初高中数学衔接知识

数 学

学高中数学的几点建议：

1、记数学笔记，特别是对概念理解的不同角度和数学规律，老师为备战高考而加的课外知识。 记录下来本章最有价值的思想方法和例题，以及还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。 2、建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。解答问题完整、推理严密。

3、熟记一些数学规律和数学结论，使自己平时的运算技能达到了自动化熟练程度。 4、经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”，如表格化，使知识结构一目了然；经常对习题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题归纳于同一知识方法。

5、及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩固，消灭前学后忘。 6、学会从多角度、多层次地进行总结归类。如：①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化

7、经常在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。

初高中数学衔接教材

现有初高中数学知识存在以下“脱节”

1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。

2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要 求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。

3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。

4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。

5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，

6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。

7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。

8．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。

另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。

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1.1 数与式的运算

1.1.1．绝对值

一、概念：绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的

a,a0,绝对值仍是零．即|a|0,a0,

a,a0. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．

两个数的差的绝对值的几何意义：ab表示在数轴上，数a和数b之间的距离． 二、典型例题：

例1 解不等式：|x1|4

解法一：由x10，得x1；

①若x1，不等式可变为(x1)4，即1x4，得x3，又x＜1， ∴x＜-3；

②若1x，不等式可变为(x1)4，

即x5 又x1 ∴ x5

综上所述，原不等式的解为x3或x5。 解法二：如图1．1－1，x1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间

的距离|PA|，即|PA|＝|x－1|；

P C A D 所以|x1|4的几何意义即为 ：|PA|＞4． x -3 1 5 x 可知点P 在点C(坐标为-3)的左侧、或点P在 点D(坐标5)的右侧． |x－1|

∴ x3或x5。 图1．1－1

1．填空：

（1）若x5，则x=_________；若x4，则x=_________.

（2）如果ab5，且a1，则b＝________；若1c2，则c＝________. 2．选择题：

下列叙述正确的是 （ ）

（A）若ab，则ab （B）若ab，则ab （C）若ab，则ab （D）若ab，则ab 3．解不等式：|x2|3 4、化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．

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1.1.2. 乘法公式

一、复习：我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式 (ab)(ab)a2b2； （2）完全平方公式 (ab)2a22abb2． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式 (ab)(a2abb2)a3b3；

必（2）立方差公式 (ab)(a2abb2)a3b3； 须记（3）三数和平方公式 (abc)2a2b2c22(abbcac)； 住 （4）两数和立方公式 (ab)3a33a2b3ab2b3； （5）两数差立方公式 (ab)3a33a2b3ab2b3．

二、典型例题

例1 计算：(x1)(x1)(x2x1)(x2x1)．

解法一：原式=(x21)(x21)2x2 =(x21)(x4x21) =x61． 解法二：原式=(x1)(x2x1)(x1)(x2x1) =(x31)(x31) =x61．

例2 已知abc4，abbcac4，求a2b2c2的值． 解： a2b2c2(abc)22(abbcac)8． 练 习 1．填空：（1）

19a214b2(12b13a)（ ）

； （2）(4m )216m24m( )；

(3 ) (a2bc)2a24b2c2( )．

2. 选择题：

（1）若x212mxk是一个完全平方式，则k等于（ ）

（A）m2 （B）14m2 （C）13m2 （D）1216m

（2）不论a，b为何实数，a2b22a4b8的值 （ ）

（A）总是正数 （B）总是负数 （C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数

1.1.3．二次根式

一、概念：一般地，形如a(a0)的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 3aa2b2b，a2b2等是无理式，而2x222x1，文案大全

x22xyy2，a2等是有理式．

1．分母有理化

把分母中的根号化去，叫做分母有理化．为了进行分母有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如

2与2，3a与a，36与36，2332与

2332，等等． 一般地，ax与x，axby与axby，axb与axb互为有理化因式．

分母有理化的方法：是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程

2． 二次根式a2的意义 a2aa,a0,a,a0.

二、典型例题

例1 将下列式子化为最简二次根式：

（1）12b； （2）a2b(a0)； （3）4x6y(x0)．

解： （1）12b23b； （2）a2babab(a0)；

（3）4x6y2x3y2x3y(x0)．

例2 计算：3(33)． 解一：3(33)＝33(33)3333(31)33＝31(33)(33) ＝93 ＝6＝2．

解二：

3(33)＝

3 ＝

31333(3 ＝

31＝311)(31)(31)＝31

2

．

例3 化简：(32)2004(32)2005．

解：原式 ＝(32)2004(32)2004(32)

＝2004(32)(32)(32)

＝12004(32) ＝32．

例 4 化简：（1）945； （2）x21x22(0x1)． 实用文档

解：（1）原式=5454 = (5)222522

(25)22552．

（2）原式=(x1)2x1xx， ∵0x1，∴

1x1x， 所以，原式＝1xx． 练 习1．填空：

（1）1313＝__ ___；（2）若(5x)(x3)2(x3)5x，则x的取值范围是_ _ （3）4246543962150__ ___；

2．选择题：等式xxx2x2成立的条件是 （ ） （A）x2 （B）x0 （C）x2 （D）0x2

ba211a23．若a1，求ab的值．

4．比较大小：2－3 5－4（填“＞”，或“＜”）．

1.1.4．分式

一、概念： 分式的意义

形如AB的式子，若B中含有字母，且B0，则称AB为分式．当M≠0时，分式AB具有下列性质：AAMAAMBBM； BBM． 上述性质被称为分式的基本性质．

二、典型例题：

例1 若

5x4x(x2)AxBx2，求常数A,B的值．

解： ∵ABxx2A(x2)Bxx(x2)(AB)x2Ax(x2)5x4x(x2)，

∴AB5, 解得 A2,B3．

2A4,例2 （1）试证：11n(n1)n1n1（其中n是正整数）；

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（2）计算：1111223910； 解：（1）证明：∵11(n1)nn1nn(n1)1n(n1)，

∴1n(n1)1n1n1（其中n是正整数）成立．

（2）由（1）可知

1112123910(112)(1213)(11910) 1110＝910．

例3 设eca，且e＞1，2c2－5ac＋2a2

＝0，求e的值．

解：在2c2－5ac＋2a2＝0两边同除以a2，得 2e2

－5e＋2＝0，

∴(2e－1)(e－2)＝0，

∴e＝1

2

＜1，舍去；或e＝2． ∴e＝2． 练习

1．填空题：对任意的正整数n，1n(n2) (1n1n2)；

2．选择题：若

2xyxy23，则xy＝ （ ） （A）１ （B）54 （C）465 （D）5

3．正数x,y满足x2y22xy，求xyxy的值．

习题1．1 A 组

1．解不等式：x13 ２．已知xy1，求x3y33xy的值．

3．（1）(23)18(23)19＝________；

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（2）112123134145156________． 4．a12，b13a2ab3，则3a25ab2b2____ ____； 5．已知：x12,y1yy3，求xyxy的值．

B 组

1．选择题：

（1）若ab2abba，则 （ ）

（A）ab （B）ab （C）ab0 （D）ba0

（2）计算a1a等于 （ ）

（A）a （B）a （C）a （D）a

1．2 分解因式

一、复习引申：因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法． 1．十字相乘法 例1 分解因式：

（1）x2

－3x＋2； （2）x2

＋4x－12； （3）x2(ab)xyaby2；

解：（1）如图1．2－1，将二次项x2

分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与

－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2

－3x＋2中的一次项，所以，

有x2

－3x＋2＝(x－1)(x－2)． x －1 1 －1 x 1 －2 －ay x －2 1 －2 1 6

x －by 图1．2－1 图1．2－2 图1．2－3

图1．2－4

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x用1来表示（如图1．2－2所示）．

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（2）由图1．2－3，得x2

＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．

（3）由图1．2－4，得 x2(ab)xyaby2＝(xay)(xby) 2．提取公因式法与分组分解法 例2 分解因式：

（1）x393x23x；

解： x393x23x=(x33x2)(3x9)

=x2(x3)3(x3) =(x3)(x23)．

3．关于x的二次三项式ax2

+bx+c(a≠0)的因式分解．

若关于x的方程ax2bxc0(a0)的两个实数根是x1、x2，则二次三项式

ax2bxc(a0)就可分解为a(xx1)(xx2).

例3 把下列关于x的二次多项式分解因式：

（1）x22x1

解： 令x22x1=0，则解得x112，x212，

∴x22x1=x(12)x(12)

=(x12)(x12)．

练习

1．选择题：多项式2x2xy15y2的一个因式为 （ ）

（A）2x5y （B）x3y （C）x3y （D）x5y 2．分解因式：

（1）x2＋6x＋8； （2）8a3－b3； （3）x2

－2x－1；

3．分解因式：

（1） a31； （2）4x413x29； （3）b2c22ab2ac2bc；

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4．在实数范围内因式分解：

2（1）x5x3 ； （2）x22x3； （3）3x4xyy；

222bb24acbb24ac x1，x2， 则有

2a2abb24acbb24ac2bb

2.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式

一、概念：我们知道，对于一元二次方程ax2

＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为

(xb2a)2b24ac4a2． ① 一元二次方程ax2

＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2

－4ac来判定，我们把b2

－4ac叫做一元二次方程ax2

＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．

综上所述，对于一元二次方程ax2

＋bx＋c＝0（a≠0），有

（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根 xbb24ac1，2＝2a；

（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 xb1＝x2＝－2a；

（3）当Δ＜0时，方程没有实数根． 二、典型例题：

例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．

（1）x2－3x＋3＝0； （2）x2－ax－1＝0； （3） x2

－ax＋(a－1)＝0；

解：（1）∵Δ＝32

－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．

（2）该方程的根的判别式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2

＋4＞0，

aa24aa2 所以方程一定有两个不等的实数根x412， x22．

（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝a2

－4×1×(a－1)＝a2

－4a＋4＝(a－2)2

，

所以，

①当a＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1；

②当a≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根x1＝1，x2＝a－1．

说明：在第3小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．

2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）

一、概念：

1、若一元二次方程ax2

＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根

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x1x22a2a2aa； xbb24ac1x22abb24ac2ab2(b24ac)4a24acc4a2a． 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：

如果ax2

＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，xb2，那么x1＋x2＝a，xc1·x2＝a． 这一关系也被称为韦达定理．

二、典型例题：

例2 已知方程5x2kx60的一个根是2，求它的另一个根及k的值．

分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值．

解法一：∵2是方程的一个根，

∴5×22

＋k×2－6＝0， ∴k＝－7．

所以，方程就为5x2

－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－35． 所以，方程的另一个根为－

35，k的值为－7． 解法二：设方程的另一个根为x631，则 2x1＝－5，∴x1＝－5．

由 （－35）＋2＝－k5，得 k＝－7．

所以，方程的另一个根为－35，k的值为－7．

例3 已知关于x的方程x2

＋2(m－2)x＋m2

＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．

分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．

解：设x，x＋x＝m2

12是方程的两根，由韦达定理，得 x12＝－2(m－2)，x1·x2＋4．

∵x2＋x2∴(x2

12－x1·x2＝21， 1＋x2)－3 x1·x2＝21，

即 [－2(m－2)]2－3(m2

＋4)＝21，

化简，得 m2

－16m－17＝0， 解得 m＝－1，或m＝17．

当m＝－1时，方程为x2

＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；

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当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302

－4×1×293＜0，不合题意，舍去． 综上，m＝-1． 说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可．

（★）在今后的解题过程中，如果用由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于等于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．

例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．

解法一：设这两个数分别是x，y，

则 x＋y＝4， ①

xy＝－12． ② 由①，得 y＝4－x，

代入②，得x(4－x)＝－12，

即 x2

－4x－12＝0，

∴x1＝－2，x2＝6．

∴x12,xy16, 或26,y22.

因此，这两个数是－2和6．

解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x2

－4x－12＝0 的两个根． 解这个方程，得 x1＝－2，x2＝6． 所以，这两个数是－2和6．

例5 若x2x2

1和x2分别是一元二次方程＋5x－3＝0的两根．

（1）求| x33

1－x2|的值； （3）x1＋x2． 解：∵x2

1和x2分别是一元二次方程2x＋5x－3＝0的两根， ∴x51x22，xx3122．

（1）∵| x2

2

2

2

1－x2|＝x1+ x2－2 x1x2＝(x51＋x2)－4 x1x2＝()2324(2)

＝25494＋6＝4， ∴| x71－x2|＝2．

（3）x3

3

＋x2

2

2

1＋x2＝(x12)( x1－x1x2＋x2)＝(x1＋x2)[ ( x1＋x2)－3x1x2]

＝(－

52)×[(－52)2－3×(32152)]＝－8．

例6 若关于x的一元二次方程x2

－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，

求实数a的取值范围．

解：设x1，x2是方程的两根，则 x1x2＝a－4＜0， ①

且Δ＝(－1)2

－4(a－4)＞0． ② 由①得 a＜4，

由②得 a＜17

4

．

∴a的取值范围是a＜4．

练习1．选择题：

（1）方程x223kx3k20的根的情况是 （ ）

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（A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根

（C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根

（2）若关于x的方程mx2

＋ (2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围

是 （ ） （A）m＜

14 （B）m＞－14 （C）m＜14，且m≠0 （D）m＞－14，且m≠0 （3）已知关于x的方程x2

＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ）

（A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2

（4）下列四个说法： ①方程x2

＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；

②方程x2

－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；

③方程3 x2

－7＝0的两根之和为0，两根之积为73； ④方程3 x2＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0． 其中正确说法的个数是 （ ）

（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个

（5）关于x的一元二次方程ax2－5x＋a2

＋a＝0的一个根是0，则a的值是（ ）

（A）0 （B）1 （C）－1 （D）0，或－1

（6）若关于x的方程x2＋(k2

－1) x＋k＋1＝0的两实根互为相反数，则k的值为 （ ）

（A）1，或－1 （B）1 （C）－1 （D）0

2．填空:

（1）若方程x2

－3x－1＝0的两根分别是x11和x2，则

x1x＝ ． 12（2）方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是 ． （3）以－3和1为根的一元二次方程是 ．

（4）方程kx2

＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝ ．

（5）方程2x2－x－4＝0的两根为α，β，则α2＋β2

＝ ．

（6）已知关于x的方程x2

－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ．

（7）若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2

－mn的值等于 ．

3．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2

－7x－1＝0各根的相反数．

4．已知方程x2

－3x－1＝0的两根为x1和x2，求(x1－3)( x2－3)的值．

2．2 二次函数

2.2.1 二次函数y＝ax2

＋bx＋c的图像和性质

一、复习引申：

问题1 函数y＝ax2与y＝x2

的图象之间存在怎样的关系？

实用文档

1、二次函数y＝ax2(a≠0)的图象可以由y＝x2

的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到．在二

次函数y＝ax2

(a≠0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．

问题2 函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2

的图象之间存在怎样的关系？

2、二次函数y＝a(x＋h)2

＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．

由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝ax2

＋bx＋c(a≠0)的图象的方法：

由于y＝ax2

＋bx＋c＝a(x2

＋b2

bb2b2ax)＋c＝a(x＋ax＋4a2)＋c－4a

a(xb22b4ac2a)4a， 所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y＝ax2

的图象作左右平移、上下平移

得到的，

于是，二次函数y＝ax2

＋bx＋c(a≠0)具有下列性质：

3、（1）当a＞0时，函数y＝ax2

＋bx＋c图象开口向上；

顶点坐标为(b4acb22a,4a)，对称轴为直线x＝－b2a； 当x＜b2a时，y随着x的增大而减小；当x＞b2a时，y随着x的增大而增大； 当x＝b4acb22a时，函数取最小值y＝4a．

（2）当a＜0时，函数y＝ax2

＋bx＋c图象开口向下；

顶点坐标为(b2a,4acb24a)，对称轴为直线x＝－b2a； 当x＜bb2a时，y随着x的增大而增大；当x＞2a时，y随着x的增大而减小；

当x＝b4acb22a时，函数取最大值y＝4a．

上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今

后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．

y by Ab,4acb2) x＝－2a (2a4a 文案大全 O x O x A(b4acb2,b2a4a) x＝－2a

二、典型例题：

例1 求二次函数y＝－3x2

－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值）， 并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？

解：∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2

＋4， ∴函数图象的开口向下； 对称轴是直线x＝－1；

顶点坐标为(－1，4)；

A(－1,4) y 当x＝－1时，函数y取最大值y＝4；

当x＜－1时，y随着x的增大而增大； 当x＞－1时，y随着x的增大而减小；

说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画

图更简便、图象更精确．

D(0,1)

例2 把二次函数y＝x2

＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再 向左平移4个单位，得到函数y＝x2的图像，求b，c的值．

C O B x 解法一：y＝x2

＋bx＋c＝(x+bb22)2c4，把它的图像向上平x＝－1 移2个单位，再向左平移4个单位，得到图2.2－5

y(xb24)2cb242的图像，也就是函数y＝x2

的图像，

所以，b40,2 解得b＝－8，c＝14b2． c420,解法二：把二次函数y＝x2

＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y＝x2的图像，等价于把二次函数y＝x2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到

函数y＝x2

＋bx＋c的图像．

由于把二次函数y＝x2

的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y＝(x－4)2＋2的图像，即为y＝x2－8x＋14的图像，∴函数y＝x2－8x＋14与函数y＝x2

＋bx＋c表示同一个函数，∴b＝－8，c＝14．

说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律． 练习

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1．选择题：

（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ）

（A）y＝2x2 （B）y＝2x2

－4x＋2

（C）y＝2x2－1 （D）y＝2x2

－4x

（2）函数y＝2(x－1)2＋2是将函数y＝2x2

（ ）

（A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的 （B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的 （C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 （D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 2．填空题

（1）二次函数y＝2x2

－mx＋n图象的顶点坐标为(1，－2)，则m＝ ，n＝ ．

（2）已知二次函数y＝x2

+(m－2)x－2m，当m＝ 时，函数图象的顶点在y轴上；当m＝ 时，函数图象的顶点在x轴上；当m＝ 时，函数图象经过原点．

3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象．

（1）y＝x2－2x－3； （2）y＝1＋6 x－x2

．

2.2.2 二次函数的三种表示方式

一、复习引申：通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：

1．一般式：y＝ax2

＋bx＋c(a≠0)；

2．顶点式：y＝a(x＋h)2

＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．

3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．

今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题． 二、典型例题：

例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，

并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．

分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a．

解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，

∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．

∴顶点坐标是（1，2）．设该二次函数的解析式为ya(x1)22(a0)， ∵二次函数的图像经过点（3，－1）， ∴1a(31)22，解得a＝34． ∴二次函数的解析式为y34(x1)22，即y=34x232x54 例2 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，

求此二次函数的表达式．

分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象

文案大全

与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．

解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，

∴可设二次函数为y＝a(x＋3) (x－1) (a≠0)，

展开，得 y＝ax2

＋2ax－3a， 顶点的纵坐标为

12a24a2 4a4a， 由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，∴|－4a|＝2，即a＝12．

解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线x＝－1．

又 顶点到x轴的距离为2，∴顶点的纵坐标为2，或－2．

于是可设二次函数为y＝a(x＋1)2＋2，或y＝a(x＋1)2

－2， 由于函数图象过点(1，0)，

∴0＝a(1＋1)2

＋2，或0＝a(1＋1)2

－2．∴a＝－

112，或a＝2． 所以，所求的二次函数为y＝－12(x＋1)2＋2，或y＝12

2(x＋1)－2．

例3 已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．

解：设该二次函数为y＝ax2

＋bx＋c(a≠0)．

22abc, 由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得8c,

84a2bc, 解得 a＝－2，b＝12，c＝－8．

所以，所求的二次函数为y＝－2x2

＋12x－8． 练习

1．选择题:

（1）函数y＝－x2

＋x－1图象与x轴的交点个数是 （ ） （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）无法确定

（2）函数y＝－12

(x＋1)2

＋2的顶点坐标是 （ ）

（A）(1，2) （B）(1，－2) （C）(－1，2) （D）(－1，－2)

2．填空：已知二次函数的图象经过与x轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可 设为y＝a (a≠0) ．

2.2.3 二次函数的简单应用

一、函数图象的平移变换与对称变换 1．平移变换

在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可．

例1 求把二次函数y＝x2

－4x＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位； （2）向上平移3个单位，向左平移2个单位．解：二次函数y＝2x2－4x－3的解析式可变为 y＝2(x－1)2

－1， 其顶点坐标为(1，－1)．

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（1）把函数y＝2(x－1)2

－1的图象向右平移2个单位，向下平移1个单位后， 其函数图象的顶点坐标是(3，-2)，所以，平移后所得到的函数图象

对应的函数表达式就为 y＝2(x－3)2

－2．

（2）把函数y＝2(x－1)2

－1的图象向上平移3个单位，向左平移2个单位后， 其函数图象的顶点坐标是(－1， 2)，所以，平移后所得到的函数图象

对应的函数表达式就为 y＝2(x＋1)2

＋2． 2．对称变换

在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点——x＝－1 y 只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状。因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题．

例2 求把二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关

O x 于下列直线对称后所得到图象对应的函数解

A1(－3,－1) A(1,－1) 析式：

（1）直线x＝－1； （2）直线y＝1． 图2.2－7 解：（1）如图2．2－7，把二次函数 y＝2x2

－4x＋1的图象关于直线

y B(1，3) x＝－1作对称变换后，只改变图象 的顶点位置，不改变其形状．

由于y＝2x2－4x＋1＝2(x－1)2

－1，

y＝1 可知，函数y＝2x2

－4x＋1图象的顶

点为A(1,－1)，所以，对称后所得到 O x 图象的顶点为A1(－3，-1)，所以， 二次 函数y＝2x2

A(1,－1) －4x＋1的图象关于

直线 x＝－1对称后所得到图象的函

图2.2－8

数解析式为y＝2(x＋3)2

－1，

即y＝2x2

＋12x＋17．

（2）如图2．2－8，把二次函数y＝2x2

－4x＋1的图象关于直线y＝－1作对称变换后， 只改变图象的顶点位置和开口方向，不改变其形状．

由于y＝2x2－4x＋1＝2(x－1)2－1，可知，函数y＝2x2

－4x＋1图象的顶点为A(1,－1)， 所以，对称后所得到图象的顶点为B(1，3)，且开口向下，

所以，二次函数 y＝2x2

－4x＋1的图象关于直线y＝1对称后所得到图象的函数解析式

为y＝－2(x－1)2＋3，即y＝－2x2

＋4x＋1．

三、配方法及其应用

1、在求二次函数yax2bxc(a0)的图象的顶点坐标或求最大（小）值时需用到变

形：yax2bxca(xb2a)24acb24a，这种变形的过程就叫配方。 文案大全

具体过程为yax2bxca(x2bax)ca[xbax(b222a)2]cb4a

a(xb24ac2a)b24a 用配方来解决最大（小）值等问题的方法叫作配方法，这是高中数学最重要的方法之一

例1、将下列二次函数式配方：

（1）yx22x3 （2）2x25x1 （3）y3x26x1

解：（1）y(x22x1)2(x1)22 （2）y2(x252x)12(x252x2516)12551782(x4)28 （3）y3(x22x)13(x22x1)133(x1)22 例2、求下列二次函数的最大（或最小）值：

（1）y2x23x（2）y16xx2 （3）y14x2x4 解：（1）y2(x232x)2(x232x9932916)82(x4)8

∴当x34时 y取最小值98

（2）y(x26x)1(x26x9)19(x3)210 ∴当x=3时，y取最大值10 （3）y14(x24x)414(x24x4)1414(x2)23 ∴当x=-2时，y取最大值-3

练习 将下列二次函数配方

（1）yx23x （2）y2x24x1 （3）y2x26x1

（4）y13x223x1 （5）yx(x4) （6）y(x2)(x4)

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（7）y(x2)(x1) （8）y12(x3)(x5) （9）y(x1)22(x1) （10）y(x1)24x3 （11）y13x1222x （12）y0.1x0.4x0.6

（13）y3265x5x

（14）yx42x23 （15）y2x42x21

2.3 一元二次不等式解法

一、怎样解一元二次不等式ax2

＋bx＋c＞0(a≠0)呢？

借助于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象来解一元二次不等式ax2

＋bx＋c＞0(a≠0)． 先来研究二次项系数a＞0时的一元二次不等式的解．

对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)，设△＝b2

－4ac，它的解的情形按照△＞0，△=0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数

解，相应地，二次函数y＝ax2

＋bx＋c（a＞0）与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3－2所示)，

因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）与ax2

＋bx＋c＜0（a＞0）的解． y y y x1 O x2 x O x1= x2 x O x

① ② ③

图2.3－2

（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2

＋bx＋c（a＞0）与x轴有两个公共点(x1，0)和(x2，0)，方程 ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x1和x2(x1＜x2)，由图2.3－2①可知

不等式ax2

＋bx＋c＞0的解为 x＜x1，或x＞x2；

不等式ax2

＋bx＋c＜0的解为 x1＜x＜x2．

（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2

＋bx＋c（a＞0）与x轴有且仅有一个公共点，

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方程ax2

＋bx＋c＝0有两个相等的实数根xb1＝x2＝－

2a ，由图2.3－2②可知 不等式ax2

＋bx＋c＞0的解为 x≠－b2a ；

不等式ax2

＋bx＋c＜0无解．

（3）如果△＜0，抛物线y＝ax2

＋bx＋c（a＞0）与x轴没有公共点，

方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，由图2.3－2③可知不等式ax2

＋bx＋c＞0的解为一切实数；

不等式ax2

＋bx＋c＜0无解．

今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式． 二、典型例题： 例3 解不等式：

（1）x2＋2x－3<0； （2）x－x2＋6＜0； （3）4x2

＋4x＋1≥0；

（4）x2－6x＋9≤0； （5）－4＋x－x2

＜0．

解：（1）∵Δ＞0，方程x2

＋2x－3＝0的解是 x1＝－3，x2＝1． ∴不等式的解为 －3< x <1．

（2）整理，得 x2

－x－6＞0．

∵Δ＞0，方程x2

－x－6=0的解为 x1＝－2，x2＝3．

∴所以，原不等式的解为 x＜－2，或x >3．

（3）整理，得 (2x＋1)2

≥ 0.

由于上式对任意实数x都成立，∴原不等式的解为一切实数．

（4）整理，得 (x－3)2

≤0.

由于当x＝3时，(x－3)2＝0成立；而对任意的实数x，(x－3)2

＜0都不成立， ∴原不等式的解为 x＝3．

（5）整理，得 x2

－x＋4＞0．

Δ＜0，所以，原不等式的解为一切实数． 三、练习

1．解下列不等式：

（1）3x2－x－4＞0； （2）x2－x－12<0；（3）x2＋3x－4＞0； （4）16－8x＋x2 ≤

0．

2．解下列方程组 （1）(x3)2y29,x2y24,x2y0; （2）x2y22.

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3．解下列不等式：

222

（1）3x－2x＋1＜0； （2）3x－4＜0； （3）2x－x≥－1；

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