2、广义相对论的引力场方程

１９５５年，物理学家玻恩在一次报告中评价道：“对于广义相对论的提出，我过去和现在都认为是人类认识大自然的最伟大的成果，它把哲学的深奥、物理学的直观和数学的技艺令人惊叹地结合在一起。”德布罗意（Louis de Broglie，1892－1987）在《阿尔伯特·爱因斯坦科学工作概况》中谈到广义相对论时说：“依靠黎曼（G·Riemann，1826-1866）的弯曲空间理论，借助于张量运算，广义相对论提出一种万有引力现象的解释，这种解释的雅致和美丽是无可争辩的，它该作为20世纪数学物理学的一个最优美的纪念碑而永垂不朽。” １９８３年诺贝尔物理学奖获得者昌德拉塞卡说得更清楚：爱因斯坦是“通过定性讨论一个与对于数学的优美和简单的切实感相结合的物理世界，得到了他的场方程。” 相对论实在可以说是对麦克思韦和洛伦兹的伟大构思画了最后一笔，因为它力图把场物理学扩充到包括引力在内的一切现象。爱因斯坦在1905年发表了狭义相对论公式之后的几十年内，他就对数学的各个领域烂熟于心了，而同时代的大多数物理学家则对这些领域知之甚少甚至一无所知。在他迈向广义相对论的最终等式的过程中，在将这些数学结构同他的物理学直觉结合在一起这个方面，爱因斯坦展示出了罕见的天赋。

广义相对论理论的核心是新的引力场定律和引力场方程。有人说，麦克斯韦在电磁场上做过什么工作， Einstein在引力场也做过什么工作。广义相对论引人注目的特征之一是将牛顿力学中的引力简化为四维时空中的弯曲，“宇宙图景”的新情景不再是“三维空间中一片以太海洋的受迫振动”，而是“四维空间世界线上的一个纽结”。1914年，Einstein与洛伦兹的学生福寇一起发表了一篇严格遵守广义协变性要求的引力理论的简短论文，发现从绝对运算和广义协变性的要求出发，可以证明诺茨屈劳姆的理论只是Einstein—格罗斯曼理论的一种特殊情况，其标志是真空光速不变这一附加条件；Einstein—格罗斯曼理论包含着光的弯曲，而诺茨屈劳姆的理论没有光的弯曲。广义相对论具有最简单，最优雅的几何基础（三个公理：(1)具有度规；（2）度规由爱因斯坦方程G=8πT支配;（3）在度规的局部洛伦兹标架中所有狭义相对论的物理规律是正确的）。 1.广义坐标变换

设一个时空区域同时被旧坐标系x0'0x,x,x012,x3和新坐标系x'x'0,x'1,x'2,x'3所

覆盖，其中xct,xct'，c是光速，t与t’是时间。新旧坐标之间的关系可表示为

x'x'x0,x1,x2,x3x'(xa) (,a0,1,2,3) （1）,每一个新坐标都是四个旧

坐标的函数。微分（1）式，得到广义坐标变换下微分的变换关系

x'dx'dx(,0,1,2,3) （2）这里采用了Einstein惯例。（2）的逆变换为

xxdxdx'(,0,1,2,3) （3）定义在坐标变换中不变的量为标量。在广义坐标x'x'A(,0,1,2,3) 变换下，向坐标微分元一样变换的量，称为逆变矢量，A'xxA(,0,1,2,3) （5）的量称为协（4）在广义坐标变换下，变换规律为A'x'变矢量。容易看出，逆变和协变矢量都有四个分量组成。在广义坐标变换下按

T'T'T'x'xxx'x'xx'T(6)xxT(7) x'xT(8)x'变换的量分别称为逆变张量、协变张量、混合张量。 2.张量的运算：

 ABC （9）ABD （10）缩并运算：ABu （11）

3.度规张量

在四维时空中，我们把两点间的距离推广为“间隔”。在直角坐标系中，它可表示为

ds2c2dt2dx2dy2dz2（12）

间隔的平方应与坐标微元的二次方有关dsdxdx（13）,但左边是标量，而右边是逆变矢量，必须让坐标微分元与一个二阶协变张量缩并 dsgdxdx（14） 张量g称度规张量共十六个分量，可用矩阵表示

22g00g10 g20g303、时间与空间

g01g11g21g31g02g12g22g32g03g13 （15）,它是一个对称张量gg。 g23g33在广义相对论中，跟据等效原理，可对时空中的任意观测者A引入相对于他瞬时静止的互补惯性系B，并仿照狭义相对论，定义静止于B系中的“真实钟”为坐标钟，它所记录的时间为惯性系中所固有的时间。

由狭义相对论系B的固有时间为 d微分几何告诉我们 dsAdsB（17）

所以，我们可以合理的定义观测者A的固有时间图3 观测者A与B

ids (16) cdA 的世界线

idsAidsBdB（18） cc下面我们来考察相对于某一个坐标系x静止的观测者，寻找它的坐标时间和固有时间之间的关系。

由（12）和（18），不难得到此关系为 dids11gdxdxg00dx0g00dt（19） ccc在图4中，假定A与B空间相邻点，光信号从B射向A，再从A射向B，所需坐标时间为

x0dx(01)dx(02)（20）

00未假定光速的各向同性，所以dx(1)不一定等于dx(2)，在B引入局 部惯性系x相应的固有时间为

图4 固有距离的测量 01g00dx0（21） c在局部惯性系中，光速各向同性等于c，因此，两相邻点的纯空间距离为 dlc1g00x0（22） 22此即用标准尺测得的纯空间距离。

由ds0g00(dx)2g0idxdxgikdxdx(i,k1,2,3)（23） 得dx02020iikg0idxi(g0ig0kg00gik)dxidxkg00（24）

x02(g0ig0kg00gik)dxidxkg00g0ig0kdlgik代入（21）可得g00dl2ikdxidxkikdxdx（25），其中ikgik4、短程线

g0ig0k是纯空间度规。 g00A、B之间的一根曲线长度可用积分给出IBA，由变分原理得到ds0(27) ds（26）

AB沿曲线人选一个标量参数并注意到ds2gdxdx上式可写为1BALd0（28）

...dxds2其中拉格朗日函数 L=，而广义速度x (gxx)（29）

ddLdL将（29）带入拉格朗日方程xd.xd2xdxdx0 （31） 2ddd0 （30），可得短程线方程 它也是广义相对论中的运动方程。

1915年11月25日，爱因斯坦在《引力场方程》论文中，给出了引力场方程的完整形式：Rμν ＝－k（T μν － 1/2 g μν T）,Rμν是黎曼曲率张量， T μν 是能量动量张量. 回到广义协变原理之后，Einstein在1915年10月与11月，集中精力探索新的引力场方程。先后于11月4日，11日，18日和25日，每周一次，一连四周向普鲁士科学院递交了四篇论文。在11月4日的论文中，他提出了废弃1913年提出的场方程的原因。这些理由在11月28日写给索末菲的信中，提得更加明确。他说：“我认识到，到现在为止，我的引力场方程是完全站不住脚的。关于这一点，有如下线索：（1）我证明了，在一个均匀转动的参照系中，引力场并不满足场方程。（2）水星近日点进动每一百年不是18″而是45″。（3）在我去年的论文中，协变的考察没有提供哈密顿函数H。如果把它加以适当推广，它就会允许任意的H，于是，要适应坐标系的协变，是徒劳无功的。在对以前的讨论结果和方法失去一切信心之后，我清楚地看到，只有与普遍的协变理论，即黎曼协变理论联系起来，才能得到令人满意的解决。”[3]摆脱了引力场方程只能在线性变换下协变的限制之后，广义相对论的进展来自于Einstein对张量的重新认识。他保留了“对泊松方程推广”的原有形式。但现在他认为牛顿引力理论的泊松方程▽φ=4πGρ/c中的ρ，应对应于引力源体

2

系的质量，能量，动量以及全部的有关部分，能将这些量做统一描述的只有能量张量Tμν；而牛顿引力势φ则对应于时空度规张量gμν，再根据张量的对称性，协变散度为零以及缩并的规则，最后终于找到了协变形式的引力场方程： Rμν-gμνR/2=8πGTμν/c，其中G为牛顿引力常量，Rμν为里奇张量，R为标量曲率张量。引力场方程的左侧描述了引力场时空的弯曲性质，而右侧描述了引力源物质体系，它们在场方程中的结合，恰恰反映了马赫原理的思想。大约在公元前387年，希腊哲学家柏拉图认为，几何学研究是通向认识宇宙本质的道路. 5、场方程

时空曲率=能量动量（32）物质的能量动量可写成二阶张量T。时空曲率可写成

。可以把曲率张量缩并，得到一个二阶张量R R4

gRRR（33），称Ricci张量，它是对称张量，有十个独立分量。代入（32），RT(34用逆变张量写出就是RT（35）

T应满足能量—动量守恒定律

T;0（36）

由TcM1cM2cM3S1/cS2/cS3/cT11T12T13（37）

T21T22T23T31T32T33此式用三维空间的矢量写出来就是

(55)t

MT(56)tS其中T00是能量密度，SicT0i是能流密度，M是动量密度，三维空间的张量Tij（i，j=1，2，3）是动量流密度。（38）、（39）分别是能量和动量守恒定律。 （36）要求（35）左端满足R;0。但这一般不可能。 由毕安基恒等式

1gR);02 （40）

RgR(RR称曲率标量因此，如果把方程（34）、（35）改写成 R R1gRT（41） 21gRT(42) 2矛盾就消除了。这两个方程就是Einstein给出的广义相对论的基本方程——场方程。它们通常称为Einstein场方程，反映物质的能量—动量如何决定时空曲率。引力场的表达式中起参量作用的物理量数目比牛顿引力理论中的要多．其中不但有引力质量，还有电荷、磁荷、电的(或磁的)偶极矩、宇宙常数等等，其中只有引力质量是广义相对论和狭义相对论所共有的引力参量．

由于有物质的存在，空间和时间会发生弯曲，而引力场实际上就是一个弯曲的时空。 Einstein根据这一结论，给出了著名的引力场方程式：

Einstein引力场方程是二阶的，以时空为自变量，以度规为因变量的，带有椭圆型约束的双曲型偏微分方程。当然， Einstein的这个引力场方程并非完美，在具体计算中，使用的只是一个近似解，而真正的球面对称的准确解——史瓦兹解，是在此之后才找到的。 广义相对论认为: 一个物体使自已周围space-time弯曲, 另一物体在弯曲space-time中沿短程线运动, 这就是引力的本质。由广义相对论引力场方程和短程线方程, 在线性近似

下得到另一组方程 (1-3)，(1-4)

这组方程成功解释了行星近日点的移动。光子经过太阳附近时受到太阳的吸引而改变方向,由(1-3)—(1-4)式求出的光偏折角是Newton理论预期值的一倍。实际观察结果是与广义相对论一致, Einstein取得巨大胜利。随后人们观察到从太阳发出的光线到达地球时其频

率由变为，(1-5)

广义相对论用引力势场中不同点时间间隔不同解释了这个实验结果。所以人们认为上述

三个经典相对论引力实验支持广义相对论, 并且进一步得到space-time是弯曲的结论。广

义相对速度表达式

，

式中表明，近处物体或大质量物体对研究物体的广

义相对速度影响较大。一个小质量物体A从远处靠近一个大质量且广义相对速度不为零的物体B，如果它相对B的速度不变，那么它的广义相对速度必然发生变化。然而在不受力的作用、物体处于惯性运动的情况下，它的广义相对速度是保持不变的，所以上面所说的过程，

A相对B的速度要发生相应的调整。定性分析得知，A接近B时，为了保证A的广义相对速

度不变，A、B之间的相对速度必将减小，从而可以说，大质量的B部分地同化了小质量的A的运动速度。当然，A也部分地同化了B的运动速度，只是质量比例很小而表现得更加微弱。

近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而均匀的，但是整个时空却是不均匀的。在物理GijRijRgijTij学中的这种解释，恰恰是和黎曼几何的观念是相似的。黎曼张量和物质能量-动量张量间的关系

12 1927年Einstein等人提出，质点系统的运动方程应该包括在引力场方程之中。1938年，Einstein及其合作者完成了这一理论。他们采用后来称为后牛顿近似的方法，在对质点系能量动量张量的简单假定下，从引力场方程中推导出了质点系的运动方程，这就是著名的广义相对论的运动理论。50年代以来，一些物理学家指出，质点运动方程也可以直接从能量动量张量的守恒定律推导出来。A.巴巴别特鲁由运动理论导出了自旋粒子会受到的自旋和曲率的耦合项。

引力场方程包含着粒子运动方程，这是广义相对论的一个重要特点。60年代以来，彭罗塞等人系统地运用整体微分几何的方法来研究广义相对论。彭罗塞和霍金等人建立的奇性理论，提示了广义相对论时空结构的重要性质和问题。

不过 Penrose 与 Hawking 等人的方法虽然不需要直接求解场方程， 但它与描述物质分布的能量动量张量的性质仍有着密切的关系。 这一点从物理上讲是显而易见的， 因为正是物质的分布决定了时空的结构。

黎曼关于度规、距离法则决定了一种几何学的思想，对于广义相对论的创建有着特殊的启发力。度规张量表征着弯曲空间的内禀性质，协变导数解决了弯曲空间中的矢量求导和无穷小平移问题，仿射联络能恰当刻画弯曲空间矢量的平移性质与度规张量（空间内禀性质）之间的确定联系，黎曼联络是引力势对坐标偏微分（变化率）的组合，体现着引力场的分布等等。联络解决了弯曲空间中不同时空点测量标尺的差异和可换算性问题，后来成为规范场理论思想的一个源头。宇宙奥秘深藏于数学规律的毕达哥拉斯主义理念，在爱因斯坦的引力场论中被具体化和精细化了。Einstein 曾经把他的场方程比喻为一座建筑， 这座建筑的一半是用精美的大理石砌成的， 另一半却是用劣质的木材建造的。 用精美的大理石砌成的那一半是方程的左端： Rμν - (1/2)gμνR， 那是一个描述时空结构的优美的几何量， 被称为 Einstein 张量。 而用劣质木材建造的那一半则是方程的右端， 也就是描述物质分布的能量动量张量： 8πGTμν。 为什么说这部分是用劣质木材建造的呢？ 因为自然界的物质分布种类繁多， 物态方程千差万别， 找不到一个普适的能量动量张量来描述所有已知的物质分布。 不仅如此， 在广义相对论所涉及的许多极端条件 (比如某些星体内部的超高温、 超高压、 超高密度等条件) 下还可能存在大量未知的物质形态与分布，而且所有这些物质分布还可能在空间及时间上相互混合。广义相对论存在三种解释。首先，爱因斯坦把可称重物体看作完全决定引力场与时空的几何结构的唯一物理实在，引力场方程真空解的发现使得这个解释站不住脚。尔后，外尔和爱丁顿提出了另一种观点：时空的几何结构被视为物理实在，而引力场可约化为这个几何结构，称作强几何纲领。爱因斯坦从不欣赏这个纲领，后来爱因斯坦在统一场论中把引力场看作代表终极物理实在的整体场的一部分，时空是整体场的结构属性，称作弱几何纲领。