根据我国户口登记条例的有关规定，收养的孩子应该由抚养人向孩子常住地户口登记机关申报登记。
法律依据：《中华人民共和国户口登记条例》第七条 婴儿出生后一个月以内，由户主、亲属、抚养人或者邻居向婴儿常住地户口登记机关申报出生登记。弃婴，由收养人或者育婴机关向户口登记机关申报出生登记。
《中华人民共和国户口登记条例》第十九条 公民因结婚、离婚、收养、认领、分户、并户、失踪、寻回或者其他事由引起户口变动的时候，由户主或者本人向户口登记机关申报变更登记。
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