幂指函数求极限

文章编号：1007-9831（2019）05-0057-03

幂指函数求极限

马凤丽1，徐为１，马茜2

（1. 陆军工程大学 基础部，江苏 南京 211101；2. 陆军军事交通学院 基础部，天津 300161）

摘要：在函数极限的计算中，有关幂指函数极限计算的题目类型多、难度大且灵活多变，总结了一些幂指函数极限的计算方法，并通过例题说明这些方法的应用性. 关键词：幂指函数；极限；连续性

中图分类号：O172∶G642.0 文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2019.05.014

The calculation of the power exponent function limit

MA Feng-li，XU Wei，MA Qian

（1. Department of General Education，Army Engineering University of PLA，Nanjing 211101，China； 2. Department of General Education，Army Military Transportation University of PLA，Tianjin 300161，China）

1

1

2

Abstract：In the calculation of the function limit，the subjects of calculation about power exponent function are various，difficult and flexible．Mainly summarizes the methods of calculation of power exponential function limit，and explains the practicability of these methods by some examples. Key words：power exponential function；limit；continuity

幂指函数的运算题目类型多，而且技巧性强、灵活多变，对于幂指函数求极限问题，许多学生不能对各种题型加以区分，找不到快速正确的解题方法，影响做题的正确性．分析发现，产生这一问题的原因是许多学生对幂指函数的概念和定理理解不深刻，把幂指函数与幂函数、指数函数混为一谈，对题目中出现的题型及解题方法没有整理总结找到其中的解题技巧．因此，对于幂指函数极限的计算问题，有必要给出幂指函数的定义，讨论幂指函数极限的类型，并对解题方法进行整理和总结，让更多的学习者更好地认识幂指函数，增强对求极限的多种技能技巧的理解和合理运用求极限技巧的能力，从而提高解题的正确性及效率，提高分析问题和解决问题的能力.

幂指函数结构极限式的极限计算是函数与数列极限计算中频繁出现的一类问题. 定义 底数与指数中都含有变量的函数，称为幂指函数，记为y=(f(x))[1}

g(x)

, f(x)>0且f(x)¹1.

幂指函数极限的求法主要包括

[2-6]

：

æ1ö

（1）利用重要极限limç1+÷=e进行计算.

x®¥èxø

x

（2）若limf(x)=a>0且a¹1，limg(x)=b，则lim

x®x0(¥)

x®x0(¥)

0

(f(x))x®x(¥)

g(x)

g(x)

=ab.

x®x0(¥)

（3）利用对数恒等式y=(f(x))

收稿日期：2019-02-19

g(x)

=eg(x)×lnf(x)，则lim

0(f(x))x®x(¥)

=limeg(x)×ln f(x)=e

x®x0(¥)

limg(x)×ln f(x)

.

基金项目：陆军工程大学基础部教育教学研究课题——遵循新型陆军人才成长规律，探索高等数学实践性教学 作者简介：马凤丽（1981-），女，山东临沂人，讲师，硕士，从事编码理论研究．E-mail：mafengli1981@163.com

58 高 师 理 科 学 刊 第39卷

æp1na1+p2na2+L+pmnam[7]

例1 设ak, pk>0, k=1, 2, L, m, p=åpk，计算limçn®¥çp1+p2+Lpmk=1è

m

ö÷. ÷ø

n

æp1na1+p2na2+L+pmnam 解 数列ççp1+p2+Lpmè

ö÷为幂指函数结构，考虑对数函数法求极限．设原极限为A，则÷ø

n

A=lime

n®¥

æpna+pna+L+pmnamö÷nlnç1122ç÷p1+p2+Lpmèø

，由函数ex的连续性，转换为求极限

n

æp1na1+p2na2+L+pmnamöæp1na1+p2na2+L+pmnam-pö÷=limlnç1+÷=B=limnlnçn®¥n®¥ç÷ç÷p+p+Lpp12mèøèøé

p1na1+p2na2+L+pmnam-pöpêæ

÷ lnlimêç1+

n®¥ç÷pêèø

ë

1na1+p2npa2+L+pmnam-pùúúúû

p1na1+p2na2+L+pmnam-ppn

n 因为limlimnp2

p1na1+p2na2+L+pmnam-ppnn®¥

=lim

np1

(na1-1+np2

)(na2-1+L+npm

pln(am)p

)((am-1

n®¥

)=limnp(1

n®¥

m

na1-1p

)+

(na2-1p

n®¥

)+L+limnp(m

n®¥

nam-1p

)=pln(a)+pln(a)+L+p

1

1

2

2

m

pp

1

=lna1pa2pLamp，所以A=eB= p

1

2

)e

1

lna1p1a2p2Lampmp

()=a1a2Lam

p1

p2

(pm

) b1p

．

例2 设f(x)为[a, b]上连续函数，f(x)>0, g(x)在[a, b]上可积且恒大于或者恒小于0，证明：

[8]

g(x)nf(x)dxò alim bn®¥ò ag(x)dx bnò

=e

b

a

g(x)ln(f(x))dx

ò

a

g(x)dx

．

证明 由于f(x)>0且为连续函数，所以由闭区间上连续函数的最值定理有0n®¥函数法.

基于函数ex的连续性，极限limò a bng(x)f(x)dxnn®¥ò ag(x)dx bæ bg(x)nf(x)dxöò÷． 可以转换为计算极限B=limnlnç a bçn®¥

çòg(x)dx÷÷

aèø

b b b

æ bg(x)nf(x)dx- bg(x)dxönf(x)dx-g(x)nnf(x)-1dxg(x)g(x)dxòòòòò a a a a aç÷由于B=limnln+1=limn=lim= b b bç÷n®¥n®¥n®¥ç÷ò ag(x)dxò ag(x)dxò ag(x)dxèøn®¥ a

()limòg(x)n

b

(nf(x)-1dx

)ò a

b

g(x)dx

，问题转换为证明limòg(x)n

n®¥ a

b

(nf(x)-1dx=òg(x)ln(f(x))dx．

a

) b

由于ax-1:xln(a)(x®0)，可得limn

n®¥

(n1

f(x)-1=limn×ln(f(x))=ln( f(x))．

n®¥n

)由数列极限的定义，对于任意e>0，存在N>0，当n>N时，恒有n当n>N时，有

(nf(x)-1-lnf(x))ò a

b

g(x)n

(nf(x)-1dx-òg(x)ln(f(x))dx=

a

b

) b

nnò ag(x)éë( b

f(x)-1-ln(f(x))ùdx£

û

b

)ò a

b

g(x)n

(nf(x)-1-ln(f(x))dx£eòg(x)dx，故由数列极限的定义可知，limòg(x)n

a

n®¥ a

)(nf(x)-1dx=

)第5期 马凤丽，等：幂指函数求极限 59

ò ag(x)ln(f(x))dx，所以nlim®¥ b

ò a bng(x)f(x)dxnò ag(x)dx b=e

B

g(x)ln(f(x))dxò a

，其中：B=，结论得证． b

ò ag(x)dx

n

b

ææ1ööçfç÷÷

n[9]

例3 设f(0)>0，f¢(0)存在，求limçèø÷．

n®¥çf(0)÷

ç÷èø

æ

ç

解 limç

n®¥ççèæöæ1ööæ1ö

fç÷÷f-f(0)ç÷ç÷ènø÷=limç1+ènø÷

n®¥f(0)÷çf(0)÷÷ç÷øèø

n

æ1ö

fç÷-f(0)

f(0)ènø

1æ1öf(0)fç÷-f(0)nènø

æöæ1ö

f-f(0)ç÷çn÷èøç÷，因为lim1+

n®¥çf(0)÷

ç÷èø

n

f(0)

1æö

fç÷-f(0)ènø

根据=e，

æ1ö

fç÷-f(0)

1n

导数定义，limèø=lim

n®¥n®¥1f(0)f(0)

n

[10]

æ1ööfç÷÷f¢(0)

ènø÷=ef(0)． f(0)÷

÷ø

在求解幂指函数的极限时，题目中不可能只会用到一种计算方法，计算过程中可能会用到多种方法，

ææ1ö

fç÷-f(0)çf¢(0)ènø，所以limç=

n®¥ç1f(0)

çnè

如等价无穷小代换、洛必达法则和极限的四则运算等，在求解时应该对每一步仔细分析，掌握计算的技

巧，找到正确快速的解题方法． 参考文献：

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