金融市场6
2023-10-09
来源：我们爱旅游
第六讲债券价值分析本章框架¾收入法在债券价值分析中的运用¾债券定价原理¾债券价值属性¾久期、凸度与免疫贴现债券(Pure discount bond)例题：¾假定某种贴现债券的面值为100万美元，期限为20年，该债券的预期收益率为10%，那么它的内在价值应该是：V=100(1+0.1)20=14.8644(万美元)¾该贴现债券的内在价值仅为其面值的15%左右。学完本章后，你应该能够：9掌握股息(或利息) 贴现法在债券价值分析中的运用9掌握债券定价的五个基本原理9了解债券属性与债券价值分析9了解久期、凸度及其在利率风险管理中的运用贴现债券(Pure discount bond)定义¾贴现债券，又称零息票债券(zero-coupon bond)，是一种以低于面值的贴现方式发行，不支付利息，到期按债券面值偿还的债券。贴现债券的内在价值公式V=A(1+y)T (1)其中，V代表内在价值，A代表面值，y是该债券的预期收益率，T是债券到期时间。直接债券(Level-coupon bond)定义¾直接债券，又称定息债券，或固定利息债券，按照票面金额计算利息，票面上可附有作为定期支付利息凭证的息票，也可不附息票。最普遍的债券形式。直接债券的内在价值公式V=c(1+y)+c(1+y)2+c(1+y)3++cA(1+y)T+(1+y)T (2)其中，c是债券每期支付的利息。直接债券(Level-coupon bond)例题：¾假设现在是2007年11月，目前市场上美国政府债券的预期收益率为10% (半年计一次复利)。美国政府于1996年11月发行了一种面值为1000美元，年利率为13%的15年期国债。V=65(1+0.05)+65(1+0.05)1+...+65(1+0.05)8+1000(1+0.05)8 =1,097.095(美元)¾该债券的内在价值为1,097.095美元。统一公债(Consols)例题：某种统一公债每年的固定利息是50美元，假定该债券的预期收益率为10%。那么，该债券的内在价值为V = 50/0.1 = 500 (美元)即统一公债的内在价值500美元。判断债券价格被低估或高估——以直接债券为例例子[5-4]：某种债券的价格为900美元，每年支付利息60美元，三年后到期偿还本金1000美元。如果该债券的预期收益率为9%。那么，这种债券的价格是被低估还是高估了？根据900=60/(1+k) + 60/(1+k)2+ (60+1000)/(1+k)3可得出k=10.02%> 9%，所以，该种债券的价格是被低估了。统一公债(Consols)定义¾统一公债是一种没有到期日的特殊的定息债券。最典型的统一公债是英格兰银行在18世纪发行的英国统一公债(English Consols)，英格兰银行保证对该公债的投资者永久期地支付固定的利息。¾优先股实际上也是一种统一公债。统一公债的内在价值公式V=c(1+y)+c(1+y)2+cc(1+y)3+=y (3)判断债券价格被低估或高估——以直接债券为例方法一：比较两类到期收益率的差异¾预期收益率（appropriate yield-to-maturity）：根据市场风险确定的到期收益率，即公式（2）中的y；¾(承诺的)到期收益率（promised yield-to-maturity）：即隐含在当前市场上债券价格中的到期收益率，用k表示。P=c(1+k)+c(1+k)2++cA(1+k)T+(1+k)T (4)¾如果y>k，则该债券的价格被高估；如果y
0由于净现值大于零，表示该债券被低估了，对于投资者是一个买入信号。债券定价的五个原理例题：某5年期的债券，面值为1000美元，每年支付利息80美元，即息票率8%。如果市场价格上升到1100美元，和下降到900美元时，它的收益率如何变化？具体计算如下：1000 = 80/(1+0.08) + …+ 80/(1+0.08)5+ 1000/(1+0.08)51100 = 80/(1+0.0576) + …+ 80/(1+0.0576)5+ 1000/(1十0.0576)5900 = 80/(1+0.1098) + …+ 80/(1+0.1098)5+ 1000/(1+0.1098)5如果市场价格上升到1100美元，它的收益率下降为5.76%，低于息票率；反之，当市场价格下降到900美元时，它的收益率上升到10.98%，高于息票率。债券定价的五个原理9定理二：当市场预期收益率变动时，债券的到期时间与债券价格的波动幅度成正比关系。换言之，到期时间越长，价格波动幅度越大；反之，到期时间越短，价格波动幅度越小。9定理三：随着债券到期时间的临近，债券价格的波动幅度减少，并且是以递增的速度减少；反之，到期时间越长，债券价格波动幅度增加，并且是以递减的速度增加。9定理二和定理三不仅适用于不同债券之间的价格波动的比较(见例5-7)，而且可以解释同一债券的到期时间长短与其价格波动之间的关系(见例5-8)。债券定价的五个原理马尔基尔(Malkiel, 1962) ：最早系统地提出了债券定价的5个原理。9定理一：债券的价格与债券的收益率成反比例关系。换句话说，当债券价格上升时，债券的收益率下降；反之，当债券价格下降时，债券的收益率上升。债券定价的五个原理表：息票利率为10％、期限为10年的债券的到期收益率[面值(F)为1000美元]债券价格(P)（美元）到期收益率（％）12007.1311008.48100010.0090011.7580013.81债券定价的五个原理例5-7：假定存在4种期限分别是1年、10年、20年和30年的债券，它们的息票率都是6%，面值均为100元，其他属性也完全一样。如果相应的到期(或预期)收益率上升或下降，这4种债券的内在价值的变化如表所示。债券定价的五个原理例5-8：某5年期的债券，面值为1000美元，每年支付利息60美元，即息票率为6%。如果它的发行价格低于面值，为883.31美元，意味着收益率为9%，高于息票率，如果一年后，该债券的收益率维持在9%的水平不变，它的市场价格将为902.81美元。这种变动说明了在维持收益率不变的条件下，随着债券期限的临近，债券价格的波动幅度从116.69(1000-883.31)美元减少到97.19(1000-902.81)美元，两者的差额为19.5美元，占面值的1.95%。债券定价的五个原理9定理四：对于期限既定的债券，由收益率下降导致的债券价格上升的幅度大于同等幅度的收益率上升导致的债券价格下降的幅度。对于同等幅度的收益率变动，收益率下降给投资者带来的利润大于收益率上升给投资者带来的损失（见例5-9）。债券定价的五个原理9定理五：对于给定的收益率变动幅度，债券的息票率与债券价格的波动幅度成反比关系。换言之，息票率越高，债券价格的波动幅度越小（见例5-10）。5年期、面值1000美元的债息票率收益率7%收益率8%的价格的价格价格波动率券债券A7%1000960.07-3.993%债券B9%10821039.93-3.889%债券定价的五个原理(面值1000元,6%)到期期限5年4年3年2年1年0年(9%)•假定两年后，该债券的收益率仍然为9%，则它的市场价格将为924.06美元，该债券的价格波动幅度为75.94(1000-924.06)美元。与之前的97.19美元相比，两者的差额为21.25美元，占面值的2.125%。所以，市场价格波动幅度减少的速度是递增的。债券定价的五个原理例5-9：某5年期的债券A，面值为1000美元，息票率为7%。假定发行价格等于面值，那么它的收益率等于息票率7%。如果收益率变动幅度定为1个百分点，当收益率上升到8%时，该债券的价格将下降到960.07美元，价格搅动幅度为39.93美元(1000-960.07)；反之，当收益率下降1个百分点，降到6%时，该债券的价格将上升到1042.12美元，价格波动幅度为42.12美元(1042.12-1000)。同样1个百分点的收益率变动，收益率下降导致的债券价格上升幅度(42.12美元)大于收益率上升导致的债券价格下降幅度(39.93美元)。债券定价的五个原理例5-10：与上例中的债券A相比，某5年期的债券B，面值为1000美元，息票率为9%，比债券A的息票率高2个百分点。如果债券B与债券A的收益率都是7%，那么债券A的市场价格等于面值，而债券B的市场价格为1082美元，高于面值。如果两种债券的收益率都上升到8%，债券A和债券B的价格分别下降到960.07美元和1039. 93美元。债券A的价格下降幅度为3.993%，债券B的价格下降幅度为3.889%。债券B的价格波动幅度小于债券A。债券价值属性¾到期时间(期限)¾债券的息票率¾债券的可赎回条款¾税收待遇¾市场的流通性¾违约风险¾可转换性¾可延期性到期时间(Time to Maturity)债券市场价格的时间轨迹（II）¾当息票率高于到期(预期)收益率时，利息支付超过了资金的时间价值，投资者将从债券价格的贬值中遭受资本损失，抵消较高的利息收入，投资者仍然获得相当于到期(预期)收益率的收益率。¾无论是溢价发行的债券还是折价发行的债券，若债券的内在到期收益率不变，则随着债券到期日的临近，债券的市场价格将逐渐趋向于债券的票面金额(对比表5-4和表5-5)。表5-4：面值1000元、20年期、息票率为9%、内在到期收益率为12%的债券价格的变化（折价发行）剩余到期年数以6%贴现的45美元息票支+以6%贴现的票面价值的付的现值(美元) 现值(美元) =债券价格(美元) 20677.0897.22774.3018657.94122.74780.6816633.78154.96788.7414603.28195.63798.9112564.77256.98811.7510516.15311.80827.958454.77393.65848.426377.27496.97874.244279.44627.41906.852155.93792.09948.02182.50890.00972.5200.001000.001000.00(一)到期时间(Time to Maturity)债券市场价格的时间轨迹（I）¾当债券息票率等于到期(预期)收益率，投资者资金的时间价值通过利息收入得到补偿；¾当息票率低于到期(预期)收益率时，利息支付不足以补偿资金的时间价值，投资者还需从债券价格的升值中获得资本收益；折(溢) 价债券的价格变动表5-5：面值1000元、20年期、息票率为9%、内在到期收益率为7%的债券价格的变化（溢价发行）剩余到期年数以3.5%贴现的45美元息票以3.5%贴现的票面价值债券价格(美元支付的现值(美元)+的现值(美元)=)20960.98252.571213.5518913.07289.831202.9016855.10332.591190.6914795.02381.661176.6712722.63437.961160.5910639.56502.571142.138544.24576.711120.956434.85611.781096.634309.33759.411068.742165.29871.441036.73185.49933.511019.0000.001000.001000.00零息票债券的价格变动零息票债券的价格变动有其特殊性。单利率债券，债券价格=面值/(1+y)T。到期日，一次性支付本金。在到期日，债券价格等于面值，到期日之前，由于资金的时间价值，债券价格低于面值，并且随着到期日的临近而趋近于面值。如果收益率恒定，则价格以等于收益率的速度上升。(二)息票率(Coupon Rate)息票率决定了未来现金流的大小。在其他属性不变的条件下，债券的息票率越低，债券价格随到期(预期)收益率波动的幅度越大。表5-6：内在价值(价格) 变化与息票率之间的关系—面值100元期限20年的息票债券预期收益率息票率内在价值变化率内在价值变化率7% 8% 5%(7% 到8%) (7% 到5%) 4%686087-11.3%+28.7%5%78 70 100-10.5%+27.1%6%89 80112-10.0%+25.8%7%100 90 125-9.8%+25.1%8%110 100 137-9.5%+24.4%零息票债券的价格变动[例]某30年期的零息债券，面值1000美元，预期收益率等于10%，当前价格为1000/(1+10%)30=57.31(美元)。一年后，价格为1000/(1+10% )29=63.04(美元)，比上一年增长了10%。图中反映了零息债券价格的变动轨迹。例5-12假设有5种债券，期限均为20年，面值为100元，息票率分别为4%、5%、6%、7% 和8% 。如果预期收益率都等于7% ，可以计算出各自初始的内在价值。如果预期收益率发生了变化(上升到8%和下降到5%)，相应地可以计算出这5种债券新的内在价值。具体结果见表5-6。可以发现，面对同样的预期收益率变动，债券的息票率越低，债券价格的波动幅度越大。(三)可赎回条款(Call Provision)可赎回条款：在一定时间内发行人有权赎回债券。再融资(refunding)：放弃高息债券、以低息债券重新融资的行为。赎回价格(Call price) ：初始赎回价格通常设定为债券面值加上年利息，并且随着到期时间的减少而下降，逐渐趋近于面值。赎回保护期：在保护期内，发行人不得行使赎回权，一般是发行后的5至10年。“有限制的可赎回债券”(deferredcallablebonds)：附有赎回保护期的可赎回债券。可赎回条款对债券收益率的影响赎回收益率(yield to call, YTC)与到期收益率(yield to maturity, YTM)：“首次赎回收益率”(yield to first call)：一旦有权利就赎回的债券的实际收益率。投资者更关注的是赎回收益率。息票率越高，发行人行使赎回权的概率越大，即投资债券的实际收益率与债券承诺的收益率之间的差额越大。图5-3债券价格市场利率例5-13：赎回收益率30年期的可赎回债券，面值为1000美元，发行价为1150美元，息票率8% (以半年计息)，赎回保护期为10年，赎回价格1100美元。首次赎回收益率(YTC) ：1150=40(1+YTC/2)++401100(1+YTC/2)20+(1+YTC/2)20求得：YTC=6.64%到期收益率(YTM) ：1150=40(1+YTM/2)++401000(1+YTM/2)60+(1+YTM/2)60求得：YTM=6.82%例子：30年期的债券以面值1000美元发行，息票率为8%，比较随利率的变化，可赎回债券和不可赎回债券之间的价格差异的变化。见图5-3，如果债券不可赎回，其价格随市场利率的变动如曲线AA所示。如果是可赎回债券，赎回价格是1100美元，其价格变动如曲线BB所示。当利率较高时，被赎回的可能性极小，AA 与BB相交；利率下降时，AA 与BB逐渐分离，它们之间的差异反映了公司实行可赎回权的价值。当利率很低时，债券被赎回，债券价格变成赎回价格1100美元。可赎回条款对债券收益率的影响债券的溢价折价发行对公司赎回决策的影响：折价发行：如果债券折价较多，价格远低于赎回价格，即使市场利率下降也不会高于赎回价格，公司就不会赎回债券，即折价债券提供了隐性赎回保护。对折价债券主要关注到期收益率。溢价发行：溢价债券由于发行价较高，极易被赎回。对溢价债券投资者主要关注赎回收益率。(四)税收待遇(Tax Treatment)税收待遇是影响债券市场价格和收益率的一个重要因素。债券税收待遇的关键：债券的利息收入是否需要纳税。美国法律规定：地方政府债券的利息收入免缴联邦收入所得税。我国税法规定：个人取得的利息所得，除国债和国家发行的金融债券利息外，应当缴纳20% 的个人所得税；个人转让有价证券获得资本利得的，除国债和股票外，也应缴纳20%的个人所得税。税收待遇(Tax Treatment)例5-14：05华润债(债券代码058006)发行日和起息日均为2005年5月27日，期限10年，按面值100元发行，每年5月27日付息一次，票面利率5.05%，到期还本付息，假设2007年5月28日的价格为106元。考虑税率(20%)因素时该债券的到期收益率为：106 = 5.05×(1 -0.2)/(1+y) + 5.05×(1-0.2)/(1+y)2+…+[100+5.05×(1-0.2)]/(1+y)8求出y=3.18%。不考虑税收时的到期收益率为4.15%。(六)违约风险(Default Risk)债券发行人未履行契约规定支付的债券本金和利息，给投资者带来损失的可能性。债券评级：反映债券违约风险的重要指标。标准普尔公司(Standard & Poor’s, S&P) 和穆迪投资者服务公司(Moody’s Investors Services) 。债券评级分为两大类：投资级(BBB 或Baa及以上)、和投机级(BB或Ba及以下)或垃圾债券(junkbonds)。政府债券的违约风险小于公司债券。违约风险与收益率成正比关系。违约风险的存在，投资者更关注期望的到期收益率(expected yield to maturity) ，而非债券承诺的到期收益率。债券评级主要财务比率固定成本倍数(Coverage ratios) ：即公司收益与固定成本之比。获息倍数(times-interest-earned ratio)：息税前收益(EBIT)与利息费用的比率；扩大的利息倍数(fixed-charge coverage ratio)：则把租赁费用和偿债基金(sinking fund)支出与利息费用加总作为分母形成一个新的比率。比率较低，反映公司可能面临资金流动的困难。杠杆比率(Leverage ratio)：即资产负债比率(Debt-to-equity ratio) 。资产负债率过高，意味公司负债过多，有偿债困难。(五)流通性(Liquidity)流通性：或流动性，是指债券投资者将手中的债券变现的能力。债券的买卖差价反映债券的流动性大小。流动性较高的债券，风险小，买卖差价也较小；反之，流动性较低的债券，风险大，买卖差价也较大。在其他条件不变的情况下，债券的流动性与债券的内在价值呈正比例关系；与债券的到期收益率呈反比例关系。违约风险(Default Risk)例5-15：公司20年前发行的债券，面值为1000美元，息票率为9%(以半年计息)，还有10年到期，目前市价为750美元。公司陷入了财务困境，投资者预期公司可保证利息支付，但到期公司将被迫破产，投资者只能得到面值的70%。承诺的到期收益率（没有破产风险情况下）：750 = 45/(1+k/2) + …+ 45/(1+k/2)20+ 1000/(1+k/2)20为13.7%；期望的到期收益率（有破产风险情况下）：750 = 45/(1+y/2) + …+ 45/(1+y/2)20+ 700/(1+y/2)20为11.6 % 债券评级主要财务比率流动性比率(Liquidity ratios) 流动比率(current ratios) ：流动资产与流动负债之比。速动比率(quick ratios) ：速动资产与流动负债之比。速动资产是扣除了存货后的流动资产。反映公司用可调动资金偿还到期债务的能力。盈利性比率(Profitability ratios)资产收益率(return on assets, ROA) ：息税前收益与总资产之比。最为常见。反映公司的整体盈利能力。现金比率(Cash flow-to-debt ratio)：现金与负债之比。以上比率越好，债券评级也越高。奥尔特曼(Altman, 1968)分离分析(discriminant analysis)用于预测公司违约风险。根据各公司财务特征来打分，如果分析值超过某个确定的值(cutoff value)，就认为公司是可信的；否则，公司就有破产的风险。奥尔特曼直线方程：Z=3.3×息税前收益/总资产+99.9×销售额/总资产+0.6×股票市场价值/债务账面价值+1.4×保留盈余/总资产+1.2×营运资本/总资产(七)可转换性(Convertibility)可转换债券：可用来交换一定数量普通股的债券。转换率(conversion ratio) ：每单位债券可换得的股票股数。市场转换价值(market conversion value)：可换得的股票当前价值。转换损益(conversion premium) ：债券价格与市场转换价值的差额。可转换债券息票率和承诺的到期收益率通常较低。如果从转换中获利，则持有者的实际收益率会大于承诺的收益率。(八)可延期性(Extendability)可延期债券：给予持有者而不是发行者一种终止或继续拥有债券的权利。如果市场利率低于息票率，投资者将继续拥有债券；反之，如果市场利率上升，超过了息票率，投资者将放弃这种债券，收回资金，投资于其他收益率更高的资产。可延期债券有利于投资者，所以可延期债券的息票率和承诺的到期收益率较低。奥尔特曼(Altman, 1968) 的分离分析(discriminant analysis)可转换性(Convertibility)[例]债券价格为1000美元，转换率为40。当股价为每股20美元时，转换损失=1000 –40 ×20 = 200美元，投资者不会实行转换权。如果股价升至每股30美元，则转换收益=40 ×30 –1000 = 200美元。可见，投资者可以从公司股票的升值中受益。小结：债券属性与债券收益率债券属性与债券收益率的关系1.期限当预期收益率(市场利率) 调整时，期限越长，债券的价格波动幅度越大；但是，当期限延长时，单位期限的债券价格的波动幅度递减。2.息票率当预期收益率(市场利率) 调整时，息票率越低，债券的价格波动幅度越大。3.可赎回条款当债券被赎回时，投资收益率降低。所以，作为补偿，易被赎回的债券的名义收益率比较高，不易被赎回的债券的名义收益率比较低。4.税收待遇享受税收优惠待遇的债券的收益率比较低，无税收优惠待遇的债券的收益率比较高。5.流动性流动性高的债券的收益率比较低，流动性低的债券的收益率比较高。6.违约风险违约风险高的债券的收益率比较高，违约风险低的债券的收益率比较低。7.可转换性可转换债券的收益率比较低，不可转换债券的收益率比较高。8.可延期性可延期债券的收益率比较低，不可延期的债券收益率比较高。久期马考勒久期：由马考勒(F.R.Macaulay, 1938) 提出，使用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间。计算公式：∑Tctt×tD=t=1(1+y)Tctt/(1+y)TPV(ct)P=∑[×t]=t=1P∑[t=1P×t](6)其中，D是马考勒久期，P是债券当前的市场价格，c是债券未来第t次支付的现金流(利息或本金)，T是债券在t存续期内支付现金流的次数，t是第t次现金流支付的时间，y是债券的到期收益率，PV(ct) 代表债券第t期现金流用债券到期收益率贴现的现值。久期例5-16：某债券当前的市场价格为950.25美元，到期收益率为10%，息票率为8%，面值1000美元，3年后到期，每年付一次利息，到期一次性偿还本金。马考勒久期：D= (72.73×1 +66.12×2+811.40×3)/950.25 = 2639.17/950.25 = 2.78 (年) 马考勒久期定理定理一：只有贴现债券的马考勒久期等于它们的到期时间。定理二：直接债券的马考勒久期小于或等于它们的到期时间。只有仅剩最后一期就要期满的直接债券的马考勒久期等于它们的到期时间，并等于1 。定理三：统一公债的马考勒久期等于[1+1y]，其中y是计算现值采用的贴现率。定理四：在到期时间相同的条件下，息票率越高，久期越短。定理五：在息票率不变的条件下，到期时间越长，久期一般也越长。严重折价债券，到期时间越长，久期反而越短。定理六：在其他条件不变的情况下，债券的到期收益率越低，久期越长。久期式中，∑Tct/(1+y)tTt=1P=1P∑c1+y)t=1t/(×P=1t=1P马考勒久期是一个时间的加权平均，其单位是年，权重是各期现金流的现值占债券价格的比重。决定久期大小的三个因素：各期现金流、到期收益率及其到期时间。债券组合的马考勒久期计算公式：Dp=∑kWiDii=1其中，Dp表示债券组合的马考勒久期，W表示债券i的市场价值占该债券组合市场价值i的比重，Di表示债券i的马考勒久期，k表示债券组合中债券的个数。马考勒久期定理定理一：TD=cT/(1+y)cT)P×T=PV(P×T=1×T=T(5.8)定理二：∑Tctt×tD=t=1(1+y)P=ct/(1+y)P×1+ct/(1+y)2c/(1+y)TP×2+...+TP×Tc/(1+y)c/(1+y)2T≤tP×T+tP×T+...+cT/(1+y)P×T = T (5.9)马考勒久期与债券价格的关系假设现在是0时刻，假设连续复利，债券持有者在ti时刻收到的支付为c益率y′的关系为：i(1≤i≤n)，则债券价格P和连续复利到期收nP=∑c∂Pnie−y′tii=1′=−∑cit′ti∂yie−yni=1−y′tiiienD=∑tci=1c−y′tiieP=∑ti[i=1P]债券价格的变动比例等于马考勒久期∂P∂P乘上到期收益率微∂y′=−PDP=−D∂y′小变动量的相反数凸度(Convexity) 定义：凸度(Convexity) 是指债券价格变动率与收益率变动曲线关系的曲度。如果说马考勒久期等于债券价格对收益率一阶导数的绝对值除以债券价格，我们可以把债券的凸度(C) 类似地定义为债券价格对收益率二阶导数除以价格。即：=1∂2CPP∂y2图5-5. 价格敏感度与凸度的关系不同凸度的收益率变动幅度与价格变动率之间的真实关系用久期近似计算的收益率变动与价格变动率的关系修正久期当收益率采用一年计一次复利的形式时，人们常用修正的久期(Modified Duration，用D*表示) 来代替马考勒久期。修正久期的定义：D*=D1+y修正久期的公式：∵ ∂PP=−D∂y1+y=−D*∂y∴ ΔPP≈−D*Δy (5-18)修正的久期越大，债券价格的波动越大。这是用久期考察收益率与价格变动关系的近似计算。久期的缺陷现实生活中，债券价格变动率和收益率变动之间的关系并不是线性关系，而是非线性关系。如果只用久期来估计收益率变动与价格变动率之间的关系，那么从公式(5-18) 可以看出，收益率上升或下跌一个固定的幅度时，价格下跌或上升的幅度是一样的。显然这与事实不符。(见图5-5)图5-5说明的问题：当收益率下降时，价格的实际上升率高于用久期计算出来的近似值，而且凸度越大，实际上升率越高；当收益率上升时，价格的实际下跌比率却小于用久期计算出来的近似值，且凸度越大，价格的实际下跌比率越小。这说明：(1) 当收益率变动幅度较大时，用久期近似计算的价格变动率就不准确，需要考虑凸度调整；(2) 在其他条件相同时，人们应该偏好凸度大的债券。考虑凸度的收益率变动幅度与价格变动率之间的关系考虑了凸度的收益率变动和价格变动关系：dP=−D*12Pdy+2C(dy)当收益率变动幅度不太大时，收益率变动幅度与价格变动率之间的关系就可以近似表示为：ΔP=−D*12PΔy+2C(Δy)久期免疫的进化免疫资产的构造：先计算实现承诺的现金流的久期，然后投资于一组具有相同久期的债券资产组合。久期免疫的缺陷：久期是对债券价格变化的一阶近似，因此，一般来说，久期会低估利率变动带来的预期收益或高估损失。改进方法：由于凸度是二阶估计，考虑凸度可以提高利用久期得到的结果，尤其是在利率变化很大时，凸度可以修正通过久期得到关于债券价格变化的估计。习题9(2) 当到期收益率=10%时，计算过程：时间现金流现金流的现值现值乘时间16054.54545554.54545526049.58677799.17355431060796.393692389.1811小计900.525922542.9001久期=2542.90/900.53=2.824年。免疫久期免疫(immunization)：¾免疫技术：投资者或金融机构用来保护他们的全部金融资产免受利率波动影响的策略。经过处理，债券投资组合的收益率不受利率变动的影响。由雷丁顿(Readington, 1952) 首先提出。¾两种作用相互抵消的利率风险：价格风险和再投资风险。¾久期免疫：如果资产组合的久期选择得当，恰好与投资者的持有期相等时，价格风险与再投资风险将完全抵消，到期时投资组合的累积价值将不受利率波动的影响。习题9一种3年期债券的息票率为6%，每年支付一次利息，到期收益率为6%，请计算该债券的久期。如果到期收益率为10%，那么久期等于多少？利用久期计算的债券价格与实际债券价格相差多少？（1）当到期收益率=6%时，计算过程：支付时间现金流现金流的现值现值*时间16056.60377456.60377426053.399786106.7995731060889.996442669.9893小计10002833.3927久期=2833.39/1000=2.833年。习题9（3）当到期收益率为10%时的价格： 3P=∑601000t+3t=11.11.1=900.53元利用久期计算： ΔP=−PDdy1+y=−1000×2.83×0.041.06=−106.79所以，价格为：P=1000-106.79=893.21元。误差为：893.21-900.53=-7.32元，误差率为：-7.32/900.53=0.81%。