南昌大学 数字信号处理 实验报告 实验二时域采样与频域采样

二、实验目的: 时域采样理论与频域采样理论是数字信号处理中的重要理论。要求

掌握模拟信号采样前后频谱的变化，以及如何选择采样频率才能使采样后的信号不丢失信息；要求掌握频率域采样会引起时域周期化的概念，以及频率域采样定理及其对频域采样点数选择的指导作用。

三、实验原理与方法：

时域采样定理：

a) 对模拟信号xa(t)以间隔T进行时域等间隔理想采样，形成的采样信号的频谱

ˆ(j)是原模拟信号频谱X(j)以采样角频率（2/T）为周Xssa期进行周期延拓。公式为：

1ˆˆa(t)]Xa(jjns) Xa(j)FT[xTnb) 采样频率s必须大于等于模拟信号最高频率的两倍以上，才能使采样信号的 频谱不产生频谱混叠。

ˆ(j)X(eC) 计算机进行实验的公式为：Xaj)T

即理想采样信号的傅立叶变换可用相应的采样序列的傅立叶变换得到，只要将

自变量ω用T代替即可。 频域采样定理：

a) 对信号x(n)的频谱函数X(ej

ω

)在[0，2π]上等间隔采样N点，得到

2kNXN(k)X(ej) , k0,1,2,,N1

则N点IDFT[XN(k)]得到的序列就是原序列x(n)以N为周期进行周期延拓后的主值区序列，公式为：

xN(n)IDFT[XN(k)]N[ix(niN)]RN(n)

b) 由上式可知，频域采样点数N必须大于等于时域离散信号的长度M(即N≥M)，

才能使时域不产生混叠，则N点IDFT[XN(k)]得到的序列xN(n)就是原序列x(n),即xN(n)=x(n)。如果N>M，xN(n)比原序列尾部多N-M个零点；如果N四、实验内容及步骤：

（1）验证时域采样理论。

t模拟信号：xa(t)Aesin(0t)u(t)

式中A=444.128，=502π，0=502πrad/s。它的幅频特性曲线如下图。

xa(t)的幅频特性曲线

按照xa(t)的幅频特性曲线，选取三种采样频率，即Fs=1kHz，300Hz，200Hz。观测时间选Tp50ms。

为使用DFT，首先用下面公式产生时域离散信号，对三种采样频率，采样序列按顺序用x1(n)，x2(n)，x3(n)表示。

nTsin(0nT)u(nT) x(n)xa(nT)Ae要求： 编写实验程序，计算x1(n)、x2(n)和x3(n)的幅度特性，并绘图显示。观察分析频谱混叠失真。

实验程序：

A=444.128;a=50*sqrt(2)*pi;w0=50*sqrt(2)*pi;

Tp=50/1000;F1=1000;F2=300;F3=200; %观察时间Tp=50ms T1=1/F1;T2=1/F2;T3=1/F3; %不同的采样频率 n1=0:Tp*F1-1;n2=0:Tp*F2-1;n3=0:Tp*F3-1; %产生不同的长度区间n1,n2,n3

x1=A*exp(-a*n1*T1).*sin(w0*n1*T1); %产生采样序列x1(n) x2=A*exp(-a*n2*T2).*sin(w0*n2*T2); %产生采样序列x2(n)

x3=A*exp(-a*n3*T3).*sin(w0*n3*T3); %产生采样序列x3(n) f1=fft(x1,length(n1)); %采样序列x1(n)的FFT变换 f2=fft(x2,length(n2)); %采样序列x2(n)的FFT变换 f3=fft(x3,length(n3)); %采样序列x3(n)的FFT变换 k1=0:length(f1)-1;

fk1=k1/Tp; k2=0:length(f2)-1;

fk2=k2/Tp; k3=0:length(f3)-1;

fk3=k3/Tp; subplot(3,2,1) stem(n1,x1,'.') title('(a)Fs=1000Hz'); xlabel('n');ylabel('x1(n)'); subplot(3,2,3) stem(n2,x2,'.') title('(b)Fs=300Hz'); xlabel('n');ylabel('x2(n)'); subplot(3,2,5) stem(n3,x3,'.') title('(c)Fs=200Hz'); xlabel('n');ylabel('x3(n)');

%x1(n)的频谱的横坐标的取值 %x2(n)的频谱的横坐标的取值 %x3(n)的频谱的横坐标的取值 subplot(3,2,2) plot(fk1,abs(f1))

title('(a) FT[xa(nT)],Fs=1000Hz'); xlabel('f(Hz)');ylabel('幅度') subplot(3,2,4) plot(fk2,abs(f2))

title('(b) FT[xa(nT)],Fs=300Hz'); xlabel('f(Hz)');ylabel('幅度') subplot(3,2,6) plot(fk3,abs(f3))

title('(c) FT[xa(nT)],Fs=200Hz'); xlabel('f(Hz)');ylabel('幅度')

运行结果：

由图可见，采样序列的频谱的确是以采样频率为周期对模拟信号频谱的周期延拓。当采样频率为1000Hz时频谱混叠很小；当采样频率为300Hz时，在折叠频率150Hz附近频谱混叠很严重；当采样频率为200Hz时，在折叠频率110Hz附近频谱混叠更很严重。 （2）验证频域采样理论。

给定信号如下：

n10n13 x(n)27n14n26

0其它编写程序分别对频谱函数X(e)FT[x(n)]在区间[0,2]上等间隔采样32 和16点，得到X32(k)和X16(k)： X32(k)X(e)jj2k32 , k0,1,2,31

X16(k)X(e)j2k16 , k0,1,2,15

再分别对X32(k)和X16(k)进行32点和16点IFFT，得到x32(n)和x16(n)：

x32(n)IFFT[X32(k)]32 , n0,1,2, x16(n)IFFT[X16(k)]16 , n0,1,2,j,31 ,15

分别画出X(e)、X32(k)和X16(k)的幅度谱，并绘图显示x(n)、x32(n)和x16(n)的波形，进行对比和分析，验证总结频域采样理论。

实验程序：

M=27;N=32;n=0:M; %产生M长三角波序列x(n)

xa=0:floor(M/2); xb= ceil(M/2)-1:-1:0; xn=[xa,xb];

Xk=fft(xn,1024); %1024点FFT[x(n)], 用于近似序列x(n)的TF X32k=fft(xn,32) ;%32点FFT[x(n)]

x32n=ifft(X32k); %32点IFFT[X32(k)]得到x32(n) X16k=X32k(1:2:N); %隔点抽取X32k得到X16(K) x16n=ifft(X16k,N/2); %16点IFFT[X16(k)]得到x16(n) subplot(3,2,2);stem(n,xn,'.');box on

title('(b) 三角波序列x(n)');xlabel('n');ylabel('x(n)');axis([0,32,0,20]) k=0:1023;wk=2*k/1024; %

subplot(3,2,1);plot(wk,abs(Xk));title('(a)FT[x(n)]');

xlabel('\\omega/\\pi');h=ylabel('|X(e^j^\\omega)|'); set(h,'rotation',0);axis([0,1,0,200]) k=0:N/2-1;

subplot(3,2,3);stem(k,abs(X16k),'.');box on

title('(c) 16点频域采样');xlabel('k');ylabel('|X_1_6(k)|');axis([0,8,0,200]) n1=0:N/2-1;

subplot(3,2,4);stem(n1,x16n,'.');box on

title('(d) 16点IDFT[X_1_6(k)]');xlabel('n');ylabel('x_1_6(n)');axis([0,32,0,20]) k=0:N-1;

subplot(3,2,5);stem(k,abs(X32k),'.');box on

title('(e) 32点频域采样');xlabel('k');ylabel('|X_3_2(k)|');axis([0,16,0,200]) n1=0:N-1;

subplot(3,2,6);stem(n1,x32n,'.');box on

title('(f) 32点IDFT[X_3_2(k)]');xlabel('n');ylabel('x_3_2(n)');axis([0,32,0,20])

运行结果：

由图可知，对信号x(n)的频谱函数

X(ejω)在[0，2π]上等间隔采样

N=16时， N点

IDFT[XN(k)]得到的序列正是原序列x(n)以16为周期进行周期延拓后的主值区序列：

xN(n)IDFT[XN(k)]N[x(niN)]RN(n)

i由于NM，频域采样定理，所以不存在时域混叠失真，因此。xN(n)与x(n)相同。

五、思考题：

如果序列x(n)的长度为M，希望得到其频谱X(e)在[0,2]上的N点等间隔采样，当N答：先对原序列x(n)以N为周期进行周期延拓后取主值区序列，

jxN(n)[x(niN)]RN(n)

i再计算N点DFT则得到N点频域采样：

XN(k)DFT[xN(n)]N =X(ej)六、 实验心得：

2kN , k0,1,2,,N1

通过本次实验，我深刻理解了时域采样定理以及频域采样定理，理解了X(k)的含义。