肯定与否定。 对一个问题正面思考受阻时，就逆推，直接证有困难就反证。对探索性问题，不必追求结论的“是”与“否”、“有”与“无”，可以一开始，就综合所有条件，进行严格的推理与讨论，则步骤所至，结论自明。理综求准求稳求规范 第一：认真审题。审题要仔细，关键字眼不可疏忽。不要以为是“容易题”“陈题”就一眼带过，要注意“陈题”中可能有“新意”。也不要一眼看上去认为是“新题、难题”就畏难而放弃，要知道“难题”也可能只难在一点，“新题”只新在一处。 第二：先易后难。试卷到手后，迅速浏览一遍所有试题，本着“先易后难”的原则，确定科学的答题顺序，尽量减少答题过程中的学科转换次数。高考试题的组卷原则是同类题尽量按由易到难排列，建议大家由前向后顺序答题，遇难题千万不要纠缠。 第三：选择题求稳定。做选择题时要心态平和，速度不能太快。生物、化学选择题只有一个选项，不要选多个答案;对于没有把握的题，先确定该题所考查的内容，联想平时所学的知识和方法选择;若还不能作出正确选择，也应猜测一个答案， 不要空题。物理题为不定项选择，在没有把握的情况下，确定一个答案后，就不要再猜其他答案，否则一个正确，一个错误，结果还是零分。选择题做完后，建议大家立即涂卡，以免留下后患。 第四：客观题求规范。①用学科专业术语表达。物理、化学和生物都有各自的学科语言，要用本学科的专业术语和规范的表达方式来组织答案，不能用自造的词语来组织答案。②叙述过程中思路要清晰，逻辑关系要严密，表述要准确，努力达到言简意赅，切中要点和关键。③既要规范书写又要做到文笔流畅，不写病句和错别字，特别是专业名词和概念。④遇到难题，先放下，等做完容易的题后，再解决，尽量回忆本题所考知识与我们平时所学哪部分知识相近、平时老师是怎样处理这类问题的。⑤尽量不要空题，不会做的，按步骤尽量去解答，努力抓分。记住：关键时候“滥竽”也是可以“充数”的。 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容解析：选C 因为m>1，所以P＝m＋