最新初中数学方程与不等式之分式方程难题汇编及答案(1)

一、选择题

1．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的吋间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间. 设规定时间为x天，则可列方程为（ ）. A．C．

9009002 x1x3B．

9009002 x1x390090090090022 D．x1x3x1x3【答案】A 【解析】 【分析】

设规定时间为x天，得到慢马和快马所需要的时间，根据速度关系即可列出方程.

【详解】

设规定时间为x天，则慢马的时间为（x+1）天，快马的时间是（x-3）天， ∵快马的速度是慢马的2倍，

9009002， x1x3故选：A. 【点睛】

∴

此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到题中的等量关系即可列方程.

2．若数a使关于x的分式方程

ax23有正数解，且使关于y的不等式组x11x2yay1有解，则所有符合条件的整数a的个数为（ ） 1ya„42A．1 【答案】B 【解析】 【分析】

根据分式方程的解为正数即可得出a>-1且a1，根据不等式组有解，即可得：a<3，找出所有的整数a的个数为2． 【详解】 解方程

B．2

C．3

D．4

ax23，得： x11xa1x，

2∵分式方程的解为正数， ∴a1>0，即a>-1， 又x1，

a11，a1， 2∴a>-1且a1，

∴

2yay1∵关于y的不等式组1有解，

ya„42∴a-1综上所述，a的取值范围是-1本题考查了根据分式方程解的范围求参数的取值范围，不等式组的求解，找到整数解的个数，掌握分式方程的解法和不等式组的解法是解题的关键．

3．从﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3，4，5这九个数中，随机抽取一个数，记为a，则数

12x4a212a使关于x的不等式组至少有四个整数解，且关于x的分式方程

2x1x23ax2＝1有非负整数解的概率是（ ） 3xx3A．

2 9B．

1 3C．

4 9D．

5 9【答案】C 【解析】 【分析】

先解出不等式组，找出满足条件的a的值，然后解分式方程，找出满足非负整数解的a的值，然后利用同时满足不等式和分式方程的a的个数除以总数即可求出概率． 【详解】 解不等式组得：xa ， x7由不等式组至少有四个整数解，得到a≥﹣3， ∴a的值可能为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3，4，5， 分式方程去分母得：﹣a﹣x+2＝x﹣3，

解得：x＝

5a ， 2∵分式方程有非负整数解， ∴a＝5、3、1、﹣3，

则这9个数中所有满足条件的a的值有4个， ∴P＝

4 9故选：C． 【点睛】

本题主要考查解一元一次不等式组，分式方程的非负整数解，随机事件的概率，掌握概率公式是解题的关键．

4．某医疗器械公司接到400件医疗器械的订单，由于生产线系统升级，实际每月生产能力比原计划提高了30%，结果比原计划提前4个月完成交货．设每月原计划生产的医疗器械有x件，则下列方程正确的是（ ） A．C．

400400＝4 x(130%)xB．D．

400400＝4

(130%)xx4004004

(130%)xx400400＝4 x(130%)x【答案】A 【解析】 【分析】

根据“原计划所用时间-实际所用时间=4”可得方程． 【详解】

设每月原计划生产的医疗器械有x件，

4004004根据题意，得：x130%x

故选A． 【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．

5．已知关于x的分式方程A．2k0 【答案】B 【解析】 【分析】

先用k表示x，然后根据x为正数列出不等式，即可求出答案.

xk2的解为正数，则k的取值范围为（ ） x11xD．k2且k1

B．k2且k1 C．k2

【详解】 解：Qxk2， x11xxk2， x1x2k，

Q该分式方程有解，

2k1， k1， Qx>0， 2k0， k2，

k2且k1， 故选：B． 【点睛】

本题考查的是分式方程，熟练掌握分式方程是解题的关键.

6．甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与做60个所用的时间相等．设甲每小时做x个零件，下面所列方程正确的是（ ）

9060 xx6【答案】A 【解析】

A．

B．

9060 xx6C．

9060 x6xD．

9060 x6x解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x﹣6）个零件，由题意得：选A．

9060．故xx6

7．甲做480个零件与乙做360个零件所用的时间相同，已知两人每天共做140个零件，若设甲每天做x个零件，则可以列出方程为（ ） A．

480360 x140xB．

480480

140xxC．

480360360480140 D．140 xxxx【答案】A 【解析】 【分析】

设甲每天做x个零件，根据甲做480个零件与乙做360个零件所用的时间相同，列出方程即可． 【详解】

解：设甲每天做x个零件，根据题意得：

480360， x140x故选：A． 【点睛】

此题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的等量关系为：工作时间＝工作总量÷工作效率．

8．若关于x的方程A．-4 【答案】D 【解析】 【分析】

增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．让最简公分母x-4=0，得到x=4．再将x=4代入去分母后的方程即可求出a=4. 【详解】

解：由分式方程的最简公分母是x-4， ∵关于x的方程∴x-4=0，

∴分式方程的增根是x=4．

xa2有增根，则a的值为（ ） x4x4B．2

C．0

D．4

xa2有增根， x4x4xa2去分母得x=2(x-4)+a, x4x4代入x=4得a=4 故选D． 【点睛】

关于x的方程

本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行： ①让最简公分母为0确定增根； ②化分式方程为整式方程；

③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

9．解分式方程A．x=\"2\" 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】

解：去分母得：1﹣x+2x﹣4=﹣1， 解得：x=2，

经检验x=2是增根，分式方程无解．

1x12的结果是（ ） x22xB．x=\"3\"

C．x=\"4\"

D．无解

故选D．

考点：解分式方程．

10．已知关于x的分式方程A．m1 且m2 【答案】A 【解析】 【分析】

分式方程去分母转化为整式方程(m-2)x=-2，由分式方程有解可知m-2≠0，最简公分母x-2≠0，求出x的值，进一步求出m的取值即可. 【详解】

13mx2有解,则m应满足的条件是（ ） x22xC．m1或m2

D．m1或m2

B．m2

13mx2， x22x去分母得，1-（3-mx）=2(x-2) 整理得，（m-2）x=-2

13mx2有解， x22x∴m-2≠0，即m≠2，

2 ∴xm2∵分式方程

13mx2有解， x22x∴x-2≠0，即x≠2，

22，解得，m≠1， ∴

m2所以，m的取值为：m1 且m2 故选：A. 【点睛】

∵分式方程

此题主要考查了分式方程的求解，关键是会解出方程的解，注意隐含条件.

11．对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：ab四则运算．若（﹣）3x＝2x，则x的值为（ ） A．-2 【答案】B 【解析】 【分析】

利用题中的新定义变形已知等式，然后解方程即可．

B．-1

C．1

D．2

3，这里等式右边是通常的

a2ab【详解】

33，去分母得：12﹣6x=27+9x，解得：x=﹣1，

93x42x经检验x=﹣1是分式方程的解． 故选B． 【点睛】

本题考查了新定义和解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

根据题中的新定义化简得：

12．某车间加工12个零件后，采用新工艺，工效比原来提高了50%，这样加工同样多的零件就少用1小时，那么采用新工艺前每小时加工的零件数为 （ ） A．3个 【答案】B 【解析】 【分析】

根据题意，找出题目的等量关系，列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】

解：根据题意，得：

B．4个

C．5个

D．6个

12121， xx(150%)解得：x4；

经检验，x4是原分式方程的解.

∴那么采用新工艺前每小时加工的零件数为4个； 故选：B． 【点睛】

此题主要考查了分式方程的应用，其中找出方程的关键语，找出数量关系是解题的关键．注意解分式方程需要检验．

3xk013．若数k使关于x的不等式组xx1只有4个整数解，且使关于y的分式方程

123kyk+1＝的解为正数，则符合条件的所有整数k的积为（ ）

y1y1A．2 【答案】A 【解析】 【分析】

解不等式组求得其解集，根据不等式组只有4个整数解得出k的取值范围，解分式方程得出y=-2k+1，由方程的解为整数且分式有意义得出k的取值范围，综合两者所求最终确定k的范围，据此可得答案．

B．0

C．﹣3

D．﹣6

【详解】

3xk0k解：解不等式组xx1得：﹣3≤x≤﹣，

1323∵不等式组只有4个整数解， ∴0≤﹣

k＜1， 3解得：﹣3＜k≤0， 解分式方程

kyk+1＝得：y＝﹣2k+1，

y1y1∵分式方程的解为正数， ∴﹣2k+1＞0且﹣2k+1≠1， 解得：k＜

1且k≠0， 2综上，k的取值范围为﹣3＜k＜0，

则符合条件的所有整数k的积为﹣2×（﹣1）＝2， 故选A． 【点睛】

本题考查了解一元一次不等式组、分式方程的解，有难度，注意分式方程中的解要满足分母不为0的情况．

14．九年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了25分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的3倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（ ）

101025 x3x【答案】D 【解析】 【分析】

A．

B．

101025 3xxC．

10105 3xx12D．

10105 x3x12设骑车学生的速度为x千米/小时，则汽车的速度为3x,先分别表示出骑自行车学生和乘汽车学生所用时间，然后根据题中所给的等量关系,即可列出方程． 【详解】

解：设骑车学生的速度为x千米/小时，则汽车的速度为3x

10105 x3x12故答案为D． 【点睛】

由题意得：

本题考查了出分式方程的应用，明确题意、确定等量关系是解答本题的关键．

15．某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（ ） A．C．【答案】C 【解析】

设每个A型包装箱可以装书x本，则每个B型包装箱可以装书（x+15）本，根据单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个，列方程得：

，故选C.

B．D．

a2x„2ax2116．关于x的方程的解为非正数，且关于x的不等式组x5无解，

…3x1x13那么满足条件的所有整数a的和是（ ） A．﹣19 【答案】C 【解析】

解：分式方程去分母得：ax﹣x﹣1=2，整理得：（a﹣1）x=3，由分式方程的解为非正数，得到

B．﹣15

C．﹣13

D．﹣9

33≤0，且 ≠﹣1，解得：a＜1且a≠﹣2． a1a12a2ax不等式组整理得：＜4，解得：a＞﹣6，∴满足2，由不等式组无解，得到

2x4题意a的范围为﹣6＜a＜1，且a≠﹣2，即整数a的值为﹣5，﹣4，﹣3，﹣1，0，则满足条件的所有整数a的和是﹣13，故选C．

点睛：此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

17．从4，1，0，2，5，8这六个数中，随机抽一个数，记为a，若数a使关于x的不

xa02ya2有非负数解，则符合条等式组无解，且关于y的分式方程3y33y3x1016件的a的值的个数是（ ） A．1个 【答案】C

B．2个

C．3个

D．4个

【解析】 【分析】

由不等式组无解确定出a的一个取值范围、由分式方程其解为非负数确定a的一个取值范围，综上可确定a的最终取值范围，根据其取值范围即可判定出满足题意的值． 【详解】

xa0①解： 33x1016②解①得，xa

解②得，x2 ∵不等式组无解 ∴a2 ∵

2ya2 y33y∴y8a 32ya2有非负数解 y33y∵关于y的分式方程∴y8a8a0且3 33∴a8且a≠-1

∴综上所述，a2且a1

∴符合条件的a的值有4、0、2共三个． 故选：C 【点睛】

本题考查了不等式（组）的解法、分式方程的解法，能根据已知条件确定a的取值范围是解决问题的关键．

18．初二18班为课外体育活动购买了实心球和跳绳．已知跳绳的单价比实心球的单价贵40元，购买实心球总花费为1610元，购买跳绳总花费为1650元，购买实心球的数量比跳绳的数量多8个，求实心球的单价．设实心球单价为x元，所列方程正确的是（ ） A．C．

165016108

x40xB．D．

165016108 xx40161016508 x40x161016508 xx40【答案】C 【解析】 【分析】

设实心球单价为x元，则跳绳单价为x40元，根据“购买实心球的数量比跳绳的数量多8个”即可得到方程． 【详解】

解：设实心球单价为x元，则跳绳单价为x40元，根据题意得，

161016508． xx40故选：C 【点睛】

本题考查了分式方程的实际应用，解答本题的关键是审清题意，找到等量关系即可得解．

19．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ） A．C．

606030 x(125%)xB．D．

606030

(125%)xx60(125%)6030

xx【答案】C 【解析】

6060(125%)30 xx分析：设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前 30 天完成任务，即可得出关于x的分式方程．

详解：设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原来每天绿化的面积为平方米，

x万

125%606060125%6030x依题意得：，即30． xxx125%故选C．

点睛：考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

20．为有效落实党中央“精准扶贫”战略决策，某市对农村实施“户户通”修路计划，已知该市计划在某村修路5000m，在修了1000m后，由于引入新技术，工作效率提高到原来的1.2倍，结果提前5天完成了任务.若设原来每天修路x m，则可列方程为( ) A．C．

5000400010005 xx1.2xB．D．

5000100040005 xx1.2x5000100040005 xx1.2x5000400010005 xx1.2x【答案】D

【解析】 【分析】

本题依题意可知等量关系为原计划工作时间-实际工作时间=5，根据等量关系列出方程即可. 【详解】

设原来每天修路xm，引入新技术后每天修路1.2xm，实际工作天数为（原计划工作天数为

10004000），x1.2x5000天，根据题意得， x5000100040005， xx1.2x故选D. 【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意是解答应用题的关键，找出题中的等量关系，列出关系式．