旋转

（学生活动）请同学们完成下面各题．

1．将如图所示的四边形ABCD平移，使点B的对应点为点D，作出平移后的图形．

2．如图，已知△ABC和直线L，请你画出△ABC关于L的对称图形△A′B′C′．

3．圆是轴对称图形吗？等腰三角形呢？你还能指出其它的吗？ （口述）老师点评并总结： （1）平移的有关概念及性质．

（2）如何画一个图形关于一条直线（对称轴）•的对称图形并口述它既有的一些性质． （3）什么叫轴对称图形？ 二、探索新知

我们前面已经复习平移等有关内容，生活中是否还有其它运动变化呢？回答是肯定的，下面我们就来研究．

1．请同学们看讲台上的大时钟，有什么在不停地转动？旋绕什么点呢？•从现在到下课时钟转了多少度？分针转了多少度？秒针转了多少度？

（口答）老师点评：时针、分针、秒针在不停地转动，它们都绕时针的中心．•如果从现在到下课时针转了_______度，分针转了_______度，秒针转了______度．

2．再看我自制的好像风车风轮的玩具，它可以不停地转动．如何转到新的位置？（老师点评略）

3．第1、2两题有什么共同特点呢？

共同特点是如果我们把时针、风车风轮当成一个图形，那么这些图形都可以绕着某一固定点转动一定的角度．

像这样，把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．

如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点． 下面我们来运用这些概念来解决一些问题．

- 1 -

例1．如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB，它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中：

（1）旋转中心是什么？旋转角是什么？

（2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？ 解：（1）旋转中心是O，∠AOE、∠BOF等都是旋转角． （2）经过旋转，点A和点B分别移动到点E和点F的位置．

例2．（学生活动）如图，四边形ABCD、四边形EFGH都是边长为1的正方形． （1）这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？ （2）请画出旋转中心和旋转角．

（3）指出，经过旋转，点A、B、C、D分别移到什么位置？ （老师点评）

（1）可以看做是由正方形ABCD的基本图案通过旋转而得到

的．（2）•画图略．（3）点A、点B、点C、点D移到的位置是点E、点F、点G、点H． 最后强调，这个旋转中心是固定的，即正方形对角线的交点，•但旋转角和对应点都是不唯一的． 三、巩固练习

教材P65 练习1、2、3． 四、应用拓展

例3．两个边长为1的正方形，如图所示，•让一个正方形的顶点与另一个正方形中心重合，不难知道重合部分的面积为

1，现把其中一个正方形固定不动，•另一个正方形绕4其中心旋转，问在旋转过程中，两个正方形重叠部分面积是否发生变化？•说明理由． 分析：设任转一角度，如图中的虚线部分，•要说明旋转后正方形重叠部分面积不变，只要说明S△OEE`=S△ODD`，那么只要说明△OEF′≌△ODD′． 解：面积不变．

理由：设任转一角度，如图所示． 在Rt△ODD′和Rt△OEE′中 ∠ODD′=∠OEE′=90° ∠DOD′=∠EOE′=90°-∠BOE OD=OD

∴△ODD′≌△OEE′ ∴S△ODD`=S△OEE`

∴S四边形OE`BD`=S正方形OEBD=

1 4- 2 -

五、归纳小结（学生总结，老师点评） 本节课要掌握：

1．旋转及其旋转中心、旋转角的概念． 2．旋转的对应点及其它们的应用． 六、布置作业

1．教材P66 复习巩固1、2、3．

2．作业设计: 一、选择题

1．在26个英文大写字母中，通过旋转180°后能与原字母重合的有（ ）． A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 2．从5点15分到5点20分，分针旋转的度数为（ ）． A．20° B．26° C．30° D．36°

3．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角顶点C为旋转中心，•将△ABC旋转到△A′B′C的位置，其中A′、B′分别是A、B的对应点，且点B在斜边A′B′上，直角边CA′交AB于D，则旋转角等于（ ）． A．70° B．80° C．60° D．50°

(1) (2) (3) 二、填空题．

1．在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为________，这个定点称为________，转动的角为________．

2．如图2，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠C和∠AED都是直角，•点E•在AB上，如果△ABC经旋转后能与△ADE重合，那么旋转中心是点_________；旋转的度数是__________．

3．如图3，△ABC为等边三角形，D为△ABC•内一点，•△ABD•经过旋转后到达△ACP的位置，则，（1）旋转中心是________；（2）•旋转角度是________；•（•3）•△ADP•是________三角形． 三、综合提高题． 1．阅读下面材料：

如图4，把△ABC沿直线BC平行移动线段BC的长度，可以变到△ECD的位置．

- 3 -

如图5，以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置．

(4) (5) (6) (7)

如图6，以A点为中心，把△ABC旋转90°，可以变到△AED的位置，像这样，•其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的，这种只改变位置，不改变形状和大小的图形变换，叫做三角形的全等变换． 回答下列问题

如图7，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上一点，AF=

1AB． 2 （1）在如图7所示，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法，•使△ABE移到△ADF的位置？

（2）指出如图7所示中的线段BE与DF之间的关系．

2．一块等边三角形木块，边长为1，如图，•现将木块沿水平线翻滚五个三角形，那么B点从开始至结束所走过的路径长是多少？

答案:

一、1．B 2．C 3．B

二、1．旋转 旋转中心 旋转角 2．A 45° 3．点A 60° 等边 三、1．（1）通过旋转，即以点A为旋转中心，将△ABE逆时针旋转90°．

（2）BE=•DF，BE⊥DF

2．翻滚一次 滚120° 翻滚五个三角形，正好翻滚一个圆，所以所走路径是2．

- 4 -

判别式与韦达定理检测试卷

一、选择题:（本题共33分，每小题3分）

1．方程4x－2（a－b）x－ab=0的根的判别式是( )

A．4（a＋b）；B．（a＋b）; C．（a－b）；D．（a－b）－4ab 2．如果方程x-2x＋（m＋1）=0有两个实数根，那么实数m的取值范围是( )

A．m≥0 B．m＞0 C．m≤0 D．m＜0

的值为( )

4．一元二次方程ax＋bx＋c=0的两根的倒数和为( )

5．如果方程x2＋mx＋12=0的一个根是4，另一个根和m的值分别是( ) A．3，-7 B．3，7 C．-3，7 D．-3，-7

程是( )

A．x＋2x+2=0；B．x-2x-2＝0；C．x-2x－2＝0；D．x＋2x-2＝0 7．关于x的方程x2－kx－1=0（k为实数）( ) A．有两个不相等的实数根;B．有两个相等的实数根 C．没有实数根; D．是否有实数根不能确定

8．如果关于x的方程x2＋2（m－1）x＋4m2=0有两个实数根，且这个根互为倒数，那么它的值为( )

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

9．已知方程2x－4x＋1=0两根为α，β，则α－β的值为( )

10．已知p＜0，q＜0，则一元二次方程x2＋px＋q=0( ) A．一定有一个正实根和一个负实根，且正根的绝对值大; B．一定有一个正实根和一个负实根，且负根的绝对值大;

- 5 -

C．一定有两实数根，它们互为相反数; D．不一定有实数根. 11．以方程x-3x-1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是( )

A．y2＋y-11＝0；B．y2－11y＋1＝0； C．y2－11y－1＝0；D．y2＋11y＋1＝0 二、填空题:（本题共24分，每空3分）

1．已知方程x－3x＋1=0的两个根为α，β，则α＋β=______，αβ=______． 2．方程x＋ax-4=0的两根的绝对值相等，则这个方程的根是_____，且a=______．

4．若方程x2＋（a2－2）x-3＝0的两根是1和-3，则a=______．

5．若关于x的方程8x2－（10-|m|）x＋m－7=0的两根互为相反数，则m=______． 6．若方程2x－5x－12＝0的两根为α、β，则（α－2）（β-2）的值是______． 三、解答题:（本题共43分）

1、（7分）k为何值时，方程x2+2（k-1）x+ k2+2k-4=0：

（1）有两个相等的实数根； （2）没有实数根；（3）有两个不相等的实数根．

2、（7分）设实数x满足方程（x-2）2+（kx+2）2=4，求k的最大值．

3（7分）、已知α，β是方程3x＋5x-2=0的两根．求证:

2

22

22

4、（7分）已知方程x-6x-7=0，利用根与系数关系求作一个新方程使它的两根分别是原方程两根的平方

2

- 6 -

xy5x11x225、（本题7分）已知方程组2 ，利用根于系数的的解是yy3xy291212关系证明1221

6、已知x1,x2是关于x的方程4x23m5x6m20的两个实数根，且值.

答案:

一、1．A 2．C 3．C 4，B 5．A 6．B 7．A 8．A 9．D 10．A 11．B

二、1．3，1 2．±2，0 3．－2 4．±2 5．－10 6．－7 三、1、

53. 3x13,求m的x222、k的最大值为0，提示：原方程化为：（k2+1）x2+（4k-4）x+4=0． 因为x是实数，所以

Δ=（4k-4）2-4×4（k2+1）=16（k2-2k+1-k2-1）=-32k≥0．

所以k≤0，即k的最大值是0． 3、

4、y2-50y+49=0．

- 7 -

5、

6、

3m5446m23m596m20

22 x,x异号 m为任意实数时，都有0 3212x1x2m02x31x22

32 x12

x1x2mx1x2m2x223m53 x2m2,x2m

x1x2,x1x24233m5 即13m5

x2x2x22424 当

m3m5 m1 x2m时，有24当

m3m5 m5

x2m时，有24

- 8 -

判别式与韦达定理检测试卷

一、选择题:（本题共33分，每小题3分）

1．方程4x2－2（a－b）x－ab=0的根的判别式是( )

A．4（a＋b）2；B．（a＋b）2; C．（a－b）2 ； D．（a－b）2－4ab 2．如果方程x-2x＋（m＋1）=0有两个实数根，那么实数m的取值范围是( )

A．m≥0 B．m＞0 C．m≤0 D．m＜0

的值为( )

4．一元二次方程ax＋bx＋c=0的两根的倒数和为( )

5．如果方程x＋mx＋12=0的一个根是4，另一个根和m的值分别是( ) A．3，-7 B．3，7 C．-3，7 D．-3，-7

程是( )

A．x2＋2x+2=0；B．x2-2x-2＝0；C．x2-2x－2＝0；D．x2＋2x-2＝0 7．关于x的方程x－kx－1=0（k为实数）( ) A．有两个不相等的实数根;B．有两个相等的实数根 C．没有实数根; D．是否有实数根不能确定

8．如果关于x的方程x2＋2（m－1）x＋4m2=0有两个实数根，且这个根互为倒数，那么它的值为( )

2

2

2

2

9．已知方程2x2－4x＋1=0两根为α，β，则α－β的值为( )

- 9 -

10．已知p＜0，q＜0，则一元二次方程x＋px＋q=0( ) A．一定有一个正实根和一个负实根，且正根的绝对值大; B．一定有一个正实根和一个负实根，且负根的绝对值大; C．一定有两实数根，它们互为相反数; D．不一定有实数根. 11．以方程x-3x-1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是( )

A．y＋y-11＝0；B．y－11y＋1＝0； C．y－11y－1＝0；D．y＋11y＋1＝0 二、填空题:（本题共24分，每空3分）

1．已知方程x2－3x＋1=0的两个根为α，β，则α＋β=______，αβ=______． 2．方程x2＋ax-4=0的两根的绝对值相等，则这个方程的根是_____，且a=______．

4．若方程x＋（a－2）x-3＝0的两根是1和-3，则a=______．

5．若关于x的方程8x2－（10-|m|）x＋m－7=0的两根互为相反数，则m=______． 6．若方程2x－5x－12＝0的两根为α、β，则（α－2）（β-2）的值是______． 三、解答题:（本题共43分）

1、（7分）k为何值时，方程x+2（k-1）x+ k+2k-4=0：

（1）有两个相等的实数根； （2）没有实数根；（3）有两个不相等的实数根．

2、（7分）设实数x满足方程（x-2）2+（kx+2）2=4，求k的最大值．

3（7分）、已知α，β是方程3x2＋5x-2=0的两根．求证:

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

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4、（7分）已知方程x-6x-7=0，利用根与系数关系求作一个新方程使它的两根分别是原方程两根的平方

5、（本题7分）已知方程组关系证明1221

6、已知x1,x2是关于x的方程4x23m5x6m20的两个实数根，且值.

答案:

一、1．A 2．C 3．C 4，B 5．A 6．B 7．A 8．A 9．D 10．A 11．B

二、1．3，1 2．±2，0 3．－2 4．±2 5．－10 6．－7 三、1、

2

xy5x11x22 ，利用根于系数的的解是2yy12123xy2953. 3x13,求m的x222、k的最大值为0，提示：原方程化为：（k2+1）x2+（4k-4）x+4=0． 因为x是实数，所以

Δ=（4k-4）-4×4（k+1）=16（k-2k+1-k-1）=-32k≥0．

所以k≤0，即k的最大值是0． 3、

2

2

2

2

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4、y-50y+49=0．

2

5、

6、

3m5446m23m596m20

22 x,x异号 m为任意实数时，都有0 3212x1x2m02x31x22

32 x12

x1x2mx1x2m2x223m53 x2m2,x2m

x1x2,x1x24233m5 即13m5

x2x2x22424 当

m3m5 m1 x2m时，有24当

m3m5 m5

x2m时，有24

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