高中数学不等式归纳讲解

第三章 不等式之马矢奏春创作

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定义：用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。

3-1 不等式的最基赋性质

①对称性：如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y；

②传递性：如果x＞y，y＞z；那么x＞z；

③加法性质； 如果x＞y，而z为任意实数，那么x＋z＞y＋z；

④乘法性质： 如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz；如果x＞y，z＜0，那么xz＜yz;（符号法则）

3-2 不等式的同解原理

①不等式F（x）＜ G（x）与不等式 G（x）＞F（x）同解。

②如果不等式F（x） ＜ G（x）的定义域被解析式H（ x ）的定义域所包含，那么不等式 F（x）＜G（x）与不等式F（x）＋H（x）＜G（x）＋H（x）同解。 ③如果不等式F（x）＜G（x） 的定义域被解析式H（x）的定义域所包含，而且H（x）＞0，那么不等式F

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(x)＜G（x）与不等式H（x）F（x）＜H（ x ）G（x） 同解；如果H（x）＜0，那么不等式F（x）＜G（x）与不等式H (x)F（x）＞H（x）G（x）同解。 ④不等式F（x）G（x）＞0与不等式解

不等式解集暗示方式

F(x)>0的解集为x大于大的或x小于小的 F(x)<0的解集为x大于小的或x小于大的

3-3 重要不等式 3-3-1均值不等式

1、调和平均数：

F(x)0F(x)0或同

G(x)0G(x)0Hnn111(...)a1a2an

2、几何平均数： Gn(a1a2...an)1n

(a1a2an) 3、算术平均数： Ann 4、平方平均数： Qn

22(a1a2...a2n)

n 这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn

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a1、a2、… 、an∈R +，当且仅当a1=a2= … =an时取“=”号

3-3-1-1均值不等式的变形

22(1)对正实数a,b，有ab2ab (当且仅

当a=b时取“=”号)

(2)对非负实数a,b，有ab222ab( (6)对非负数a,b，有

ab

ab2)ab 2(7) 若a,b,cR，有abc≥33abc（等号仅当

abc时成立）

(8)对非负数a,b,c，有

a2b2c2abbcac

2aba2b2(9)对非负数a,b， 11ab

22ab3-3-1-1最值定理

当两个正数的和一定时，其乘积有最大值；当两个正数的乘积一定时，其和有最小值。

均值不等式求最值主要方法：

1.罕见构造条件的变换：加项变换，系数变换，平方变

换，拆项变换，常量代换，三角代换等.2.当使用均值定理时等号不克不及成立时，应考虑函数的单调性（例如“对号”函数，导数法）.

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3-3-2权方和不等式

a,b,n为正整数。m为正数。

3-4绝对值不等式

|a+b|≤|a|+|b|

3-5不等式例题解析 3-5-1 绝对值不等式

1、求|x25x5|1的解 2、右边的常数变成代数式

(1)|x+1|>2－x；(2)|x2－2x－6|<3x 形如|f(x)|g(x)型不等式

这类不等式的简捷解法是等价命题法，即： ①|f(x)|g(x)f(x)>g(x)或f(x)<－g(x) 3、两个绝对值不等式

解不等式（1）|x－1|<|x+a|；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5.

形如|f(x)|<|g(x)|型不等式

1）此类不等式的简捷解法是利用平方法，即： |f(x)|<|g(x)|f2(x)g2(x)[f(x)g(x)][f(x)g(x)]<0

2）所谓零点分段法，是指：若数x1，x2，……，xn分别使含有|x－x1|，|x－x2|，……，|x－xn|的代数式中相应绝对值为零，称x1，x2，……，xn为相应绝对值的零点，零点x1，x2，……，xn将数轴分为m+1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即

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令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。零点分段法是解含绝对值符号的不等式的经常使用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化。

例题．不等式|x+3|-|2x-1|2解：

14x(x)21 |x+3|-|2x-1|=4x2(3x) 2x4(x3)4、含参数绝对值不等式

解关于x的不等式 x24mx4m2m3 ［解题］原不等式等价于 |x2m|m3

当m30即m3时， x2mm3或x2m(m3) ∴x3m3或xm3

当m30即m3时， |x6|0∴x当m30即m3时， x方法归纳：

形如|f(x)|a(aR)型不等式 此类不等式的简捷解法是等价命题法，即： ①

6

R

当a>0时，|f(x)|创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日

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|f(x)|>af(x)>a或f(x)<－a；

②

当a=0时，|f(x)|af(x)当a<0时，|f(x)|af(x)≠0

③

有意义。

4、含参数绝对值不等式有解、解集为空和恒成立的问题 若不等式|x－4|+|3－x|［思路］此不等式左边含有两个绝对值符号，可考虑采取零点分段法，即令每一项都等于0，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集，这是按惯例去掉绝对值符号的方法求解，运算量较大。若仔细观察不等式左边的结构，利用绝对值的几何意义用数形结合方法或联想到绝对值不等式|a+b|≤|a|+|b|，便把问题简化。

［解题］解法一 (1)当a≤0时，不等式的解集是空集。

(2)当a>0时，先求不等式|x－4|+|3－x|a的取值范围。

令x－4=0得x=4，令3－x=0得x=3

① 当x≥4时，原不等式化为x－4+x－371 4x22x7a② 当31

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③ 当x≤3时，原不等式化为4－x+3－x2xx37a7a解不等式x33，∴a>1

72xa22综合①②③可知，当a>1时，原不等式有解，从而当0解法二由|x－4|+|3－x|的最小值为1得当a>1时，|x－4|+|3－x|从而当a≤1时，原不等式解集为空集。

解法三： ∵a>|x－4|+|3－x|≥|x－4+3－x|=1 ∴当a>1时，|x－4|+|3－x|1）一题有多法，解题时需学会寻找最优解法。

2）fxa有解afxmin；fxa解集为

空集afxmin；这两者互补。fxa恒成立

afxmax。

fxa有解afxmin；fxa解集为空集

afxmin；这两者互补。fxa恒成立afxmax。

fxa有解afxmax；fxa解集为空集

afxmax；这两者互补。fxa恒成立

afxmin。

fxa有解afxmax；fxa解集为空集

afxmax；这两者互补。fxa恒成立

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afxmin。

6、绝对值三参数不等式问题 已知函数

f(x)ax2bxc(a,b,cR)，当x[1,1]时

|f(x)|1，求证：(1)|b|1；

(2)若g(x)bx2axc(a,b,cR)，则当x[1,1]时，求

证：|g(x)|2。

［思路］本题中所给条件其实缺乏以确定参数a,b,c的值，但应该注意到：所要求的结论不是b或g(x)的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以用f1 、f(0)、f1来暗示a,b,c。因为由已知条件得

|f(1)|1，|f(0)|1，|f(1)|1。

［

：(1)

1f1abc,f1abcb[f1f1]，从而有

2解题］证明由

(2)

由

11f1abc,f1abcb[f1f1],ac[f1f1],cf(0),

22从而 a1[f1f1]f(0)

2将以上三式代入g(x)bx2axc(a,b,cR)，并整理得

|g(x)||f(0)(x21)11f(1)(x1)f(1)(1x)|2211|f(0)(x21)||f(1)(x1)||f(1)(1x)|2211|f(0)|x21||f(1)||x1||f(1)||1x|

221111|x21||x1||1x|1x2(x1)(1x)2x222222收获

1） 二次函数的一般式yax2bxc(c0)中有三个参数a,b,c. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这

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三个参数.

2）本题变形技巧性强，同时运用公式|ab||a||b|，

|ab||a||b|及已知条件进行适当的放大。要求同学们做

题时要有敏锐的数学观察能力。 例题2．已知函数f(x)=证|f(a)-f(b)|<|a-b|。 分析：要证|发生|a-b|。 证f(b)|=|21x2，a,bR，且ab，求

1a21b2||ab|，考察左边，是否能

明

1a1b|2：

|a2b2|1a21b2|ab||ab|

|a||b||f(a)-

（其中

11a21b21a2a2|a|1） |a||b|，同理

1b2|b|,∴

回顾：1、证题时，应注意式子两边代数式的联系，找出它们的共同点是证题成功的第一步。此外，综合运用不等式的性质是证题成功的关键。如在本例中，用到了不等式的传递性，倒数性质，以及“三角形不等式”等等。

2、本题的布景知识与解析几何有关。函数y双曲线，y21x2是

x21的上支，而|y1y2f(a)f(b)|（即||），x1x2ab则暗示该图象上任意两点连线的斜率的绝对值。（学过有关知识后），很显然这一斜率的范围是在（-1，1）之间。

2．（1）已知不等式|x-3|+|x+1|创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日

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集，求a的取值范围；

（2）已知不等式|x-3|+|x+1|分析：“有解”即“解集非空”，可见（1）（2）两小题的答案（集合）互为补集（全集为R） 当然可以用|x-3|+|x+1|=

2x2(x3)4(1x3)22x(x1)这种“去绝对

值”的方法来解，但我们考虑到“三角形不等式”：||a|-|b||≤|ab|≤|a|+|b| 知|x-3|+|x+1|≥|x-3-x-1|=4 这样|x-3|+|x+1||x3||x1|4若（*）解集为，则a≤4，若（*）有解，则a>4。 解（略）

回顾：本题是“绝对值不等式性质定理”（即“三角形不等式”）的一个应用。

发展题：（1）已知不等式|x-3|+|x+1|>a的解集非空，求a的取值范围。

（2）已知不等式|x-3|+|x+1|≤a的解集非空，求a的取值范围。

3．已知f(x)的定义域为[0,1]，且f(0)=f(1)，如果

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对于任意分歧的x1,x2∈[0,1]，都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|，求证：|f(x1)-f(x2)|<1

2分析：题设中没有给出f(x)的解析式，这给我们分析f(x)的结构带来困难，事实上，可用的条件只有f(0)=f(1) ①，与|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|②两个。 首先，若|x1-x2|≤1，那么必有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|

2≤1即|f(x1)-f(x2)|<1成立。

22但若|x1-x2|>1呢？考虑到0≤|x1-x2|≤1，则1-|x1-2x2|<1，看来要证明的是|f(x1)-f(x2)|≤1-|x1-x2|<1成

22立！

证明：无妨设x1≤x2，则0≤x1≤x2≤1

（1）当|x1-x2|≤1时，则有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|≤

21即|f(x1)-f(x2)|<1成立。 22（2）当|x1-x2|>1时，即x2-x1>1时，∵0≤x2-x1≤1

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必有1-|x1-x2|<1即1- x2+x1<1

22 也可写成|1- x2|+|x1|<1 (*)

2 另一方面|f(x1)-f(x2)|=|f(1)-f(x2)+f(x1)-f(0)|≤|f(1)-f(x2)|+|f(x1)-f(0)|<|1- x2|+|x1-0| 则由（*）式知|f(x1)-f(x2)|<1成立

2 综上所述，当x1,x2∈[0,1]时都有|f(x1)-f(x2)|<1成立。

2 已知二次函数f(x)ax2bxc，当1x1时，有1f(x)1，求证：当2x2时，有7f(x)7.

分析：研究f(x)的性质，最好能够得出其解析式，从这个意义上说，应该尽量用已知条件来表达参数a,b,c. 确定三个参数，只需三个独立条件，本题可以考虑f(1)，f(1)，f(0)，这样做的好处有两个：一是a,b,c的表达较为简洁，二是由于1和0正好是所给条件的区间端点和中点，这样做能够较好地利用条件来达到控制二次函数范围的目的.

要考虑fx在区间7,7上函数值的取值范围，只需考虑其最大值，也即考虑fx在区间端点和顶点处的函数值. 证明：由题意知：f(1)abc,f(0)c,f(1)abc， ∴a(f(1)f(1)2f(0)),b(f(1)f(1)),cf(0)， ∴

12x2xx2x22f(x)axbxcf(1)f(1)f(0)1x2212.

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由

1x1f(1)1,有

f11,f01.

时，

1f(x)1，可得

∴f(2)3f1f13f03f1f(1)3f(0)7, f(2)f13f13f0f13f(1)3f(0)7.

（1）若b2,2，则fx在2,2上单调，故当2ax2,2时，f(x)maxmax(f(2),f(2))∴ 此时问题获证.

（2）若f(x)maxb2,2，则2abmax(f(2),f(2),f)

2a当x2,2时，

又

b2bbbf(1)f(1)11bfccf012274a2a22a442a，

∴ 此时问题获证. 综上可知：当2x2时，有7f(x)7.

评析：因为二次函数f(x)ax2bxca0在区间

(,bb]和区间[,)上分别单调，所以函数fx在闭2a2a区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得；函数f(x)在闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处取得.

7、 绝对值不等式与其它知识的横向联系

已知c0.设P:函数ycx在R上单调递减.Q:不等式

x|x2c|1的解集为

R.如果P和Q有且仅有一个正确，求

c的取值范围.

［思路］ 此题虽是一道在老教材之下的高考试题，但揭示了“解不等式”一类高考试题的命题方向.在新教材中，绝对值不等式的解法和二次不等式的解法与集合

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运算、命题判断都有一定联系，属于对于学生提出的基本要求内容的范畴，本题将这几部分知识内容有机地结合在一起，在考查学生基础知识、基本方法掌握的同时，考查了学生命题转换，分类讨论等能力，在分歧的方法下有分歧的运算量，较好地体现出了“多考一点想，少考一点算”的命题原则.

［解题］:函数ycx在R上单调递减0c1， 不等式x|x2c|1的解集为R函数yx|x2c|在R上恒大于1， ∵x|x2c|x2c，2x2c，

2c，x2c，∴函数yx|x2c|在R上的最小值为2c， ∴不等式x|x2c|1的解集为R2c1，即c， 若P正确，且Q不正确，则0c； 若Q正确，且P不正确，则c1；

). 所以c的取值范围为(0，][1，121212［收获］

“解不等式”一类的命题可以有形式上的更新和内容上的变更.结合简易逻辑的概念和集合的语言来命题，借助集合的运算性质和四个命题的关系来作答，是这个命题的基本特征，在求解时则主要以化归思想为解题切入点.复习中对于此类问题要引起足够的重视.

3-5-2 均值不等式

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1、yx1x27已知a,b,x,yR（a,b为常数），

ab1，求xy的最小值 xy2．已知x0，y0，且xy1，求2x12y1的最大值.

3x23x13．求最小值1f(x)x1；2ysin2xsin2x

x14．1设x0，y0，且xy(xy)1，则

2已知x≥0，y≥0，且

32 4y2x1，求证：x1y222≤

3若ab0, 求a216的最小值

b(ab)3-5-3分式不等式

解分式不等式的基本思路：等价转化为整式不等式（组）： （1）（2）

fx0fxgx0 gxfxfxgx00 gxgx0解题方法

穿针引线法,又称“数轴穿根法”或“数轴标根法” 第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要包管x前的系数为正数）

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例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0

第二步：将不等号换成等号解出所有根。 例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1

第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。 例如：-1 1 2

第三步：画穿根线：以数轴为尺度，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右跟”上去，一上一下依次穿过各根。

第四步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿跟线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿跟线以内的范围。 例如：

若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。 在数轴上标根得：-1 1 2 画穿根线：由右上方开始穿根。

因为不等号威“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。即：-12。

奇透偶不透即假如有两个解都是同一个数字 这个数字要依照两个数字穿~~~如（x-1)^=0 两个解都是1 那么穿的时候不要透过1。

解题步调： （1）首项系数化为“正”

（2）移项通分，不等号右侧化为“0” （3）因式分解，化为几个一次因式积的形

式

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（4）数轴标根。 例

x23x22、解不等式：20 x7x12系数非正，小于等解略

点评：“≤或≥”标根时，分子实心，分母空心。 例

x29x117 3、解不等式：2x2x1右侧非0 点评：1、不克不及随便去分母

2、移项通分，必须包管右侧为“0” 3、注意重根问题 例

x25x60(0) 4、解不等式：2x3x2分子，分母有公因点评：1、不克不及随便约去因式

2、重根空实心，以分母为准 例5、解不等式：

2x12x1 x33x2不克不及十字相乘不等号左右有公因式 点评：不等式左右不克不及随便乘除因式。 例6、解不等式：

23x3 x2x1分解因式；无法分二次三项式，a>0,△点评： 十字相乘法分解因式受阻 <0，恒正也可利用配方法判定二次三项式练习：解不等式： 的正负 x3△≥0 △＜0 0（首相系数化为正，空实心） 1、2x求根公式法分解因式 恒正或恒负 创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日

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2、

2x1x31（移项通分，右侧化为0）

3、x23x2x22x30（因式分解） 4、

x22x1x20（求根公式法因式分解） x135、x2x6x320（恒正式，重根问题） 6、

xx39x20（不克不及随便约分） 7、0x1x1（取交集） 含参分类讨论 例7、解不等式：创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日

ax1x21创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日

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