高中数学——“不等式的解法”归类专题(参考)

“不等式的解法”专题

一．整式不等式的解法

步骤：正化，求根，标轴，穿线（奇过偶不过），定解

1. 一元一次不等式ax>b解的讨论： 当a>0时解集为集为；

2. 一元二次不等式我们总可化为ax2+bx+c>0和ax2+bx+c+<0(a>0)两形式之一，记△=b2-4ac。

△<0 △=0 ax2+bx+c>0 R {x|xR且xax2+bx+c+<0 bb,，当a<0时解集为,当a=0且b<0时解集为R，当a=0且b≥0时，解

aa b} 2 △>0 跟踪训练

,x1(x2,)(x1x2)x1,x2(x1x2) 1.若0a1,则不等式xax2.

10的解是 ax2x6有意义，则x的取值范围是

3. 若ax2＋bx－1＜0的解集为{x|－1＜x＜2}，则a＝________，b＝________．

4.解下列不等式

(1)(x－1)(3－x)＜5－2x (2)x(x＋11)≥3(x＋1)2 (3)(2x＋1)(x－3)＞3(x2＋2)

(4)3x23x1＞32x21(5)x2x1＞x(x1)3

二．分式不等式的解法

先移项通分化为一边为

f(x)，一边为0的形式，再等价转化为整式不等式，即： g(x)f(x)0f(x)g(x)0;g(x)跟踪训练 1.下列不等式与(A)

f(x)g(x)0f(x)0

g(x)0g(x)2x0 同解的是（ ） x1x10 (B)x(x1)0 x11| x2(C) lg(x1)0 (D)|x2. 不等式

3. 不等式(A){x|

1

x的解集为 . x

3x11的解集为（ ） 2x33≤x≤2} (B) {x|≤x<2} 443} (D){x|x＜2} 4(C) {x|x>2或x≤4. 不等式

5.解不等式巩固训练

x2的解集为 . x13x72 2x2x3不等式(x－2)2·(x－1)>0的解集为 . 不等式(x＋1) ·(x－1)2≤0的解集为 .

1. 不等式(x2－2x－3)(x2－4x+4)<0的解集为（ ） A.{x| x<－1或x>3} B.{x| －1C.{x| x<－3或x>1} D.{x| －1x30同解的不等式是 （ ） 2x A.(x－3)(2－x)≥0 B.lg(x－2)≤0 C.

2x0 D.(x－3)(2－x)>0 x3x12的解集为（ ） xB. [1,)

3.不等式

A. [1,0) C. (,1]

D. (,1]U(0,)

含绝对值的不等式

1.应用分类讨论思想去绝对值； 2.应用数形结合思想；

3.应用平方法（要求不等式两端同号）

基础训练

1. 不等式|8－3x|＞0的解集是（ ）

A．8C．{x|x≠}3 B．R8 D．{}32.不等式1|x1|3的解集为（ ）.

A.(0,2) B. (2,0)U(2,4)

C. (4,0) D. (4,2)U(0,2)

3. 不等式4＜|1－3x|≤7的解集为

指数、对数不等式的解法

解指数、对数不等式的一些常用方法：

（1） 同底法：能化为同底数先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底是参数时要

注意分类讨论，并注意到对数真数大于零的限制条件 （2） 转化法：多用于指数不等式，通过两边取对数转化为对数不等式

（3） 换元法：多用于不等式两边均有统一的组合形式，或取对数后再换元，注意所换“元”的范围 （4） 数形结合 基础训练 1. 不等式6x2x21的解集为

2. 不等式()131x3的解集为 33. 不等式log2(x2)0的解集为 4. 函数f(x)log0.1(2x1)的定义域为

5. 不等式log0.2(x22x3)log0.2(3x1)的解集为 6. 不等式x1log0.5x的解集为 巩固训练 1.已知当x922时，不等式loga(xx2)loga(x2x3)成立，则不等式的解集为 4x12e,(x2)2.设f(x)，则不等式f(x)2的解集为 2log3(x1),(x2)3. 已知集合A{x222x8,xZ},B{xlog2x1,xR}，则A(CRB)的元素个数为_____个 4. 解关于x的不等式：lgx2(lgx)2

2x2xa有解，求实数a的取值范围 5 若关于x的方程x22x

6 已知a0,a1，若loga2log2a，求实数a的取值范围

不等式解法六种典型例题

典型例题一（整式不等式） 例1. 解不等式：

（1）2x3x215x0； （2）(x4)(x5)2(2x)30

说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”。

典型例题二（分式不等式） 例2 .解下列分式不等式：

x24x1321 （1）； （2）213x7x2x2x2

x26x50 例3. 解不等式2124xx

x22x2例4 . 解不等式x． 232xx

说明：此题易出现去分母得x22x2x(32xx2)的错误解法．避免误解的方法是移项使一边为０再解．另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理．

典型例题三（含绝对值的不等式） 例5 . 解不等式x24x2

例6 . .解不等式4x210x33

说明：解含绝对值的不等式，关键是要把它化为不含绝对值的不等式，然后把不等式等价转化为不等式组，变成求不等式组的解．

典型例题四（指数、对数不等式） 例7 解关于x的不等式4x(x2)8•32x0

2例8解关于x的不等式log0.5(x3x4)log0.5(x5)1

例9解关于x的不等式log1xlog1(3x)1

33

2例10 若对任意p2，pR，不等式(log2x)plog2x12log2xp恒成立，求实数x的取值范围

典型例题四（含参数的不等式）

例10. 设mR，解关于x的不等式m2x22mx30．

例11．解关于x的不等式x2(aa2)xa30．

ax2x(aR) 例12 . 解关于x的不等式

ax1

例13解关于x的不等式：xxa22a(a0) 9

例14 解关于x的不等式：a2x1ax2ax2(a0)

例15 设ylog0.5(a2x2(ab)xb2x1)(a0,b0)，求使y为负值的x的取值范围

例16 解关于x的不等式：loga(1)1

例17 给定函数f(x)logalogax(a0,a1)，当f(x)1时，求x的取值范围

1x典型例题五（不等式解法的逆用）

例18. 已知不等式ax2bxc0的解集是xx(0)．求不等式cx2bxa0的解集．

例19 .若不等式

例20 已知不等式2xtt10的解集为(,)，求t的值

xaxb1的解为(，)(1，)，求a、b的值．

3x2x1x2x11122

例21 已知关于x的不等式k•42xx16k0

（1） 若不等式的解集为{x1xlog23}，求实数k的值

（2） 若不等式的解集为{x1xlog23}的子集，求k的取值范围 （3） 若不等式对一切1xlog23都成立，求k的取值范围

例22 函数yloga(a2x)•loga2(ax)最小值是，最大值是0，其定义域是不等式4x15•2x160的解集，求a的值

18典型例题六（含参不等式的有解问题与恒成立问题）

例23 设不等式x22axa20的解集为M，如果M[1,4]，求实数a的取值范围

例24 不等式x2(m1)x10在区间(0,2]中有解，求参数m的取值范围

例25 若关于x的不等式x2xaa在R上恒成立，求a的最大值

例26 如果对于任意xR，不等式x1kx恒成立，求k的取值范围

例27 已知x[0,1]时，不等式()3ax1()1axx()a2恒成立，求实数a的取值范围

例28 设不等式3

例29 若对实数x[10,)恒有logmx2，求实数m的取值范围

x227logm31212212m3对一切xR均成立，求实数m的取值范围