一维Klein-Gordon晶格中非线性局域模稳定性研究

第２５卷第３期　２０１１年６月　文章编号：１６７３．８６９１（２０１　Ｉ）０３．０２２１。０３　空军雷达学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆＡｉｒ　Ｆｏｒｃｅ　Ｒａｄａｒ　Ａｃａｄｅｍｙ　Ｖｏ１．２５　Ｎｏ．３　Ｊｕｎ．２０１１　一维Ｋｌｅｉｎ．Ｇｏｒｄｏｎ晶格中非线性局域模稳定性研究　刘　洋，邓磊，杨植宗，谢艳丁　（空军雷达学院基础部，武汉４３００１９）　摘一要：为了直观、有效地研究一维晶格中非线性局域模的结构稳定性，利用四阶龙格库塔方法数值模拟　维Ｋｌｅｉｎ．Ｇｏｒｄｏｎ晶格中非线性局域模的传播和碰撞．模拟计算结果表明了非线性局域模在一维Ｋｌｅｉｎ—Ｇｏｒｄｏｎ　晶格中传播过程的稳定性和碰撞时的粒子性．　关键词：ｌｅｉＫｎ．Ｇｏｒｄｏｎ晶格；非线性局域模；稳定性　中图分类号：Ｏ４１５　文献标志码：Ａ　ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７３—８６９１．２０１１．０３．０１９　非线性离散晶格动力学的研究一直受到国内　外科研工作者的关注．由于离散晶格的非线性和　性晶格模型，如图１所示．它描述的是一系列周期　排列的粒子通过线性弹簧与其最近邻粒子连接而　《　离散性，其研究主要利用连续近似方法…，这在特　征波长远大于晶格常数时是合理的．文献…１在研　究非线性晶格振动时，在连续近似和小振幅近似　下得到了ＫＤＶ方程，从而在理论上解释了ＦＰＵ回　归现象．为了考虑晶格的离散性，文献［２］在研究原　子链中的孤子时首次提出了准连续近似．文献［３】　在研究准一维物理晶格模型中的小振幅呼吸子和　图１一维Ｋｌｅｉｎ—Ｇｏｒｄｏｎ晶格模型　形成的一维简单晶格，同时原子受到非线性格点　势的作用．它的哈密顿量为　：　—　＝１　包络孤子时提出了准离散近似，即将离散晶格的　＋　一　一　）ｚ＋　（１）　孤子解写为两部分乘积的形式，其中外在包络采　用连续近似而包络内的载波则采用离散化方式处　理，得到了包络孤子解．文献［４］将离散格林函数方　法应用非线性完整晶格中，得到了一种在空间上　是高度局域的，在时间上是周期振荡的，且仅涉及　几个粒子振动的非线性局域模，同时这种非线性　局域模的振动频率位于线性频带之外，是一种奇　宇称的局域模．文献［５发现完整非线性晶格中还　５］存在偶宇称的非线性局域模．研究发现晶格中的　非线性局域模实际上就是早期人们研究过的非线　性晶格中的包络孤子在特征宽度很窄时的情形，　便把这些局域振动统称为非线性局域模　Ｊ．对晶　格中非线性局域模的稳定性问题的研究主要采用　微扰法，但处理起来比较繁琐和复杂．本文利用四　目．有　式中　）＝专　＋｛　４　为原子质量，　和　分别表示格点势参数，　表示第　个原子的速　度，Ｕ　表示第ｎ个原子偏离平衡位置的位移．利用　多重尺度方法结合准离散近似　得到该模型中的　非线性局域模　材　（力＝４ｅｌｆｓｅｃ（２ｈｌｆ［ｅ￣／Ｑ／Ｐ（ｎａ—ｖｇｔ）］）ｃｏｓ（ｋｎａ＋　２ｓ　Ｑｔ一∞　（２）　式中８是利用多重尺度方法引入的一个小参数．　Ｐ：～Ｋｃ？ｍ０９　ｃｏｓｋａ一　ｏ９　Ｌ　ｍ∞　Ｊ１。　　Ｑ＝一　阶龙格库塔方法进行数值实验来展现一维Ｋｌｅｉｎ．　Ｇｏｒｄｏｎ晶格中非线性局域模所具有的稳定性特征．　半攀　ｄｃｏ　Ｋａ　ｓｉｎｋａ　（３）　１一维Ｋｌｅｉｎ．Ｇｏｒｄｏｎ晶格模型　一面　—　维Ｋｌｅｉｎ．Ｇｏｒｄｏｎ［　晶格模型是最简单的非线　１）单个非线性局域模在晶格中的传播　收稿日期：２０１０．１２．１６　作者简介：刘　洋（１９８３一），男，讲师，硕士，主要从事低维非线性晶格中的元激发研究　空军雷达学院学报　２０１１　将式（２）所代表的非线性局域模放人原子链中，　检验非线性局域模在晶格中传播时的稳定性．初　始条件是ｆ＝０时刻的位移和动量为　（０）＝４￣ｐｓｅｃ［ｈ（２ｅｌｆ４Ｑ／Ｐｎａ）］ｃｏｓ（￣ａ）　（４）　＝８ｅ２ｌｆ２ｖｃｖ／Ｑ／Ｐｔａｎ［ｈ（２ｅｆｌｘ／－Ｑ／Ｐｎａ）］．　ｓｅｃ［ｈ（２ｅ，８￣／Ｑ／Ｐ　ｎａ）］ｃｏｓ（ｋｎａ）七４ｅ８　一２ｅ　・　ｓｅｃ［ｈ（２ｅ￣／Ｑ／Ｐｎａ）］ｓｉｎ（ｋｎａ）　（５）　初始非线性局域模的图像是一个包络状局域　模，如图２所示．　１　ｌ…　…　ｌＵＵ　Ｕ　ｌＵＵ　原子序号　图２　ｔ＝０时１个非线性局域模　２）２个非线性局域模在晶格中的碰撞　初始条件是２个非线性局域模，其数学表达式　可以根据式（４）、式（５）得到．图３给出了它们的图　像，其中左边的非线性局域模就是图２所代表的　非线性局域模，只是中心位置发生了改变；对右　边的非线性局域模，其相关参数仅有波矢ｋ＝　一ｎ／２和小参量８：０．０１５不同，同时初始时刻非线　性局域模的中心位置不同．　１　一３ｏｏ　０　３００　原子序号　图３　ｔ＝０时２个非线性局域模　２数值实验　在数值实验中，相关参数如下：原子个数选择　为５１２个，原子质量ｒｎ＝１，选择品格常数为１．０，谐　性系数　＝１．０，格点势　＝１，　＝Ｏ。１，波矢　＝ｎ／２，　小参量Ｅ＝０．０２５，　＝２．５，选择时间步长为０．Ｏ１．由　计算可知时间步长选择为０．Ｏ１是合理的，因为此　时整个晶格中能量的变化幅度小于０．５％．本文选　择周期性边界条件是让第１个原子和最后１个原　子的位移和动量始终相等，也就是让它们相连．　图４给出了ｔ＝１００、３００、６００、１　０００时非线性局　域模在晶格中传播的数值模拟结果．观察非线性　局域模在原子链中传播的４个时刻可以发现非线　性局域模在传播的过程中形状没有显著变化．图　５给出了非线性局域模的中心位置随着时间变化　的曲线．由图５可知，其中心位置随着时间的变化　（ａ），＝１００　馨鞲霈嘲　罄鞲霈咖　原子序号　（ｃ）ｔ一６００　蜷　黑　血ｌ　原子序号　（ｄ）ｔ＝１　０００　图４不同时刻非线性局域模　第３期　刘洋，等：一维Ｋｌｅｉｎ　Ｇｏｒｏｎ晶格中非线性局域模稳定性研究　２２３　是线性的，说明其传播速度是恒定的．图６给出了　删　岳骚删　２个非线性局域模在晶格中碰撞的情形．由此可以　３结论　蛏鞲露蛳　清楚地看到，碰撞后２个局域模形状大小均没有　本文通过四阶龙格库塔方法数值实验，清晰　地展现了一维Ｋｌｅｉｎ．Ｇｏｒｄｏｎ晶格中的非线性局域　显著改变，体现出其粒子性．　模的传播和碰撞过程．从实验结果可以发现非线　性局域模的稳定性和粒子性，即体现了孤子性．一　维Ｋｌｅｉｎ—Ｇｏｒｄｏｎ晶格模型仅仅是晶格模型的一种，　其他的晶格模型中的非线性局域模的稳定性和高　维晶格模型中的非线性局域模将是下一步研究的　方向．　０　１００　２００　３００　４００　５ｏ０　时间序号　参考文献：　…１　ＴＯＤＡ　Ｍ．Ｓｔｕｄｉｅｓ　ｏｆ　ａ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｌａｔｔｉｃｅ［Ｊ］．Ｐｈｙｓ．Ｒｅｐ．，　１９７５，１８（１）：１２３．　【２］ＣＯＬＬＩＮＳ　Ｍ　Ａ．Ａ　ｑｕａｓｉ—ｃｏｎｔｉｎｕｕｍ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｓｏｌｉｔｏｎｓ　ｉｎ　ａｎ　ａｔｏｍｉｃ　ｃｈａｉｎ［Ｊ］．Ｃｈｅｍ．Ｐｈｙｓ．ＬｅＲ．，１　９８　１，　图５非线性局域模中心位置随时间的改变　馨　鞲　黑　删　７７：３４２．３４７．　【３］ＲＯＭＯＩＳＳＥＮＥＴ　Ｍ．Ｌｏｗ—ａｍｐｌｉｕｄｅ　ｔｂｒｅａｔｈｅｒ　ａｎｄ　ｅｎｖｅｌｏｐｅ　ｓｏｌｉｔｏｎｓ　ｉｎ　ｑｕａｓｉ—ｏｎｅ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　ｐｈｙｓｉｃａｌ　ｍｏｄｅｌｓ【ＪＪ．　Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｂ，１　９８６，３３（４）：２３８６－２３９２．　［４］ＳＩＥＶＥＲＳ　Ａ　Ｊ，ＴＡＫＥＮＯ　Ｓ．Ｉｎｔｒｉｎｓｉｃ　ｌｏｃａｌｉｚｅｄ　ｍｏｄｅｓ　ｉｎ　３００　—２００　一ｌ００　０　１００　２００　３００　ａｎｈａｒｍｏｎｉｃ　ｃｒｙｓｔａｌｓ［Ｊ】＿Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ．，１９８８，６１（８）：　９７０—９７３．　原子序号　（ａ）ｔ：１２０　【５］ＰＡＧＥ　Ｊ　Ｂ．Ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｒｆ　ｌｏｃａｌｉｚｅｄ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎａｌ　ｍｏｄｅｓ　ｉｎ　ｓｔｒｏｎｇｌｙ　ａｎｈａｒｍｏｎｉｃ　ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．Ｐｈｙｓ．　Ｒｅｖ．Ｂ，１９９０，４１（１１）：７８３５—７８３８．　［６］ＦＬＡＣＨ　Ｓ，ＷＩＬＬＩＳ　Ｃ　Ｒ．Ｄｉｓｃｒｅｔｅ　ｂｒｅａｔｈｅｒ［Ｊ】．Ｐｈｙｓ．Ｒｅｐ．，　１９９８，２９５：１８１－２６４．　【７】ＨＥＮＮＩＮＧ　Ｄ，ＴＳＩＴＯＮＩＳ　Ｇ　Ｐ　Ｗａｖｅ　ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ　ｉｎ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｌａｔｔｉｃｅｓ［Ｊ］．Ｐｈｙｓ．Ｒｅｐ．，１　９９９，３０７：３３３－４３２．　［８　邹红梅，周光辉．一维Ｋｌ８］ｅｉｎ．Ｇｏｒｄｏｎ双原子晶格的传播　—３００　．．２００——１００　０　１００　２００　３００　非线性局域模［Ｊ］．湖南师范大学自然科学学报，１９９９，２２　（３）：４９—５４．　［９】ＨＵＡＮＧ　Ｇｕｏ—ｘｉａｎｇ，Ｓｏｌｉｔｏｎ　ｅｘｃｉａｔｔｉｏｎｓ　ｉｎ　ｏｎｅ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　原子序号　（ｂ）ｔ＝５１０　图６　２个非线性局域模碰撞前后的情况　ｄｉａｔｏｍｉｃ　ｌａｔｔｉｃｅｓ［Ｊ］．Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｂ，１９９５，５１（１８）：１２３４７—　１２３６０．　Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　Ｒｅｓｅａｒｃｈ　ｏｆ　Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｌｏｃａｌｉｚｅｄ　Ｍｏｄｅｓ　ｉｎ　１　Ｄ　Ｋｌｅｉｎ．Ｇｏｒｄｏｎ　Ｌａｔｔｉｃｅ　ＬＩＵ　Ｙａｎｇ，ＤＥＮＧ　Ｌｅｉ，ＹＡＮＧ　Ｚｈｉ—ｚｏｎｇ，ＸＩＥ　Ｙａｎ－ｄｉｎｇ　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆｔｈｅ　Ｂａｓｉｃｓ，ＡＦＲＡ，Ｗｕｈａｎ　４３００１９，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｆｏｒ　ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｉｎｇ　ｔｈｅ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｌｏｃａｌｉｚｅｄ　ｍｏｄｅｓ　ｉｎ　ｏｎｅ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａ１　ｌａｔｔｉｃｅ，　ｉｎｔｕｉｔｉｖｅｌｙ　ａｎｄ　ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ，ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｐｅｒｆｏｒｍｓ　ｔｈｅ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆｓｐｒｅａｄ　ａｎｄ　ｃｏｌｌｉｓｉｏｎ　ｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｌｏｃａｌｉｚｅｄ　ｍｏｄｅｓ　ｉｎ　ｏｎｅ　ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　Ｋｌｅｉｎ　Ｇｏｒｄｏｎ　ｌａｔｔｉｃｅ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｆｏｕｒｔｈ—ｏｒｄｅｒ　Ｒｕｎｇｅ　Ｋｕｔｔａ　ｍｅｔｈｏｄ．Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｓｈｏｗ　ｔｈｅ　ｓｔａｂｉｌｉｙ　ｏｆ　ｔｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｌｏｃａｌｉｚｅｄ　ｍｏｄｅｓ　ｓｐｒｅａｄｉｎｇ　ｉｎ　ｏｎｅ．ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａ１　Ｋｌｅｉｎ．Ｇｏｒｄｏｎ　ｌａｔｔｉｃｅ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｃｏｒｐｕｓｃｕｌａｒ　ｐｒｏｐｅｒｔｙ　ｄｕｒｉｎｇ　ｔｈｅｉｒ　ｃｏｌｌｉｓｉｏｎ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｋｌｅｉｎ—Ｇｏｒｄｏｎ　ｌａｔｔｉｃｅ：ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｌｏｃａｌｉｚｅｄ　ｍｏｄｅｓ；ｓｔａｂｉｌｉｔｙ