2022-2023学年山东省烟台市南部地区九年级（上）期中数学试
卷
1. 在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，𝑐𝑜𝑠𝐴=5，𝐴𝐵=10，则𝐴𝐶的长为( ) A. 3
B. 4
C. 6
D. 8
3
2. 如图，一个水晶球摆件，它是由一个长方体和一个球体组成的几何体，则其主视图是( ) A.
B.
C.
D.
3. 抛物线𝑦=3𝑥2−5的顶点坐标是( ) A. (0,−5) B. (0,0) C. (0,5) D. (3,−5)
4. 对于二次函数𝑦=𝑥2+2𝑥+3的图象，下列说法正确的是( )A. 开口向下
B. 对称轴是直线𝑥=−1 C. 图象与𝑥轴有两个交点
D. 当𝑥>−1时，𝑦的值随𝑥值的增大而减小
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5. 将抛物线𝑦=−5𝑥2向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得到的抛物线为
( )
A. 𝑦=−5(𝑥+1)2−2 B. 𝑦=−5(𝑥−1)2−2 C. 𝑦=−5(𝑥−1)2+2 D. 𝑦=−5(𝑥+1)2+2
6. 如图，小亮居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小亮由𝐴处径
直走到𝐵处，他在灯光照射下的影长𝑙与行走的路程𝑆之间的变化关系用图象刻画出来，大致图象是( )
A.
B.
C.
D.
7. 已知点𝐴(−3,𝑦1)，𝐵(2,𝑦2)，𝐶(3,𝑦3)在抛物线𝑦=2𝑥2−4𝑥+𝑐上，则𝑦1、𝑦2、𝑦3的大小
关系是( )
A. 𝑦1>𝑦2>𝑦3
B. 𝑦1>𝑦3>𝑦2 C. 𝑦3>𝑦2>𝑦1 D. 𝑦2>𝑦3>𝑦1
8. 在正方形网格中，△𝐴𝐵𝐶的位置如图所示，则sin∠𝐵𝐴𝐶的值为( )
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A. 5 B. 4 C. 5 D. 3
443
3
9. 已知抛物线𝑦=𝑎𝑥2+2𝑥+(𝑎−2)，𝑎是常数且𝑎<0，下列选项中可能是它大致图象的
是( )
A.
B.
C.
D.
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10. 已知二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)的图象如图所示有下列4个结论：①𝑎𝑏𝑐>0；
②𝑏<𝑎+𝑐；③4𝑎+2𝑏+𝑐>0；④𝑎+𝑏>𝑚(𝑎𝑚+𝑏)(𝑚≠1的实数)，其中正确结论的个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
11. 若𝑦=(𝑚−3)𝑥𝑚2−5𝑚+8+2𝑥−3是关于𝑥的二次函数，则𝑚的值是______． 12. △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴、∠𝐵都是锐角，若𝑠𝑖𝑛𝐴=√3，𝑐𝑜𝑠𝐵=2，则∠𝐶=______．
2
1
13. 如图所示的四个几何体中，正投影可能是四边形的几何体共有______个．
14. 一小球被抛出后，距离地面的高度ℎ(米)和飞行时间𝑡(秒)满足下面函数关系式ℎ=
−4(𝑡−1)2+6，则小球距离地面的最大高度是______米．
15. 如图，抛物线𝑦=𝑎𝑥2与双曲线𝑦=𝑥交于点(1,2)，则不等式𝑎𝑥2>𝑥的解集是______．
𝑘𝑘
16. 如图是一种机器零件的示意图，其中𝐶𝐸=1米，𝐵𝐹=√3米，则四边形𝐴𝐵𝐸𝐶的面积为
______米 2．
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17. 计算：√2𝑠𝑖𝑛45°+𝑐𝑜𝑠60°−2𝑐𝑜𝑠45°−𝑡𝑎𝑛45°．
2
18. 在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，𝐴𝐵=4，𝐴𝐶=√7．
(1)求𝐵𝐶的长； (2)求𝑡𝑎𝑛𝐴的值．
19. 如图，在路灯下，小明的身高如图中线段𝐴𝐵所示，他在地面上的影子如图中线段𝐴𝐶所
示．
(1)请你通过画图确定灯泡所在的位置．
(2)如果小明的身高𝐴𝐵=1.6𝑚，他的影子长𝐴𝐶=1.4𝑚，且他到路灯的距离𝐴𝐷=2.1𝑚，求灯泡的高．
20. 小尧用“描点法”画二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象，列表如下：
𝑥 𝑦 … … −4 5 −3 0 −2 −3 −1 −4 0 −3 1 0 2 −5 … … (1)由于粗心，小尧算错了其中的一个𝑦值，请你指出这个算错的𝑦值所对应的𝑥= ______ ； (2)在图中画出这个二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象； (3)当𝑦≥5时，𝑥的取值范围是______ ．
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21. 某公司研制出一种新颖的家用小电器，每件的生产成本为18元，经市场调研表明，按定
价40元出售，每日可销售20件．为了增加销量，每降价1元，日销售量可增加2件．在确保盈利的前提下，当降价多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
22. 在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为𝐴(1,−4)，且过点𝐵(3,0)．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与𝑥轴的另一个交点的坐标．
23. 为响应“创建全国文明城市”的号召，不断美化环境，我市拟修建一矩形绿地，绿地一
边靠墙，可利用的墙长不超过18米，另外三边由40米长的栅栏围成，设矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，垂直于墙的边𝐴𝐵为𝑥米，面积为𝑦平方米(如图)．
(1)求𝑦与𝑥之间的函数关系式，并求出自变量𝑥的取值范围； (2)求矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的最大面积．
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24. 市政府为实现5𝐺网络全覆盖，2021～2025年拟建设5𝐺基站三千个．如图，在斜坡𝐶𝐵上
有一建成的基站塔𝐴𝐵，斜坡𝐶𝐵的坡比为1：2.4.小芳在坡脚𝐶测得塔顶𝐴的仰角为45°，然后她沿坡面𝐶𝐵行走了13米到达𝐷处，在𝐷处测得塔顶𝐴的仰角为53°.(点𝐴、𝐵、𝐶、𝐷均在同一平面内，𝐶𝐸为地平线)(参考数据：𝑠𝑖𝑛53°≈，𝑐𝑜𝑠53°≈，𝑡𝑎𝑛53°≈) 553(1)求𝐷处的竖直高度； (2)求基站塔𝐴𝐵的高．
4
3
4
𝐵两点，𝐶的坐标分别为(1,0)，交𝑦轴于点𝐶，点𝐴，25. 已知抛物线𝑦=𝑎𝑥2+5𝑥+𝑐交𝑥轴于𝐴，(0,−4)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)①如图1，直线𝑙为抛物线的对称轴，请在直线𝑙上找一点𝑀，使得𝐴𝑀+𝐶𝑀最小，求出点𝑀的坐标；
②连接𝐴𝐶，求△𝐴𝐶𝑀的面积．
(3)如图2，𝑃是𝑥轴上方抛物线上的一动点，连接𝐵𝐶，𝐵𝑃，当∠𝑃𝐵𝐴=∠𝑃𝐵𝐶时，请直接写
2出直线𝐵𝑃的解析式．
1
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答案和解析
1.【答案】𝐶
【解析】解：在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，𝑐𝑜𝑠𝐴=，𝐴𝐵=10， ∴𝑐𝑜𝑠𝐴=
3𝐴𝐶𝐴𝐵35
=，
3
35∴𝐴𝐶=5𝐴𝐵=5×10=6， 故选：𝐶．
根据锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解题的关键．
2.【答案】𝐷
【解析】解：从正面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆， 故选：𝐷．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，掌握从正面看得到的图形是主视图是解决此题关键．
3.【答案】𝐴
【解析】解：∵抛物线解析式为𝑦=3𝑥2−5， ∴顶点坐标为(0,−5)， 故选：𝐴．
由二次函数解析式求解．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由顶点式可以直接写出顶点坐标．
4.【答案】𝐵
【解析】解：∵二次函数𝑦=𝑥2+2𝑥+3=(𝑥+1)2+2， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线𝑥=−1，顶点坐标为(−1,2)， ∴图象与𝑥轴没有交点，
∴当𝑥>−1时，𝑦随𝑥的增大而增大，
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故A、𝐶、𝐷选项错误；𝐵选项正确． 故选：𝐵．
根据二次函数顶点式的特点进行判断即可．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在𝑦=𝑎(𝑥−ℎ)2+𝑘中，对称轴为𝑥=ℎ，顶点坐标为(ℎ,𝑘)．
5.【答案】𝐷
【解析】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线𝑦=−5𝑥2向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：𝑦=−5(𝑥+1)2．
由“上加下减”的原则可知，将抛物线𝑦=−5(𝑥+1)2向上平移2个单位所得抛物线的解析式为：𝑦=−5(𝑥+1)2+2． 故选：𝐷．
根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
6.【答案】𝐵
【解析】解：∵小路的正中间有一路灯，晚上小亮由𝐴处径直走到𝐵处，他在灯光照射下的影长𝑙与行走的路程𝑆之间的变化关系应为：当小亮走到灯下以前：𝑙随𝑆的增大而减小；当小亮走到灯下以后再往前走时：𝑙随𝑆的增大而增大， ∴用图象刻画出来应为𝐵． 故选：𝐵．
根据中心投影的性质得出小亮在灯下走的过程中影长随路程之间的变化，进而得出符合要求的图象．
此题主要考查了函数图象以及中心投影的性质，得出𝑙随𝑆的变化规律是解决问题的关键．
7.【答案】𝐵
【解析】解：∵𝑦=2𝑥2−4𝑥+𝑐=2(𝑥−1)2+𝑐−2， ∴抛物线的对称轴为直线𝑥=1，
∵抛物线开口向上，点𝐶(3,𝑦3)到对称轴的距离比点𝐵(2,𝑦2)远，点𝐴(−3,𝑦1)到对称轴的距离比点𝐶(3,𝑦3)远，
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∴𝑦1>𝑦3>𝑦2． 故选B．
先配方得到抛物线的对称轴为直线𝑥=1，根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
8.【答案】𝐴
【解析】解：设小正方形的边长为1，作𝐶𝐷⊥𝐴𝐵的延长线于点𝐷． ∵在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐷中，∠𝐴𝐷𝐶=90°，𝐶𝐷=3，𝐴𝐶=√32+42=5 ∴sin∠𝐵𝐴𝐶=𝐴𝐶=5， 故选A．
sin∠𝐵𝐴𝐶的值可以转化为直角三角形的边的比的问题，因而过点𝐶作𝐶𝐷垂直于𝐴𝐵的延长线于点𝐷.在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐶中根据三角函数的定义求解．
本题考查了锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．也考查了勾股定理．
𝐶𝐷
3
9.【答案】𝐷
【解析】解：∵抛物线𝑦=𝑎𝑥2+2𝑥+(𝑎−2)，𝑎是常数且𝑎<0， ∴图象开口向下，𝑎−2<0， ∴图象与𝑦轴交于负半轴，排除𝐵、𝐶， ∵𝑎<0，𝑏=2，
∴抛物线对称轴在𝑦轴右侧，排除𝐴． 故选：𝐷．
𝑏的关系是解题关键．本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确把握图象对称轴位置与𝑎， 根据抛物线对称轴位置和𝑎，𝑏的关系以及利用图象开口方向与𝑎的关系，得出图象开口向下，对称轴经过𝑥轴正半轴，利用图象与𝑦轴交点和𝑐的符号，进而得出答案．
10.【答案】𝐶
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【解析】 【分析】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)的图象为一条抛物线，当𝑎<0，抛物线的开口向下，当𝑥=−时，函数值最大；抛物线与𝑦轴的交点坐标为(0,𝑐).由抛
2𝑎物线开口向下得到𝑎<0；由抛物线的对称轴为直线𝑥=−=1得到𝑏>0；由抛物线与𝑦轴的交
2𝑎𝑦<0，点在𝑥轴的上方得到𝑐>0，则𝑎𝑏𝑐<0；观察图象得到当𝑥=−1时，即𝑎−𝑏+𝑐<0；当𝑥=2时，𝑦>0，即4𝑎+2𝑏+𝑐>0；根据二次函数的最值问题得到𝑥=1时，𝑦有最大值𝑎+𝑏+𝑐，则𝑎+𝑏+𝑐>𝑎𝑚2+𝑏𝑚+𝑐(𝑚≠1)，变形得到𝑎+𝑏>𝑚(𝑎𝑚+𝑏)． 【解答】
解：∵抛物线开口向下， ∴𝑎<0；
∵抛物线的对称轴为直线𝑥=−=1，
2𝑎∴𝑏>0；
∵抛物线与𝑦轴的交点在𝑥轴的上方， ∴𝑐>0，
∴𝑎𝑏𝑐<0，所以①错误；
当𝑥=−1时，𝑦<0，即𝑎−𝑏+𝑐<0， ∴𝑏>𝑎+𝑐，所以②不正确；
当𝑥=2时，𝑦>0，即4𝑎+2𝑏+𝑐>0，所以③正确； ∵抛物线的对称轴为直线𝑥=1， ∴𝑥=1时，𝑦有最大值𝑎+𝑏+𝑐， ∴𝑎+𝑏+𝑐>𝑎𝑚2+𝑏𝑚+𝑐(𝑚≠1)， ∴𝑎+𝑏>𝑚(𝑎𝑚+𝑏)，所以④正确． 故选：𝐶．
𝑏
𝑏
𝑏
11.【答案】2
【解析】解：∵函数𝑦=(𝑚−3)𝑥𝑚
2−5𝑚+8
+2𝑥−3是关于𝑥的二次函数，
∴𝑚2−5𝑚+8=2且𝑚−3≠0， 解得𝑚=2， 故答案为：2．
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根据二次函数的定义求解．
本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是注意二次项的系数不能为0．
12.【答案】60°
【解析】解：∵△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴、∠𝐵都是锐角𝑠𝑖𝑛𝐴=∴∠𝐴=∠𝐵=60°．
∴∠𝐶=180°−∠𝐴−∠𝐵=180°−60°−60°=60°． 故答案为：60°．
∠𝐵的度数，先根据特殊角的三角函数值求出∠𝐴、再根据三角形内角和定理求出∠𝐶即可作出判断． 本题考查的是特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，比较简单．
√32，𝑐𝑜𝑠𝐵=，
1
2
13.【答案】2
【解析】解：因为圆柱的正投影是矩形，圆锥的正投影是等腰三角形，球的正投影是圆，正方体的正投影是正方形，所以，正投影是四边形的几何体是圆柱和正方体，共2个， 故答案为：2．
四个几何体的正投影：圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，正方体是正方形，由此可确定答案．
本题主要考查三视图的左视图的知识；考查了学生的空间想象能力，属于基础题．
14.【答案】6
【解析】解：由ℎ=−4(𝑡−1)2+6知，当𝑡=1时，ℎ最大=6， 即小球距离地面的最大高度是6米， 故答案为：6．
根据二次函数的性质可得．
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
15.【答案】𝑥<0或𝑥>1
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【解析】解：由图可知，当𝑥<0或𝑥>1时抛物线𝑦=𝑎𝑥2在反比例函数𝑦=图象的上方， 当0<𝑥<1时，抛物线𝑦=𝑎𝑥2在反比例函数𝑦=图象的下方， ∴不等式𝑎𝑥2>的解集是𝑥<0或𝑥>1． 故答案为：𝑥<0或𝑥>1． 结合函数图象即可得出解集．
本题考查了二次函数与反比例函数的图象，解题的关键是熟知函数图象与不等式的关系．
𝑘𝑥
𝑘𝑥
𝑘𝑥
16.【答案】3√3−3
2
【解析】解：作𝐴𝐺⊥𝐶𝐹于点𝐺，
由题意得𝐴𝐵⊥𝐵𝐹，𝐶𝐹⊥𝐵𝐹，𝐶𝐷⊥𝐶𝐹，𝐸𝐻⊥𝐶𝐹， ∴𝐴𝐵//𝐶𝐸，𝐶𝐷//𝐸𝐻//𝐴𝐺//𝐵𝐹， ∴四边形𝐴𝐵𝐸𝐶是梯形， ∵∠𝐴𝐺𝐹=∠𝐹=∠𝐵=90°， ∴四边形𝐴𝐵𝐹𝐺是矩形，
∴𝐴𝐺=𝐵𝐹=√3米，𝐴𝐵=𝐺𝐹， ∵∠𝐸𝐵𝐹=∠𝐵𝐸𝐻=30°， ∴
𝐸𝐹𝐵𝐹
=tan∠𝐸𝐵𝐹=𝑡𝑎𝑛30°=
√3
√3
3
，
∴𝐸𝐹=√3×3=1(米)，
∵∠𝐴𝐺𝐶=90°，∠𝐺𝐴𝐶=∠𝐴𝐶𝐷=45°， ∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵𝐶𝐴=45°， ∴𝐶𝐺=𝐴𝐺=√3米， ∵𝐶𝐸=1米，
∴𝐴𝐵=𝐺𝐹=𝐶𝐸+𝐸𝐹−𝐶𝐺=1+1−√3=(2−√3)米， ∴𝑆四边形𝐴𝐵𝐸𝐶=2𝐵𝐹(𝐴𝐵+𝐶𝐸)=2×√3×(2−√3+1)=故答案为：3√3−3．
21
1
3√3−3
(米 2)， 2
作𝐴𝐺⊥𝐶𝐹于点𝐺，由题意得𝐴𝐵//𝐶𝐸，𝐶𝐷//𝐸𝐻//𝐴𝐺//𝐵𝐹，所以四边形𝐴𝐵𝐸𝐶是梯形，∠𝐸𝐵𝐹=∠𝐵𝐸𝐻=30°，再证明四边形𝐴𝐵𝐹𝐺是矩形，则𝐴𝐺=𝐵𝐹=√3米，由𝐸𝐹=𝑡𝑎𝑛30°=√3，可求得𝐸𝐹=
𝐵𝐹
3
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1米，再证明∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵𝐶𝐴=45°，则𝐶𝐺=𝐴𝐺=√3米，即可求得𝐴𝐵=𝐺𝐹=𝐶𝐸+𝐸𝐹−𝐶𝐺=(2−√3)米，则𝑆四边形𝐴𝐵𝐸𝐶=2𝐵𝐹(𝐴𝐵+𝐶𝐸)=
1
3√3−32
米 ，于是得到问题的答案． 2
此题重点考查锐角三角函数与解直角三角形、矩形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：原式=√2×√2+1−2×√2−1
2222=2+2−√2−1 =−√2．
【解析】代入特殊角三角函数值，然后先算乘法，再算加减．
本题考查二次根式的混合运算，特殊角三角函数值，掌握二次根式混合运算的运算顺序和计算法则，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
11
18.【答案】解：(1)在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，𝐴𝐵=4，𝐴𝐶=√7，
∴𝐵𝐶=√𝐴𝐵2−𝐴𝐶2=√42−(√7)2=3；
(2)在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，𝐵𝐶=3，𝐴𝐶=√7， ∴𝑡𝑎𝑛𝐴=𝐴𝐶=
𝐵𝐶
3√7=7．
3√7【解析】(1)利用勾股定理即可求解； (2)根据正切函数的定义即可求解．
本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理与锐角三角函数定义是解题的关键．
19.【答案】(1)解：如图，点𝑂为灯泡所在的位置，
线段𝐹𝐻为小亮在灯光下形成的影子；
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(2)解：由已知可得，∴𝐷𝐸=1.4+2.1， ∴𝑂𝐷=4𝑚． ∴灯泡的高为4𝑚．
【解析】(1)连接𝐶𝐵延长𝐶𝐵交𝐷𝐸于𝑂，点𝑂即为所求．连接𝑂𝐺，延长𝑂𝐺交𝐷𝐹于𝐻.线段𝐹𝐻即为所求； (2)根据
𝐴𝐵𝐷𝐸1.6
1.4
𝐴𝐵𝐷𝐸=𝐶𝐷，
𝐶𝐴
=
𝐶𝐴
，构建方程，可得结论． 𝐶𝐷本题考查了作图−应用与设计作图，中心投影、解题的关键是正确画出图形，记住物长与影长的比的定值，属于基础题，中考常考题型．
20.【答案】解：(1)2；
(2)画出这个二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象如图：
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(3)𝑥≤−4或𝑥≥2．
【解析】解：(1)从表格可以看出，当𝑥=−2或𝑥=0时，𝑦=−3， 可以判断(−2,−3)，(0,−3)是抛物线上的两个对称点， (−1,−4)就是顶点，设抛物线顶点式𝑦=𝑎(𝑥+1)2−4， 把(0,−3)代入解析式，−3=𝑎−4，解得𝑎=1， 所以，抛物线解析式为𝑦=(𝑥+1)2−4， 当𝑥=2时，𝑦=(2+1)2−4=5， 当𝑥=−4时，𝑦=(−4+1)2−4=5， 所以这个错算的𝑦值所对应的𝑥=2， 故答案为：2； (2)见答案；
(3)由图象可知：当𝑦≥5时，𝑥的取值范围是𝑥≤−4或𝑥≥2． 故答案为：𝑥≤−4或𝑥≥2．
(1)认真观察表格中的数据，根据抛物线的对称性，纵坐标相等的两个点，是抛物线上的两个对称点，从而寻找对称轴和顶点坐标，设抛物线的顶点式，求解析式，再逐一检验； (2)利用描点、连线，画出函数图象即可； (3)根据图象即可求得．
本题考查了二次函数的图象和性质，找对称点，顶点坐标及对称轴，与𝑥轴(𝑦轴)的交点，确定二
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次函数的解析式是解题的关键
21.【答案】解：设每件降价𝑥元，每天售出商品的利润为𝑦元，
𝑦=(40−18−𝑥)(20+2𝑥) =−2𝑥2+24𝑥+440 =−2(𝑥2−12𝑥−220)
=−2(𝑥−6)2+512， 当𝑥=6时，𝑦有最大值 512，
∴当降价6元时，每天的利润最大，最大利润是512元．
【解析】首先根据题意得出单价=40−18−𝑥，销售量=20+2𝑥，根据利润=销售量×(单价−成本)，列出函数关系式，再利用配方法求出函数的极值，并求出此时的销售单价．
本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是将实际问题转化为二次函数求解，注意配方法求二次函数最值的应用．
22.【答案】解：(1)∵二次函数图象的顶点为𝐴(1,−4)，
∴设二次函数解析式为𝑦=𝑎(𝑥−1)2−4， 把点𝐵(3,0)代入二次函数解析式，得： 0=4𝑎−4，解得𝑎=1，
∴二次函数解析式为𝑦=(𝑥−1)2−4，即𝑦=𝑥2−2𝑥−3；
(2)令𝑦=0，得𝑥2−2𝑥−3=0，解方程，得𝑥1=3，𝑥2=−1． ∴二次函数图象与𝑥轴的两个交点坐标分别为(3,0)和(−1,0)， ∴二次函数图象上的点(−1,0)向右平移1个单位后经过坐标原点． 故平移后所得图象与𝑥轴的另一个交点坐标为(4,0)． 【解析】(1)有顶点就用顶点式来求二次函数的解析式；
(2)由于是向右平移，可让二次函数的𝑦的值为0，得到相应的两个𝑥值，算出负值相对于原点的距离，而后让较大的值也加上距离即可．
考查用待定系数法来求函数解析式、坐标系里点的平移的特点．
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23.【答案】解：(1)𝑦=𝑥(40−2𝑥)=−2𝑥2+40𝑥，
∵0<40−2𝑥≤18， ∴11≤𝑥<20．
∴𝑦与𝑥之间的函数关系式为𝑦=−2𝑥2+40𝑥， 自变量𝑥的取值范围为11≤𝑥<20．
(2)由抛物线𝑦=−2𝑥2+40𝑥=−2(𝑥−10)2+200可知， 其顶点坐标为(10,200)，对称轴为直线𝑥=10，
∵𝑎=−2<0，𝑦的值随𝑥的值的增大而减小， 抛物线𝑦=−2𝑥2+40𝑥开口向下，在对称轴的右侧，∴当𝑥=11时，𝑦有最大值，𝑦最大值=198， ∴矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积最大为198平方米．
【解析】(1)根据矩形的面积公式列出𝑦与𝑥之间的函数关系式，并由0<40−2𝑥≤18求出自变量𝑥的取值范围即可；
(2)将(1)中所得的二次函数解析式写出顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
此题主要考查了二次函数的应用，解题关键是理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质．
(1)如图，𝐷分别作𝐴𝐵的垂线，𝐹，【答案】解：过点𝐶、交𝐴𝐵的延长线于点𝐸、过点𝐷作𝐷𝑀⊥𝐶𝐸，24.垂足为𝑀．
∵斜坡𝐶𝐵的坡比为1：2.4， ∴𝐶𝑀=2.4， 即
𝐷𝑀𝐶𝑀𝐷𝑀
1
=12，
5
设𝐷𝑀=5𝑘米，则𝐶𝑀=12𝑘米，
在𝑅𝑡△𝐶𝐷𝑀中，∵𝐶𝐷=13米，由勾股定理得， 𝐶𝑀2+𝐷𝑀2=𝐶𝐷2，
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即(5𝑘)2+(12𝑘)2=132， ∴解得𝑘=1(负值舍去)， ∴𝐷𝑀=5(米)，𝐶𝑀=12(米)． ∴𝐷处的竖直高度为5米；
(2)设𝐷𝐹=12𝑎米，则𝑀𝐸=12𝑎米，𝐵𝐹=5𝑎米， ∵∠𝐴𝐶𝐸=45°， ∴∠𝐶𝐴𝐸=∠𝐴𝐶𝐸=45°， ∴𝐴𝐸=𝐶𝐸=(12+12𝑎)米，
∴𝐴𝐹=𝐴𝐸−𝐸𝐹=𝐴𝐸−𝐷𝑀=12+12𝑎−5=(7+12𝑎)米． 在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐸中，
∵𝐷𝐹=12𝑎米，𝐴𝐹=(7+12𝑎)米，∠𝐴𝐷𝐹=53°， ∴tan∠𝐴𝐷𝐹=∴解得𝑎=
∴𝐴𝐹=7+12𝑎=7+12×4=28(米)， 𝐵𝐹=5𝑎=5×=
74
35
(米)， 4
3547
74
𝐴𝐹𝐷𝐹=
7+12𝑎12𝑎=，
43∴𝐴𝐵=𝐴𝐹−𝐵𝐹=28−
774=
77
(米)． 4答：基站塔𝐴𝐵的高为米．
【解析】(1)通过作辅助线，利用斜坡𝐶𝐵的坡度为𝑖=1：2.4，𝐶𝐷=13，由勾股定理可求出答案； (2)设出𝐷𝐸的长，根据坡度表示𝐵𝐸，进而表示出𝐶𝐹，由于△𝐴𝐶𝐹是等腰直角三角形，可表示𝐵𝐸，在△𝐴𝐷𝐸中由锐角三角函数可列方程求出𝐷𝐸，进而求出𝐴𝐵．
本题考查解直角三角形，通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算是常用的方法．
25.【答案】解：(1)将(1,0)，(0,−4)代入𝑦=𝑎𝑥2+5𝑥+𝑐得：
0=𝑎+5+𝑐{， −4=𝑐𝑎=−1解得{，
𝑐=−4
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∴抛物线的解析式为𝑦=−𝑥2+5𝑥−4； (2)①连接𝐵𝐶交𝑙于𝑀，如图：
∵直线𝑙为抛物线𝑦=−𝑥2+5𝑥−4的对称轴， ∴𝐴𝑀=𝐵𝑀，直线𝑙为𝑥=， ∴𝐴𝑀+𝐶𝑀=𝐵𝑀+𝐶𝑀，
而此时𝐵、𝑀、𝐶共线，故此时𝐴𝑀+𝐶𝑀最小， 在𝑦=−𝑥2+5𝑥−4中，令𝑦=0得𝑥=1或𝑥=4， ∴𝐵(4,0)，
由𝐵(4,0)，𝐶(0,−4)得直线𝐵𝐶为𝑦=𝑥−4， 在𝑦=𝑥−4中令𝑥=得𝑦=−，
2∴𝑀(2,−2)；
②∵𝐴(1,0)，𝐵(4,0)， ∴𝐴𝐵=3， ∵𝐶(0,−4)，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=2𝐴𝐵⋅|𝑦𝐶|=2×3×4=6， ∵𝑀(2,−2)，
∴𝑆△𝐴𝐵𝑀=2𝐴𝐵⋅|𝑦𝑀|=2×3×2=4， ∴𝑆△𝐴𝐶𝑀=𝑆△𝐴𝐵𝐶−𝑆△𝐴𝐵𝑀=6−4=4； (3)过𝑃作𝑃𝐻⊥𝐴𝐵于𝐻，如图：
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1
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31
1
5
3
52352
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∵∠𝑃𝐵𝐴=∠𝑃𝐵𝐶， ∴∠𝑃𝐵𝐴=∠𝐴𝐵𝐶， ∵𝐵(4,0)，𝐶(0,−4)， ∴𝑂𝐵=𝑂𝐶，
∴∠𝑃𝐵𝐴=∠𝐴𝐵𝐶=45°， ∴𝑃𝐻=𝐵𝐻，
设𝑃𝐻=𝐵𝐻=𝑡，则𝑂𝐻=4−𝑡， ∴𝑃(4−𝑡,𝑡)，
把𝑃(4−𝑡,𝑡)代入𝑦=−𝑥2+5𝑥−4得： 𝑡=−(4−𝑡)2+5(4−𝑡)−4，
解得𝑡=0(此时与𝐵重合，舍去)或𝑡=2， ∴𝑃(2,2)．
【解析】(1)将(1,0)，(0,−4)代入𝑦=𝑎𝑥2+5𝑥+𝑐，由待定系数法即得抛物线的解析式为𝑦=−𝑥2+5𝑥−4；
(2)①连接𝐵𝐶交𝑙于𝑀，由𝑦=−𝑥2+5𝑥−4得𝐵(4,0)，直线𝐵𝐶为𝑦=𝑥−4，在𝑦=𝑥−4中令𝑥=2即得𝑀(,−)；
22②根据𝐴(1,0)，𝐵(4,0)得𝐴𝐵=3，可得𝑆△𝐴𝐵𝐶=2𝐴𝐵⋅|𝑦𝐶|=6，𝑆△𝐴𝐵𝑀=2𝐴𝐵⋅|𝑦𝑀|=4，即得𝑆△𝐴𝐶𝑀=𝑆△𝐴𝐵𝐶−𝑆△𝐴𝐵𝑀=4；
(3)过𝑃作𝑃𝐻⊥𝐴𝐵于𝐻，由∠𝑃𝐵𝐴=∠𝑃𝐵𝐶，得∠𝑃𝐵𝐴=∠𝐴𝐵𝐶=45°，设𝑃𝐻=𝐵𝐻=𝑡，则𝑃(4−
2𝑡,𝑡)，即有𝑡=−(4−𝑡)2+5(4−𝑡)−4，解得𝑃(2,2)．
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15
1
1
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5
3
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本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、等腰直角三角形等知识，解题的关键是用含𝑡的代数式表示𝑃的坐标及列方程解决问题．
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