分数阶拉普拉斯的定义：
分数阶拉普拉斯（Fractional Laplacian）是一种常见于分数阶微分方程中的一种微分算子。与常规的二阶拉普拉斯算子不同，分数阶拉普拉斯可以广泛应用于描述非局部、非线性和尺度不变的现象。
分数阶拉普拉斯算子的定义可以通过其傅里叶变换来表示。对于定义在整个实数轴上的函数f(x)，其分数阶拉普拉斯算子可以表示为：
(-△)αf(x) = Cα, dα/dx∫(-∞ to ∞) (f(x)-f(y))/|x-y|^(1+α) dy
其中，(-△)α表示分数阶拉普拉斯算子，α是分数阶参数，取值范围为(0,2)，Cα是常数，dα/dx表示微分。分数阶拉普拉斯算子可以看作是将函数f(x)在无穷远处的振幅进行平均化的一种操作。
分数阶拉普拉斯的定义使得我们能够更好地描述一些具有长程非局部相关性的现象。例如，在扩散过程中，分数阶拉普拉斯可以描述更宽范围的扩散行为，而不仅仅局限于常规的二阶扩散。
此外，分数阶拉普拉斯还可以应用于描述分形结构、材料科学、金融建模、图像处理等领域。在这些领域中，分数阶拉普拉斯提供了一种更为准确和全面的数学工具，帮助我们理解和解决与非线性、非局部性质相关的问题。
总结而言，分数阶拉普拉斯是一种在分数阶微分方程中常用的微分算子。其定义通过傅里叶变换给出，并用于描述具有非局部、非线性和尺度不变性质的现象。分数阶拉普拉斯的广泛应用使得我们能更好地理解和分析分形结构、扩散过程、金融模型和图像处理等领域中的问题。
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