弹性力学简明教程(第四版)_习题解答

上（y=0） 左(x=0)

右（x=b）

l

0 -1 1

m

-1 0 0

fxs

0

gyh1

gyh1

fys

gh1 0 0

代入公式（2-15）得

①在主要边界上x=0，x=b上精确满足应力边界条件：

xx0g(yh1),xyx00;xxbg(yh1),xyxb0;

②在小边界y0上，能精确满足下列应力边界条件：

yy0gh,xyy00

③在小边界yh2上，能精确满足下列位移边界条件：

uyh20,vyh02

这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力

边界条件来代替，当板厚=1时，可求得固定端约束反力分别为：

Fs0,FNgh1b,M0

由于yh2为正面，故应力分量与面力分量同号，则有：

bdxgh1b0yyh2b 0yyh2xdx0bdx00xyyh2⑵图2-18

①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15）

l

m

fx(sfy(s

) )

hy

20 -1 0

q

yh 20 1

-q1 0

(y)y-h/2q，(yx)y-h/20，(y)yh/20，(yx)yh/2q1

②在x=0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边

h/2()dxFSh/2xyx0h/2界条件：负面上应力与面力符号相反，有h/2(x)x0dxFN

h/2(x)x0ydxMh/2③在x=l的小边界上，可应用位移边界条件uxl0,vxl0这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。

首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力：

FNFSMFFyxq1lFNq1lFN 0,FNFN0,FSFSql0FSqlFS

q1lh121ql2MA0,MM'FSl2ql2q1lh0M2MFSl2

由于x=l为正面，应力分量与面力分量同号，故

h/2()dyFqlFN1Nh/2xxlq1lhql2h/2MFSl h/2(x)xlydyM22h/2()dyFqlFxyxlSSh/2【2-10】【解答】由于hl，OA为小边界，故其上可用圣维南原

理，写出三个积分的应力边界条件：

(a)上端面OA面上面力fx0,fyq

由于OA面为负面，故应力主矢、主矩与面力主矢、主矩符号相

xb反，有

bbxqbbdxfdxqdxyy00y0b02bbxqb2bb(对OA中点取矩) 0yy0xdx0fyxdx0qxdxb212b0yxy0dx0(ｂ)应用圣维南原理，负面上的应力主矢和主矩与面力主矢和主矩符号相反，面力主矢y向为正，主矩为负，则

qbb0yy0dxFN2qb2b0yy0xdxM12bdx00xyy0

综上所述，在小边界OA上，两个问题的三个积分的应力边界条件相同，故这两个问题是静力等效的。

【2-14】【解答】在单连体中检验应力分量是否是图示问题的解答，必须满足：（1）平衡微分方程（2-2）；（2）用应力表示的相容方程（2-21）；（3）应力边界条件（2-15）。

（1）将应力分量代入平衡微分方程式，且fxfy0

xyx0 yxy0 显然满足 xyyx（2）将应力分量代入用应力表示的相容方程式（2-21），有

222q等式左=22xy=20=右

bxy应力分量不满足相容方程。

因此，该组应力分量不是图示问题的解答。 【解答】（1）推导公式

在分布荷载作用下，梁发生弯曲形变，梁横截面是宽度为1，高

h3为h的矩形，其对中性轴（Z轴）的惯性矩I，应用截面法可求

12q3qx2出任意截面的弯矩方程和剪力方程M(x)x,Fx。所以截

6l2l面内任意点的正应力和切应力分别为：

3Fsx4y2Mx3qx22x3y2xy2q3 xy12.3h4y。

2bhh4lhIlh根据平衡微分方程第二式（体力不计）。

y3qxyxy30得： y.2q3A yx2lhlhxy根据边界条件

3qxyxy3qxy.2q3.

2lhlh2lyyh/20得

qxA.2l故

将应力分量代入平衡微分方程（2-2）

第一式：

x2yx2y左6q.36q30右 满足

lhlh第二式 自然满足 将应力分量代入相容方程（2-23）

22xyxy左22xy12q.312q.30右

lhlhxy应力分量不满足相容方程。故，该分量组分量不是图示问题的解答。

【2-18】【解答】（1）矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的弯矩方程M(x)Fx，横截面对中性轴的惯性矩为Ih3/12，根据

z材料力学公式

M(x)12Fy3xy；该截面上的剪力为FsxF，剪应Izh弯应力x力为

Fs(x)S*F6Fh2hh/2y2xyybyy 33bIz22h41h/12取挤压应力y0（2）将应力分量代入平衡微分方程检验 第一式：左12F12Fyy0右 第二式：左=0+0=0=右 23hh该应力分量满足平衡微分方程。

（3）将应力分量代入应力表示的相容方程

左2(xy)0右 满足相容方程

（4）考察边界条件

①在主要边界yh/2上，应精确满足应力边界条件(2-15)

l

m

fx

fy

hy上2

h上2

0 -1 0 0

y0 1 0 0

代入公式（2-15），得

yy-h/20,xyyh/20;yyh/20,yxyh/20

②在次要边界x=0上，列出三个积分的应力边界条件，代入应力分量主矢主矩

h/2(x)x0dy0x向面力主矢h/2h/2h/2(x)x0ydy0面力主矩2h/26Fhh/22()dy(y)dyFy向面力主矢3h/2xyx0h/2h4

满足应力边界条件

③在次要边界上，首先求出固定边面力约束反力，按正方向假设，即面力的主矢、主矩，FN0,FSF,MFl

FNFSM其次，将应力分量代入应力主矢、主矩表达式，判断是否与面力主矢与主矩等效：

12Flydy0FNh/2h/2h3

h/2h/212F(x)xlydyly2dyFlM3h/2h/2h

h/2(x)xldyh/2

6Fh22()dyydyFFSh/2xyxlh/2h34h/2h/2

满足应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。 【3-4】【解答】⑴相容条件:

不论系数a取何值，应力函数ay3总能满足应力函数表示的相容方程，式(2-25).

⑵求应力分量

当体力不计时，将应力函数代入公式(2-24)，得

x6ay,y0,xyyx0

⑶考察边界条件

上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力.

左右边界上；

当a>0时，考察x分布情况，注意到xy0，故y向无面力 左端:fx(x)x06ay 0yh fyxyx00 右端:fxxxl6ay (0yh) fy(xy)xl0 应力分布如图所示，当l力，等效为主矢，主矩

h时应用圣维南原理可以将分布的面

A

主矢的中心在矩下边界位置。即本题情况下，可解决各种偏心拉伸问题。

偏心距e：

因为在A点的应力为零。设板宽为b，集中荷载p的偏心距e：

(x)Appe20eh/6 bhbh/6同理可知，当a<0时，可以解决偏心压缩问题。

【3-5】【解答】（1）由应力函数ax2y，得应力分量表达式

x0,y2ay,xyyx2ax考察边界条件，由公式（2-15）(lxmyx)sfx(s) (mylxy)sfy(s)①主要边界，上边界yhfy(y)ah

2hh上，面力为fx(y)2ax

22②主要边界，下边界y

hfy(y)ah

2hh，面力为fx(y)2ax, 22③次要边界，左边界x=0上，面力的主矢，主矩为

x向主矢：Fxh/2(x)x0dy0，y向主矢：Fyh/2(xy)x0dy0

主矩：Mh/2(x)x0ydy0

次要边界，右边界x=l上，面力的主矢，主矩为x向主矢：

Fxh/2h/2h/2h/2h/2(x)xldy0

y向主矢：Fyh/2h/2h/2(xy)xldyh/2h/2(2al)dy2alh

主矩：Mh/2(x)xlydy0弹性体边界上面力分布及次要边界面上面力的主矢，

⑵bxy2，将应力函数代入公式（2-24），得应力分量表达式

x2bx，y0，xyyx2by

考察应力边界条件，主要边界,由公式（2-15）得 在yh2主要边界，上边界上，面力为

hhfxybh,fyy0

22ybh,fy在y，下边界上，面力为fxy0

222hhh在次要边界上，分布面力可按(2-15)计算，面里的主矢、主矩可通过三个积分边界条件求得：

在左边界x=0，面力分布为fxx00,fyx02by 面力的主矢、主矩为

h2h2xFyh2h2向主矢：

Fxxx0dy0y向主矢：

xyx0dyh2h22byx0dy0

主矩；Mh/2(x)x0ydy0，在右边界x=l上，面力分布为，，面力的主矢、主矩为 fxxl2bl,fyxl2by，

h/2x向主矢：Fxh/2xxldyh/22bldy2blhy向主矢：

Fy'h/2h/2h/2h/2xyxldyh/2h/22bydy0

h/2主矩：M'h/2xxlydyh/22blydy0

（3）cxy3，将应力函数代入公式（2-24），得应力分量表达式

x6cxy,y0,xyyx3cy2

h/2考察应力边界条件，在主要边界上应精确满足式（2-15）

2ych,fy①上边界y上，面力为fxy0

2422hh3h2ych,fy② 下边界y=上，面力为fxy0

2422hh3h次要边界上，分布面力可按（2-15）计算，面力的主矢、主矩可通过三个积分边界求得：

③左边界x=0上，面力分布为

fxx00,fyx03cy2面力的主矢、主矩为x向主矢：Fxy向主矢：Fy主矩：Mh/2-h/2h/2h/2h/2

ch3cydy142xx0dy0h/2xyx0dyh/23h/2xx0ydy0④右边界xl上，面力分布为fxxl6cly,fyxl3cy2 面力的主矢、主矩为

x向主矢Fxh/2h/2xxldyh/2h/2h/26clydy0

h/2y向主矢：Fyh/2yxldyh/23cy2dych3

主矩：Mh/2xxlydyh/26cly2dyclh3

弹性体边界上的面力分布及在次要边界上面力的主矢和主矩，如图所示

【3-6】【解答】（1）将应力函数代入相容方程（2-25）

44422240，显然满足 x4xyyh/2h/21412（2）将代入式（2-24），得应力分量表达式

3F4y212Fxy(12) x,y0,xyyx2hhh3（3）由边界形状及应力分量反推边界上的面力：

①在主要边界上（上下边界）上，y，应精确满足应力边界条件式（2-15），应力yyh/20,yxyh/20

因此，在主要边界yhhfxy0,fyy0

22h2h上，无任何面力，即2②在x=0，x=l的次要边界上，面力分别为：

3F4y212Fly3F4y2x0:fx0,fy1-2xl:fx3,fy12

2hh，2hhh因此，各边界上的面力分布如图所示：

③在x=0，x=l的次要边界上，面力可写成主矢、主矩形式：

x=0上 x=l上

x向主矢：FN1=y向主矢：FS1=主矩：M1=h/2-h/2h/2h/2h/2fxdy0, FN2fydyF, FS2h/2h/2h/2fxdy0fydyFfxydyFl

h/2h/2h/2fxydy0, M2h/2【3-7】【解答】(1)将应力函数代入式（2-25）

412qy24qy4424qy220，， 223443xyhh3xyh代入（2-25），可知应力函数满足相容方程。 （2）将代入公式（2-24），求应力分量表达式:

26qx2y4qy33qy2q4y33yx2fxx33，y2fyy(31)

yhh5hx2hh26qxh23(y2)

xyh4 xyyx(3)考察边界条件，由应力分量及边界形状反推面力：

①在主要边界y（上面），应精确满足应力边界条件（2-15）

hhfxyyx0,fyyyqyh/2yh/222h在主要边界y下面，也应该满足2152 fxyh/2yx0,fyyh/2y0yh/2yh/2h2在次要边界x0上，分布面力为fxx0xx03qy4qy33,fyx0xy0x05hh应用圣维南原理，可写成三个积分的应力边界条件:

FNFSMh/2h/2h/23qy4qy3fxdyh/2h35hh/2dy0h/2h/2fydy0fxydy3qy4qy3h/2h35hh/2

h/2ydy0④在次要边界xl上，分布面力为

6ql2y4qy33qy6qlh233，fyxlxyxl3y2

hh5hh4fxxlxxl应用圣维南原理，可写成三个积分的应力边界条件:

236qly4qy3qyFNf(xl)dy33dy0h/2xh/2hh5h2h/2h/26qlhFsfy(xl)dy3y2dyql

h/2h/2h4h/2h/26ql2y4qy33qy12M'fx(xl)ydy33ydyqlh/2h/2hh5h2h/2h/2【3-8】【解答】采用半逆法求解。

由材料力学解答假设应力分量的函数形式。 (1)假定应力分量的函数形式。

根据材料力学，弯曲应力y主要与截面的弯矩有关，剪应力xy主要与截面的剪力有关，而挤压应力x主要与横向荷载有关，本题横向荷载为零，则x0

(2)推求应力函数的形式

2将x0，体力fx0,fyg，代入公式（2-24）有x2fxx0

yfx （a）yfxf1x （b） y对y积分，得

其中fx,f1x都是x的待定函数。 （3）由相容方程求解应力函数。

d4fxd4f1x0 将（b）式代入相容方程（2-25），得ydx4dx4（c）

在区域内应力函数必须满足相容方程，（c）式为y的一次方程，相容方程要求它有无数多个根（全竖柱内的y值都应满足它），可见其系数与自由项都必须为零，即

d4fxd4f1x0,0两个方程要求fxAx3Bx2Cx,f1xDx3Ex2 4dxdx（d）

fx中的常数项，f1x中的常数项和一次项已被略去，因为这三

项在的表达式中成为y的一次项及常数项，不影响应力分量。将（d）式代入（b）式，得应力函数

yAx3Bx2CxDx3Ex2 （e）

（4）由应力函数求应力分量

2x2fxx0 （f）

y2y2fyy6Axy2By6Dx2Egy (g)

x23Ax22BxC (h)

xyxy(5)考察边界条件

利用边界条件确定待定系数A、B、C、D、E。 主要边界x0上（左）：

xx00,(xy)x00

将（f），（h）代入

xx00，自然满足

(xy)x0C0 （i）

主要边界xb上，

xxb0，自然满足

(xy)xbq，将（h）式代入，得

(xy)xb3Ab22BbCq （j）

在次要边界y0上，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件：

b0(y)y0dx6Dx2Edx3Db22Eb0 （k）

0bb0(y)y0xdx6Dx2Exdx2Db3Eb20 （l）

0bb0(yx)y0dx3Ax22BxCdxAb3Bb2Cb0 （m）

0b由式（i），(j)，（k），（l），（m）联立求得

Aqq, B, CDE0 2bb代入公式（g），(h)得应力分量

2qxxq313gy, xx2xy bbbbx0, y【3-9】【解答】按半逆解法求解。

⑴将应力函数代入相容方程（2-25）显然满足。 ⑵由公式（2-24）求应力分量表达式，体力为零，有

222A3Bx2 x20，y26Bxy，xyyxxyxy⑶考察边界条件：

在主要边界xb2上，精确满足公式（2-15）

xxb/20,(xy)xb/2q

第一式自然满足，第二式为

3ABb2q (a)

4②在主要边界x=b/2上，精确满足式(2-15)

xxb/20,xyxb/2q

第一式自然满足，第二式为

3ABb2q (b)

4③在次要边界y=0上，可用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件:

b/2yb/2y0dx0 满足

b/2yb/2y0xdx0 满足

1dxA3BxdxAbBb0 （c） yxb/2y0b/24b/2b/223联立（a）（c）得系数

q2qA,B2

2b代入应力分量表达式，得

12qqx2x0,y2xy,xy1122

b2b【3-10】【解答】采用半逆解法求解

（1）将应力函数代入相容方程（2-25），显然满足 （2）由应力函数求应力分量，代入公式(2-24)

2B6By6Dxyx (a) 0y2A3Dyyxxy(3)考察边界条件

①主要边界yh/2上，应精确满足应力边界条件

yyh/20， 满足

xyyh/230, 得ADh20 （b）

4②在次要边界x=0上，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件

h/2xx0dyFNh/22B6CydyFNBh/2h/2xx0h/2FN 2hh/22MydyM2B6CyydyMC3

h/2hh/2h/2h/2xyx0dyFs1A3Dy2dyFsAhDh3Fs （c）

h/24h/2联立方程（b）（c）得

A3Fs2F,D3s 2hh最后一个次要边界xl上，在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下是必然满足的，故不必在校核。

将系数A、B、C、D代入公式（a），得应力分量 【3-11】【解答】采用半逆解法求解

(1) 检验应力函数是否满足相容方程（2-25）

设应力函数=Ax3Bx2yCxy2Dy3，不论上式中的系数如何取值，纯三次式的应力函数总能满足相容方程（2-25）

(2) 由式（2-24）求应力分量

由体力分量fx0,fyg，将应力函数代入公式（2-24）得应力分量：

2x2fxx2Cx6Dy （a）

y2y2fyy6Ax2Bygy （b）

y2xy2Bx2Cy （c）

xy（3）考察边界条件：由应力边界条件确定待定系数。

①对于主要边界y0，其应力边界条件为：

(y)y00，

(yx)y00 （d）

将式（d）代入式（b），（c），可得

A0，B=0 （e）

②对于主要边界yxtan（斜面上），应力边界条件：

在斜面上没有面力作用，即fxfy0，该斜面外法线方向余弦为，，得应力边界条件 lsin，mcos.由公式（2-15）

sin(x)yxtancos(yx)yxtan0 （f）

sin(xy)yxtancos(y)yxtan0将式（a）、（b）、（c）、（e）代入式（f），可解得

Cg2cot,Dg3cot2 （g）

将式（e）、（g）代入公式（a）、（b）、（c），得应力分量表达式：

xgxcot2gycot2 ygyxygycot【3-12】【解答】按半逆解法求解。

x2（1）由§3-4可知应力函数的函数形式为(Ay3By2CyD)2

x(Ey3Fy2Gy)A5B4yyHy3Ky2，由§3-4可知，必然满足相106容方程（2-25）。

（2）应力分量的表达式：

x2x(6Ay2B)x(6Ey2F)2Ay32By26Hy2K （a）

2yAy3By2CyDgy

（b）

xyx(3Ay22ByC)(3Ey22FyG) （c）

（3）考虑对称性

因为yz面是梁和荷载的对称面，所以应力分布应当对称于yz面。这样x和y是x的偶函数，而xy是x的奇函数，于是由式（a）和式（c）可见

EFG0 （d）

（4）考察边界条件：

①在主要边界yh2上，应精确满足应力边界条件（2-15），

(y)yh20,(yx)yh20

将应力分量式（b）、（c）代入，并注意到EFG0，可得：

h3h2hgABCDh084223h2hghABCDh08422 32x(AhhBC)043x(Ah2hBC)04联立此四个方程，得：

A2g3,B0,Cg,D0 （e） h22将式（d）、（e）代入式（a）、（b）、（c）

x6g24g3xyy6Hy2K （f） 22hh2g3gyy （g） 2h2yxy6g23gxyx2h2

（h）

②考察次要边界条件

由于问题的对称性，只需考虑其中的一边，如右边。右边界xl上，fx0，不论y取任何值(h2yh2)，都有x0。由（f）式可见，这是不可能的，除非,H,K均为零。因此，只能用应力x的主矢、主矩为零，即

h/2h/2(x)xldy0 （i）

h/2h/2(x)xlydy0 （j）

将（f）式代入式（i）得

4g36g2xyy6Hy2Kdy0 h/2h2h2h/2积分后得 K=0 （k）

将式（f）代入式（i），得

4g36g2lyy6Hy2Kydy0 22h/2hhh/2积分后得

l21Hg(2) （l）

h10将（k）、（l）代入式（f），得

6g24g3l21x2xy2y6g(2)y （m）

hhh10考察右边界上切应力分量xy的边界条件： 右边界上fyglh，则xy的主矢为

h/2h/2xyxldy6g23gxyh/2h22h/2xdyglhfy xl可知满足应力边界条件。

将式（g），（h），（m）略加整理，得应力分量的最后解答：

6g24g3l21Xh2xyh2y6g(h210)y2g3g (n) yyy2h26g23gxyx2xyh2（5）应力分量及应力分布图

h3h2y2梁截面的宽度取为1个单位，则惯性矩I，静矩是S。

1282根据材料力学截面法可求得截面的内力，可知梁横截面上的弯矩

l2x2,Fsxghx 方程和剪力方程分别为Mxgh2则式（n）可写成：

Mx4y23ygy(2)xIh5gy2 y(142)y2hFsxSxybI【3-13】【解答】用半逆解法求解。 （1）相容条件：

将应力函数代入相容方程式（2-25），得

120Ay24By0

要使满足相容方程，应使

1AB （a）

5（2）求应力分量，代入式（2-24）

x20Ay36Bx2y6Cy20Ay330Ax2y6Cy33 （b） y2By2D2Ey10Ay2D2Ey226Bxy2Ex30Axy2Exxy（3）考察边界条件

①在主要边界yh2上，应精确到满足应力边界条件

(y)yh20,即-103Ah2DEh0 （c） 8103Ah2DEhq （d） 8(y)yh2q,即(yx)yh20,即30Axh22Ex0 （e） 4联立式（a）、（c）、（d）、（e），可得：

Aqq3qq （f） ,D,E,B5h344hh3 ②在次要边界x0上，主矢和主矩都为零，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件：

h/2h/2(x)x0dy0 满足条件

Ah53()ydy(20Ay6Cy)ydy0Ch0 （g） xx0h/2h/22h/2h/23h/2h/2(xy)x0dy0 满足

将A的值带入（g），得 C=

q

（h） 10h

将各系数代入应力分量表达式（b），得

yy23x2xqh(4h256h2)qyy3y(1343)

2hh3qxy2(142)xy2hh【3-14】【解答】采用半逆解法求解。 (1) 相容条件：

将应力函数代入相容方程(2-25)，显然满足。 (2) 求应力分量：将代入（2-24）

2A6Cxy6Dyxy0 （a） 2B3Cyxy(3) 考察边界条件。

①在主要边界yb/2上，应精确满足应力边界条件 yyb/20 满足

xyyb/23q,BCb2q （b）

4②在次要边界x=0上，可用圣维南原理，写出三个积分应力边界条件

b/2b/2(x)x0dyF (2Ay3Dy2)b/2b/2F （c）

123()ydyMAy2DyM （d） xx0b/22b/2b/2b/2b/2xyb/2xodyF ByCy3b/2b/2F （e）

联立（b）、（c）、（d）、（e）式得

13F2FF2MqCqD，B，， （f） 2bb2b2bb3A将各系数据（f）代入式（a），得应力分量解答

【3-15】【解答】（1）假设应力分量的函数形式。因为在yb/2边界上，y0；yb/2边界上，y2gx，所以可以假设在区域内

y为yxfy

（2）推求应力函数的形式。由y推求的形式

2y2xfyx2xfyf1y

x2x3fyxf1yf2y

6（3）由相容方程求应力函数。将代入40，得

d4f1d4f2x3d4fd2fx42x20 6dy4dydy4dy要使上式在任意的x处都成立，必须

d4f0f(y)Ay3By2CyD;4dyd4f1d2fA5B43220f(y)yyGyHyIy; 142dydy106d4f20f2(y)Ey3Fy24dy代入即得应力函数的解答，其中已经略去了与应力无关的一次项，得

应

力

函

数

为

：

x3Ay5By432(AyByCyD)x(Gy3Hy2Iy)(Ey3Fy2)

6106（4）由应力函数求应力分量，将代入公式（2-24），注意体力

fx1g,fy0，求得应力分量表达式

2Bx2fxxx3Ayx2Ay32By26Cy2Hy3 6Ey2F1gx2y2fyyxAy3By2CyDx2x22B3Axy3Ay22ByCy4y3Gy22HyIxy232

（5）考察边界条件

在主要边界yb/2上，应精确满足应力边界条件

b3b2b2gxxABCD2gx428b3b2b0 xABCD0842b4x23b2b33b20 ABbCABG2412432HbI0yyb/2yyb/2

xyyb/2由上式得到

3b2b4b33b2ABbC0，ABG432124HbI0

求解各系数，得

A231g,B0,Cg,D2g,H0 223b2b2b3b2I2gG (a) 164在次要边界x0上，列出三个积分的应力边界条件

b/2b/2b/2xx0dy0  F0b/2b/2xx0ydy0  E0

bb2xydy0  I2gG (b)

2x0由式(a)、804解出

Ib8012g,G10b2g b/(b)将各系数代入应力分量的表达式，得