中考数学模拟试卷
一、选择题 1．（3分）△ABC中，BC=6，AC=8，AB=10，另一个与它相似的三角形的最短边是3，则其最长边一定是（ ） 12 5 16 A．B． C． D．2 0 2．（3分）（2005•连云港）如果三角形的每条边都扩大为原来的5倍，那么三角形的每个角（ ） A．都扩大为原来的5倍 B． 都扩大为原来的10倍 都扩大为原来的25倍 C．D． 都与原来相等 3．（3分）下列说法正确的是（ ） A．两个等腰三角形相似 两个直角三角形相似 B． 两个等腰直角三角形相似 C． D．有一个角相等的两个等腰三角形相似 4．（3分）如图，DE∥BC，则下列不成立的是（ ）
A． 5．（3分）（2013•德城区二模）二次函数y1=ax﹣x+1的图象与y2=﹣2x图象的形状，开口方向相同，只是位置不同，则二次函数y1的顶点坐标是（ ） A．B． C． D． （﹣，﹣） （﹣，） （，） （，﹣） 6．（3分）（2010•济南）二次函数y=x﹣x﹣2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是（ ）
2
2
2
B． C． D．
A．x＜﹣1 B． x＞2 2
C． ﹣1＜x＜2 D． x＜﹣1或x＞2 7．（3分）（2012•玉林）二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x=1，有如下结论：
①c＜1； ②2a+b=0； 2③b＜4ac；
2
④若方程ax+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=2． 则正确的结论是（ ）
①② A． ①③ B． ②④ C． 2
③④ D． 8．（3分）（2013•邵阳）在△ABC中，若|sinA﹣|+（cosB﹣）=0，则∠C的度数是（ ）
30° 45° 60° 90° A．B． C． D． 9．（3分）（2010•眉山）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ）
90° 60° 45° 30° A．B． C． D． 10．（3分）（2012•滨州）把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（ ） A．不变 B． C． 扩大为原来的3倍 D． 不能确定 缩小为原来的 二、填空题 11．（3分）（2013•闸北区一模）在坡度为i=1：2.4的斜坡上每走26米就上升了 _________ 米． 12．（3分）（2013•枣庄）已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD= _________ ．
13．（3分）（2013•下城区二模）计算：已知a：b=4：3，则
= _________ ．
14．（3分）（2008•丽水）如图，在已建立直角坐标系的4×4的正方形方格纸中，△ABC是格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点P、A、B为顶点的三角形与△ABC相似（C点除外），则格点P的坐标是 _________ ．
15．（3分）（2013•贵阳）已知二次函数y=x+2mx+2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是 _________ ．
16．（3分）（2013•荆门）若抛物线y=x+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B（m+6，n），则n= _________ ．
三、解答题 17．（2006•兰州）如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m．
（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式；
（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？
2
2
18．（2013•武侯区一模）已知二次函数y=x﹣kx+k﹣5
（1）求证：无论k取何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个交点； （2）若此二次函数图象的对称轴为x=1，求它的解析式． 19．（2010•普洱）某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上探测点A、B相距4m，探测线与地面的夹角分别是30°和60°，试确定生命所在点C的深度（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.414，≈1.732）
2
20．一条船在海面上自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东60°方向上，前进100米到达B处，又测得航标C在北偏东45°方向上．
（1）请根据以上描述，画出图形．
（2）已知以航标C为圆心，120米为半径的圆形区域内有浅滩，若这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？为什么？
21．如图，在△ABC中，∠C=90°，D、E分别为AB、AC边上的两点，且AD•AB=AE•AC． 求证：DE⊥AB．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6，点E、F分别是边AC、BC上的动点，过点E作ED⊥AB于点D，过点F作FG⊥AB于点G，DG的长始终为2； （1）当AD=3时，求DE的长；
（2）当点E、F在边AC、BC上移动时，设AD=x，FG=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）在点E、F移动过程中，△AED与△CEF能否相似，若能，求AD的长；若不能，请说明理由．
23．如图，在12×12的正方形网格中，△TAB的顶点分别为T（1，1），A（2，3），B（4，2）． （1）以点T（1，1）为位似中心，按比例尺（TA′：TA）3：1的位似中心的同侧将TAB放大为△TA′B′，放大后点A，B的对应点分别为A′，B′，画出△TA′B′，并写出点A′，B′的坐标；
（2）在（1）中，若C（a，b）为线段AB上任一点，写出变化后点C的对应点C′的坐标．
24．在△ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，QM在边BC上．若BC=8cm，AD=6cm，且PN=2PQ，求矩形PQMN的周长．
25．（2012•海门市模拟）如图，四边形OABE中，∠AOE=∠BEO=90°，OA=3，OE═4，BE=1，点C，D是边OE（与端点O、E不重合）上的两个动点且CD=1． （1）求边AB的长；
（2）当△AOD与△BCE相似时，求OD的长； （3）连接AC与BD相交于点P，设OD=x，△PDC的面积记为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
26．（2013•昆明）如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）求点D的坐标；
（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
27．（2013•汕头）已知二次函数y=x﹣2mx+m﹣1．
（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；
（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；
（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．
2
2
28．（2013•凉山州）如图，抛物线y=ax﹣2ax+c（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G． （1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；
（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．
2
中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题 1．（3分）△ABC中，BC=6，AC=8，AB=10，另一个与它相似的三角形的最短边是3，则其最长边一定是（ ） 12 5 16 20 A．B． C． D． 考点： 相似三角形的性质． 分析： 根据相似三角形的对应边的比相等，从而得到答案． 解答： 解：∵△ABC中，最短边是BC=6，最长边AB=10，一个与它相似的三角形的最短边是3 ∴它们的相似比是2：1 ∴其最长边A′B′=AB=5 故选B． 点评： 本题考查相似三角形的对应边的比相等的运用． 2．（3分）（2005•连云港）如果三角形的每条边都扩大为原来的5倍，那么三角形的每个角（ ） A．都扩大为原来的5倍 B． 都扩大为原来的10倍 都扩大为原来的25倍 C．D． 都与原来相等 考点： 相似图形；相似三角形的性质． 分析： 三角形的每条边都扩大为原来的5倍，所得的三角形与原三角形相似，相似比是1：5，根据相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等． 解答： 解：∵所得的三角形与原三角形相似 ∴三角形的每个角都与原来相等 故选D． 点评： 本题主要考查相似三角形的性质，对应角相等． 3．（3分）下列说法正确的是（ ） A．两个等腰三角形相似 两个直角三角形相似 B． 两个等腰直角三角形相似 C． D．有一个角相等的两个等腰三角形相似 考点： 相似三角形的判定． 专题： 常规题型． 分析： 本题主要应用两三角形相似的判定定理，做题即可． 解答： 解：A、所有的等腰三角形的形状不一定相同，不符合相似的定义，故错误； B、由于锐角没有确定，即不符合判定三角形的判定方法，故错误； C、它符合两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似； D、没有明确这个角是顶角还是底角，不符合判定条件，故错误． 故选C． 点评： 此题主要考查相似三角形的判定方法的运用． 4．（3分）如图，DE∥BC，则下列不成立的是（ ）
A． B． C． D． 考点： 平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质． 分析： 由题可知△ADE∽△ABC，根据相似三角形的对应边的比相等得到，，． 解答： 解：∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC ∴，， ∴不能得到的是D． 故选D． 点评： 本题主要考查了相似三角形的性质，对应边的比相等． 5．（3分）（2013•德城区二模）二次函数y1=ax﹣x+1的图象与y2=﹣2x图象的形状，开口方向相同，只是位置不同，则二次函数y1的顶点坐标是（ ） A．B． C． D． （﹣，﹣） （﹣，） （，） （，﹣） 考点： 二次函数的性质． 分析： 因为图象的形状，开口方向相同，所以a=﹣2．利用公式法y=ax2+bx+c的顶点坐标公式即可求． 解答： 解：根据题意可知，a=﹣2， 22
又∵=﹣，=， ∴顶点坐标为（﹣，）． 故选B． 点评： 此题考查了二次函数的性质． 6．（3分）（2010•济南）二次函数y=x﹣x﹣2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是（ ）
2
A．x＜﹣1 B． x＞2 C． ﹣1＜x＜2 D． x＜﹣1或x＞2 考点： 二次函数的图象． 分析： 根据函数图象求出与x轴的交点坐标，再由图象得出答案． 解答： 解：由x2﹣x﹣2=0可得，x1=﹣1，x2=2， 观察函数图象可知，当﹣1＜x＜2时，函数值y＜0． 故选C．
点评： 此类题可用数形结合的思想进行解答． 7．（3分）（2012•玉林）二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x=1，有如下结论： ①c＜1； ②2a+b=0； 2③b＜4ac；
2
④若方程ax+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=2． 则正确的结论是（ ）
2
①② A． ①③ B． ②④ C． ③④ D． 考点： 二次函数图象与系数的关系． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 由抛物线与y轴的交点在1的上方，得到c大于1，故选项①错误；由抛物线的对称轴为x=1，利用对称轴公式得到关于a与b的关系，整理得到2a+b=0，选项②正确；由抛物线与x轴的交点有两个，得到根的判别式大于0，整理可判断出选项③错误；令抛物线解析式中y=0，得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出两根之和，将得到的a与b的关系式代入可得出两根之和为2，选项④正确，即可得到正确的选项． 解答： 解：由抛物线与y轴的交点位置得到：c＞1，选项①错误； ∵抛物线的对称轴为x=﹣=1，∴2a+b=0，选项②正确； 22由抛物线与x轴有两个交点，得到b﹣4ac＞0，即b＞4ac，选项③错误； 2令抛物线解析式中y=0，得到ax+bx+c=0， ∵方程的两根为x1，x2，且﹣∴x1+x2=﹣=2，选项④正确， 综上，正确的结论有②④． 故选C 2点评： 此题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax+bx+c（a≠0），a的符号由开口方向决定，c的符号由抛物线与y轴交点的位置确定，b的符号由a及对称轴的位置确定，抛物线与x轴交点的个数决定根的判别式的符号． 8．（3分）（2013•邵阳）在△ABC中，若|sinA﹣|+（cosB﹣）=0，则∠C的度数是（ ）
30° 45° 60° A．B． C． D．9 0° 考点： 特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理． 专题： 压轴题． 分析： 根据绝对值及完全平方的非负性，可求出sinA、cosB的值，继而得出∠A、∠B的度数，利用三角形的内角和定理，可求出∠C的度数． =1，及﹣=2， 2
解答： 解：∵|sinA﹣|+（cosB﹣）=0， ∴sinA=，cosB=， ∴∠A=30°，∠B=60°， 则∠C=180°﹣30°﹣60°=90°． 故选D． 点评： 本题考查了特殊角的三角函数值，三角形的内角和定理，属于基础题，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容． 9．（3分）（2010•眉山）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ）
2 90° A． 60° B． 45° C． 30° D． 考点： 勾股定理． 分析： 根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，进行判断即可． 解答： 解：根据勾股定理可以得到：AC=BC=，AB=． 222∵（）+（）=（）． 222∴AC+BC=AB． ∴△ABC是等腰直角三角形． ∴∠ABC=45°． 故选C． 点评： 本题考查了勾股定理，判断△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键． 10．（3分）（2012•滨州）把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（ ） A．不变 B． C． 扩大为原来的3倍 D． 不能确定 缩小为原来的 考点： 锐角三角函数的定义． 分析： 由于△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角A的大小没改变，根据正弦的定义得到锐角A的正弦函数值也不变． 解答： 解：因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正弦函数值也不变． 故选A． 点评： 本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值．也考查了相似三角形的判定与性质． 二、填空题 11．（3分）（2013•闸北区一模）在坡度为i=1：2.4的斜坡上每走26米就上升了 10 米． 考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 分析： 根据坡度的定义可以求得AC、BC的比值，根据AC、BC的比值和AB的长度即可求得AC的值，即可解
题． 解答： 解：由题意得，AB=26米，tanB==1：2.4， 设AC=x，则BC=2.4x， 222则在Rt△ABC中，x+（2.4x）=26， 解得：x=10，即AC=10米． 故答案为：10． 点评： 本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，坡度的定义及直角三角形中三角函数值的计算，属于基础题． 12．（3分）（2013•枣庄）已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=
．
考点： 相似多边形的性质；翻折变换（折叠问题）． 专题： 压轴题． 分析： 可设AD=x，由四边形EFDC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可． 解答： 解：∵AB=1， 设AD=x，则FD=x﹣1，FE=1， ∵四边形EFDC与矩形ABCD相似， ∴=，=， ，x2=（不合题意舍去）， 解得x1=经检验x1=故答案为是原方程的解． ． 点评： 本题考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与矩形ABCD相似得到比例式． 13．（3分）（2013•下城区二模）计算：已知a：b=4：3，则
= 18 ．
考点： 比例的性质． 分析： 根据比例设a=4k，b=3k，然后代入比例式进行计算即可得解． 解答： 解：∵a：b=4：3， ∴设a=4k，b=3k， =故答案为：18．
=18．
点评： 本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出a、b，可以使计算更加简单． 14．（3分）（2008•丽水）如图，在已建立直角坐标系的4×4的正方形方格纸中，△ABC是格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点P、A、B为顶点的三角形与△ABC相似（C点除外），则格点P的坐标是 （1，4）或（3，1）或（3，4） ．
考点： 相似三角形的性质；坐标与图形性质． 专题： 压轴题；数形结合． 分析： 根据题意作图，可以作相似比为1：2的相似三角形，还要注意全等的情况，根据图形即可得有三个满足条件的解． 解答： 解：如图：此时AB对应P1A或P2B，且相似比为1：2， 故点P的坐标为：（1，4）或（3，4）； △ABC≌△BAP3此时P的坐标为（3，1）； ∴格点P的坐标是（1，4）或（3，1）或（3，4）． 点评： 此题考查了相似三角形的性质．解题的关键是数形结合思想的应用即根据题意作图解此题．还要注意全等是特殊的相似，小心别漏解． 15．（3分）（2013•贵阳）已知二次函数y=x+2mx+2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是 m≥﹣2 ． 考点： 二次函数的性质． 专题： 压轴题． 分析： 根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于2列式计算即可得解． 解答： 解：抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣m， 2
∵当x＞2时，y的值随x值的增大而增大， ∴﹣m≤2， 解得m≥﹣2． 故答案为：m≥﹣2． 点评： 本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键． 16．（3分）（2013•荆门）若抛物线y=x+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B（m+6，n），则n= 9 ． 考点： 抛物线与x轴的交点． 专题： 压轴题． 2
分析： 首先，由“抛物线y=x+bx+c与x轴只有一个交点”推知x=﹣时，y=0．且b﹣4c=0，即b=4c； 其次，根据抛物线对称轴的定义知点A、B关于对称轴对称，则A（﹣﹣3，n），B（﹣+3，n）； 最后，根据二次函数图象上点的坐标特征知n=（﹣﹣3）+b（﹣﹣3）+c=入即可求得n的值． 解答： 解：∵抛物线y=x+bx+c与x轴只有一个交点， ∴当x=﹣时，y=0．且b﹣4c=0，即b=4c． 又∵点A（m，n），B（m+6，n）， ∴点A、B关于直线x=﹣对称， ∴A（﹣﹣3，n），B（﹣+3，n） 将A点坐标代入抛物线解析式，得：n=（﹣﹣3）+b（﹣﹣3）+c=∵b=4c， ∴n=×4c+c+9=9． 222222222b+c+9，所以把b=4c代22b+c+9 2故答案是：9． 点评： 本题考查了抛物线与x轴的交点．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程2ax+bx+c=0根之间的关系． 2△=b﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． 2△=b﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； 2△=b﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点； 2△=b﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 三、解答题 17．（2006•兰州）如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m．
（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式；
（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？
考点： 二次函数的应用． 专题： 压轴题；函数思想． 分析： 先设抛物线的解析式，再找出几个点的坐标，代入解析式后可求解． 2解答： 解：（1）设所求抛物线的解析式为：y=ax（a≠0）， 由CD=10m，可设D（5，b）， 由AB=20m，水位上升3m就达到警戒线CD， 则B（10，b﹣3）， 2把D、B的坐标分别代入y=ax得：
， 解得． ∴y=； （2）∵b=﹣1， ∴拱桥顶O到CD的距离为1m， ∴=5（小时）． 所以再持续5小时到达拱桥顶． 点评： 命题立意：此题是把一个实际问题通过数学建模，转化为二次函数问题，用二次函数的性质加以解决． 18．（2013•武侯区一模）已知二次函数y=x﹣kx+k﹣5
（1）求证：无论k取何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个交点； （2）若此二次函数图象的对称轴为x=1，求它的解析式． 考点： 抛物线与x轴的交点；根的判别式． 专题： 计算题；证明题． 22分析： （1）令y=0，得到方程x﹣kx+k﹣5=0，求出此方程的判别式为=（k﹣2）+16，无论k取何实数，（k﹣2）2+16＞0，即可得到答案； （2）根据抛物线的对称轴x=1，能求出k的值，代入抛物线的解析式即可． 2解答： （1）证明：令y=0，则x﹣kx+k﹣5=0， 222∵△=k﹣4（k﹣5）=k﹣4k+20=（k﹣2）+16， 2∵（k﹣2）≥0， 2∴（k﹣2）+16＞0 ∴无论k取何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个交点． 2
（2）解：∵对称轴为x=， ∴k=2， 2∴解析式为y=x﹣2x﹣3， 2答：它的解析式是y=x﹣2x﹣3． 点评： 本题主要考查对抛物线与X轴的交点和根的判别式等知识点的理解和掌握，理解二次函数和一元二次方程之间的关系式解此题的关键，此题是一个比较典型的题目． 19．（2010•普洱）某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上探测点A、B相距4m，探测线与地面的夹角分别是30°和60°，试确定生命所在点C的深度（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.414，≈1.732）
考点： 解直角三角形的应用．
分析： 作CD⊥AB于点D，可构造出含60°的直角三角形，易得BC=AB=4，利用60°的正弦值可求得生命所在点C的深度． 解答： 解：由对顶角相等易得∠DAC=30°． ∴∠BCA=30°， ∴BC=AB=4． 作CD⊥AB于点D． ∴CD=BC×sin60°=2≈3.5（m）． 点评： 重点考查三角函数定义的应用． 20．一条船在海面上自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东60°方向上，前进100米到达B处，又测得航标C在北偏东45°方向上．
（1）请根据以上描述，画出图形．
（2）已知以航标C为圆心，120米为半径的圆形区域内有浅滩，若这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？为什么？
考点： 解直角三角形的应用-方向角问题． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 先根据题意画图，作CD⊥直线AB于点D，根据已知求得CD的长再与120比较，若大于120则无危险，反之有危险． 解答： 解：（1） （2）答：这条船继续前进，没有被浅滩阻碍的危险． 作CD⊥直线AB于点D， 由已知可得∠CAD=30°，∠CBD=45°， AB=100米． 设CD=x米． 在Rt△ACD中，tan∠CAD=，
∴AD=， 在Rt△CBD中，∵∠CBD=45°， ∴BD=CD=x， ∵AD﹣BD=AB， ∴， 解得， ∴这条船继续前进没有被浅滩阻碍的危险． 点评： 此题考查学生基本的作图能力，及构造直角三角形解题的能力． 21．如图，在△ABC中，∠C=90°，D、E分别为AB、AC边上的两点，且AD•AB=AE•AC． 求证：DE⊥AB．
考点： 相似三角形的判定与性质． 专题： 证明题． 分析： 根据等积式得出比例式，再加上∠A=∠A得出△AED∽△ABC，推出∠ADE=∠C即可． 解答： 证明：∵AD•AB=AE•AC， ∴=， ∵∠A=∠A， ∴△AED∽△ABC， ∴∠ADE=∠C=90°， ∴DE⊥AB． 点评： 本题考查了垂直的定义和相似三角形的判定和性质，注意：有两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似． 22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6，点E、F分别是边AC、BC上的动点，过点E作ED⊥AB于点D，过点F作FG⊥AB于点G，DG的长始终为2； （1）当AD=3时，求DE的长；
（2）当点E、F在边AC、BC上移动时，设AD=x，FG=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）在点E、F移动过程中，△AED与△CEF能否相似，若能，求AD的长；若不能，请说明理由．
考点： 相似三角形的判定与性质；待定系数法求一次函数解析式；勾股定理． 专题： 综合题；分类讨论． 分析： （1）根据勾股定理先求出BC的长，再通过证明△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质得出DE的长；
（2）通过证明△BGF∽△BCA，根据相似三角形的性质得出y关于x的函数解析式； （3）由（1）（2）可得：，，分∠A=∠CEF，∠A=∠CFE两种情况求出△AED与△CEF相似时AD的长． 解答： 解：（1）∵∠ACB=90°，AB=10，AC=6 ∴BC=8（1分） ∵ED⊥AB∴∠ADE=∠ACB=90° 又∵∠A=∠A ∴△ADE∽△ACB（1分） ∴∴ ∴DE=4（1分） （2）∵FG⊥AB∴∠BGF=∠BCA=90° 又∵∠B=∠B ∴△BGF∽△BCA（1分） ∴∴ （3）由（1）（2）可得：∴，，（1分） ，解得：，解得：或；（2分） ；（2分） ∴（（1分） ）（2分） 当∠A=∠CEF时，当∠A=∠CFE时，∴当AD的长为，△AED与△CEF相似． 点评： 本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理以及一次函数的综合应用等知识，综合性强，难度较大． 23．如图，在12×12的正方形网格中，△TAB的顶点分别为T（1，1），A（2，3），B（4，2）． （1）以点T（1，1）为位似中心，按比例尺（TA′：TA）3：1的位似中心的同侧将TAB放大为△TA′B′，放大后点A，B的对应点分别为A′，B′，画出△TA′B′，并写出点A′，B′的坐标；
（2）在（1）中，若C（a，b）为线段AB上任一点，写出变化后点C的对应点C′的坐标．
考点： 作图-位似变换．
专题： 作图题． 分析： （1）根据题目的叙述，正确地作出图形，然后确定各点的坐标即可． （2）根据（1）中变换的规律，即可写出变化后点C的对应点C′的坐标． 解答： 解：（1）所画图形如下所示： 点A′，B′的坐标分别为：A′（4，7），B′（10，4）； （2）变化后点C的对应点C′的坐标为：C′（3a﹣2，3b﹣2）或填 C′（3（a﹣1）+1，3（b﹣1）+1）． 点评： 本题考查位似变换作图的问题，正确理解位似变换的定义，会进行位似变换的作图是解题的关键． 24．在△ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，QM在边BC上．若BC=8cm，AD=6cm，且PN=2PQ，求矩形PQMN的周长．
考点： 相似三角形的判定与性质；矩形的性质． 专题： 综合题． 分析： 由题意可得出PQ：AD=BP：AB，PN：BC=AP：AB，BC=8，AD=6，据此可得出PQ，PN的值，故可得出矩形PQMN的周长． 解答： 解：由题意得；PQ：AD=BP：AB，PN：BC=AP：AB ∴=+===1， 又∵PN=2PQ，BC=8cm，AD=6cm， ∴+=1， ∴PQ=2.4 则PN=4.8， ∴矩形PQMN的周长=14.4cm． 点评： 本题考查了相似三角形的性质，能够灵活运用比例线段解决本题的关键，技巧性很强，要注意掌握做题技巧性． 25．（2012•海门市模拟）如图，四边形OABE中，∠AOE=∠BEO=90°，OA=3，OE═4，BE=1，点C，D是边OE（与端点O、E不重合）上的两个动点且CD=1． （1）求边AB的长；
（2）当△AOD与△BCE相似时，求OD的长； （3）连接AC与BD相交于点P，设OD=x，△PDC的面积记为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
考点： 相似形综合题． 专题： 综合题． 分析： （1）作BF⊥AO，构造矩形OEBF和直角三角形AFB，利用勾股定理求出AB的长； （2）分两种情况讨论：①当=时，△AOD∽△BEC；②当=时，△AOD∽△CEB；然后根据相似三角形的性质解答； （3）作PH⊥OE于H．可得△PHC∽△AOC，△PHD∽△BED，然后根据相似三角形的性质，求出函数解析式． 解答： 解：（1）作BF⊥AO，则四边形OEBF为矩形， ∵BF=OE=4，AF=AO﹣BE=3﹣1=2； ∴在Rt△AFB中，AB===2． （2）设OD=a，则CE=4﹣a﹣1=3﹣a， ∵∠AOD=∠BEC=90°， ①当∴=∴a=； ②当∴2=时，△AOD∽△BEC， ， =时，△AOD∽△CEB， =， ∴a﹣3a+3=0，此方程无实数根， 综上所述，OD=． （3）作PH⊥OE于H． 可得，△PHC∽△AOC，△PHD∽△BED， ∴=∵=∴=，， ， =，CH=PH（x+1）， ∴DH=PH（4﹣x）， ∴CD=CH+DH=PH（x+1）+PH（4﹣x）=1，
∴PH=． =（0＜x＜3）． ∴y=CD•PH=×1× 点评： 本题考查了相似形综合题，涉及勾股定理、矩形的判定和性质、相似三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 26．（2013•昆明）如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）求点D的坐标；
（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
考点： 二次函数综合题． 专题： 综合题；压轴题． 2分析： （1）由OA的长度确定出A的坐标，再利用对称性得到顶点坐标，设出抛物线的顶点形式y=a（x﹣2）+3，将A的坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式； （2）设直线AC解析式为y=kx+b，将A与C坐标代入求出k与b的值，确定出直线AC解析式，与抛物线解析式联立即可求出D的坐标； （3）存在，分两种情况考虑：如图所示，当四边形ADMN为平行四边形时，DM∥AN，DM=AN，由对称性得到M（3，），即DM=2，故AN=2，根据OA+AN求出ON的长，即可确定出N的坐标；当四边形ADM′N′为平行四边形，可得三角形ADQ全等于三角形N′M′P，M′P=DQ=，N′P=AQ=3，将y=﹣代
入得：﹣=﹣x+3x，求出x的值，确定出OP的长，由OP+PN′求出ON′的长即可确定出N′坐标． 解答： 解：（1）设抛物线顶点为E，根据题意OA=4，OC=3，得：E（2，3）， 设抛物线解析式为y=a（x﹣2）+3， 将A（4，0）坐标代入得：0=4a+3，即a=﹣， 则抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）+3=﹣x+3x； （2）设直线AC解析式为y=kx+b（k≠0）， 将A（4，0）与C（0，3）代入得：， 2222解得：， 故直线AC解析式为y=﹣x+3， 与抛物线解析式联立得：， 解得：或， 则点D坐标为（1，）； （3）存在，分两种情况考虑： ①当点M在x轴上方时，如答图1所示： 四边形ADMN为平行四边形，DM∥AN，DM=AN， 由对称性得到M（3，），即DM=2，故AN=2， ∴N1（2，0），N2（6，0）； ②当点M在x轴下方时，如答图2所示：
过点D作DQ⊥x轴于点Q，过点M作MP⊥x轴于点P，可得△ADQ≌△NMP， ∴MP=DQ=，NP=AQ=3， 将yM=﹣代入抛物线解析式得：﹣=﹣x+3x， 解得：xM=2﹣或xM=2+， ∴xN=xM﹣3=﹣﹣1或﹣1， ∴N3（﹣﹣1，0），N4（﹣1，0）． 综上所述，满足条件的点N有四个：N1（2，0），N2（6，0），N3（﹣﹣1，0），N4（﹣1，0）． 点评： 此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定抛物线解析式，一次函数与二次函数的交点，平行四边形的性质，以及坐标与图形性质，是一道多知识点的探究型试题． 27．（2013•汕头）已知二次函数y=x﹣2mx+m﹣1．
（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；
（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；
（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．
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考点： 二次函数综合题． 分析： （1）根据二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），直接代入求出m的值即可； （2）根据m=2，代入求出二次函数解析式，进而利用配方法求出顶点坐标以及图象与y轴交点即可； （3）根据当P、C、D共线时PC+PD最短，利用平行线分线段成比例定理得出PO的长即可得出答案． 解答： 解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）， 222∴代入二次函数y=x﹣2mx+m﹣1，得出：m﹣1=0， 解得：m=±1， 22∴二次函数的解析式为：y=x﹣2x或y=x+2x； （2）∵m=2， 2222∴二次函数y=x﹣2mx+m﹣1得：y=x﹣4x+3=（x﹣2）﹣1， ∴抛物线的顶点为：D（2，﹣1）， 当x=0时，y=3，
∴C点坐标为：（0，3）； （3）当P、C、D共线时PC+PD最短， 过点D作DE⊥y轴于点E， ∵PO∥DE， ∴=， ∴=， 解得：PO=， ∴PC+PD最短时，P点的坐标为：P（，0）． 点评： 此题主要考查了二次函数的综合应用以及配方法求二次函数顶点坐标以及最短路线问题等知识，根据数形结合得出是解题关键． 28．（2013•凉山州）如图，抛物线y=ax﹣2ax+c（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G． （1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；
（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．
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考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题． 2分析： （1）将A（3，0），C（0，4）代入y=ax﹣2ax+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）先根据A、C的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式，进而根据抛物线和直线AC的解析式分别表示出点P、点M的坐标，即可得到PM的长； （3）由于∠PFC和∠AEM都是直角，F和E对应，则若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似时，分两
种情况进行讨论：①△PFC∽△AEM，②△CFP∽△AEM；可分别用含m的代数式表示出AE、EM、CF、PF的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出△PCM的形状． 解答： 解：（1）∵抛物线y=ax﹣2ax+c（a≠0）经过点A（3，0），点C（0，4）， ∴，解得22， ∴抛物线的解析式为y=﹣x+x+4； （2）设直线AC的解析式为y=kx+b， ∵A（3，0），点C（0，4）， ∴，解得， ∴直线AC的解析式为y=﹣x+4． ∵点M的横坐标为m，点M在AC上， ∴M点的坐标为（m，﹣m+4）， ∵点P的横坐标为m，点P在抛物线y=﹣x+x+4上， ∴点P的坐标为（m，﹣m+m+4）， ∴PM=PE﹣ME=（﹣m+m+4）﹣（﹣m+4）=﹣m+4m， 即PM=﹣m+4m（0＜m＜3）； （3）在（2）的条件下，连结PC，在CD上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似．理由如下： 由题意，可得AE=3﹣m，EM=﹣m+4，CF=m，PF=﹣m+m+4﹣4=﹣m+m． 若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似，分两种情况： ①若△PFC∽△AEM，则PF：AE=FC：EM， 即（﹣m+m）：（3﹣m）=m：（﹣m+4）， ∵m≠0且m≠3， ∴m=． 22222222∵△PFC∽△AEM，∴∠PCF=∠AME， ∵∠AME=∠CMF，∴∠PCF=∠CMF． 在直角△CMF中，∵∠CMF+∠MCF=90°， ∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°， ∴△PCM为直角三角形； ②若△CFP∽△AEM，则CF：AE=PF：EM， 即m：（3﹣m）=（﹣m+m）：（﹣m+4）， ∵m≠0且m≠3，
2
∴m=1． ∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME， ∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF． ∴CP=CM， ∴△PCM为等腰三角形． 综上所述，存在这样的点P使△PFC与△AEM相似．此时m的值为形． 或1，△PCM为直角三角形或等腰三角 点评： 此题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定，难度适中．要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解．
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