2019-2020学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（3分）下列函数关系式：①y＝﹣2x，②A．①⑤
B．①④⑤
，③y＝﹣2x2，④y＝2，⑤y＝2x﹣1．其中是一次函数的是（ ） C．②⑤
D．②④⑤
2．（3分）若一次函数y＝（a﹣3）x﹣a的图象经过第二、三、四象限，则a的取值范围是（ ） A．a≠3
B．a＞0
C．a＜3
D．0＜a＜3
3．（3分）如图，▱ABCD中，∠A比∠D大40°，则∠C等于（ ）
A．70°
B．100°
C．110°
D．120°
4．（3分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，有下列条件：①BE＝DF；②AE∥CF；③AE＝CF；④∠BAE＝∠DCF．其中，能使四边形AECF是平行四边形的条件有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5．（3分）据了解，某定点医院收治的7名新型冠状肺炎患者的新冠病毒潜伏期分别为2天，3天，3天，4天，4天，4天，7天，则这7名患者新冠病毒潜伏期的众数和中位数分别为（ ） A．4天，4天
B．3天，4天
C．4天，3天
D．3天，7天
6．（3分）甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，他们射击成绩的平均环数及方差S2如表所示，若要选出一个成绩较好且状态稳定的运动员去参赛，那么应选运动员（ ）
s2
A．甲
B．乙
甲 8 1
C．丙
乙 9 1.1
D．丁
丙 9 1.2
丁 8 1.3
7．（3分）若方程（m﹣1）xA．0
B．±1
﹣x﹣2＝0是一元二次方程，则m的值为（ ）
C．1
D．﹣1
8．（3分）用配方法解方程x2+2x﹣1＝0时，配方结果正确的是（ ） A．（x+2）2＝2
B．（x+1）2＝2
C．（x+2）2＝3
D．（x+1）2＝3
9．（3分）把抛物线y＝x2向上平移3个单位，再向右平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ） A．y＝（x+3）2+1
B．y＝（x+3）2﹣1
C．y＝（x﹣1）2+3 D．y＝（x+1）2+3
10．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，点E、F分别在线段BC、AB上，将△BEF沿EF翻折，点B落在AD上的点P处，且AB＝4，BE＝5，则AP的长为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
11．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．abc＞0
B．a+b+c＝0
C．4a﹣2b+c＜0
D．b2﹣4ac＜0
12．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+3，截取该函数图象在0≤x≤4间的部分记为图象G，设经过点（0，t）且平行于x轴的直线为l，将图象G在直线l下方的部分沿直线l翻折，图象G在直线上方的部分不变，得到一个新函数的图象M，若函数M的最大值与最小值的差不大于5，则t的取值范围是（ ） A．﹣1≤t≤0
B．﹣1≤t≤﹣
C．﹣
D．t≤﹣1或t≥0
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．将答案填在答题卡中对应题号后的横线上．） 13．（3分）计算5个数据的方差时，得s2＝的值为 ．
14．（3分）已知一次函数y＝﹣3x+m的图形经过了A（x1，1），B（x2，﹣2），C（x3，3），则x1，x2，x3的大小关系为 ．
15．（3分）一抛物线和另一抛物线y＝﹣2x2的形状和开口方向完全相同，且顶点坐标是（﹣2，1），则该抛物线的解析式为 ．
[（5﹣）2+（8﹣）2+（7﹣）2+（4﹣）2+（6﹣）2]，则
16．（3分）已知关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
17．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝24，BD＝10，DE⊥BC，垂足为点E，则DE＝ ．
18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（6分）如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）． （1）求直线AB的解析式；
（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC＝2，求点C的坐标．
20．（6分）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE． （1）求证：BD＝EC；
（2）若∠E＝50°，求∠BAO的大小．
21．（8分）某校在开展读书交流活动中全体师生积极捐书．为了解所捐书籍的种类，对部分书籍进行了抽样调查，李老师根据调查数据绘制了如图所示不完整统计图．请根据统计图回答下面问题：
（1）本次抽样调查的书籍有多少本？请补全条形统计图； （2）求出图1中表示文学类书籍的扇形圆心角度数；
（3）本次活动师生共捐书1200本，请估计有多少本科普类书籍？
22．（8分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0） （1）求m的值及抛物线的顶点坐标．
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．
23．（9分）甲商品的进价为每件20元，商场确定其售价为每件40元．
（1）若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件32.4元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率；
（2）经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若该商场希望该商品每月能盈利10000元，且尽可能扩大销售量，则该商品在原售价的基础上应如何调整？
24．（9分）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．
25．（10分）在正方形ABCD中，E是△ABD内的点，EB＝EC． （1）如图1，若EB＝BC，求∠EBD的度数；
（2）如图2，EC与BD交于点F，连接AE，若S四边形ABFE＝a，试探究线段FC与BE之间的等量关系，并说明理由．
26．（10分）已知函数y1＝x，y2＝x2+bx+c，α，β为方程y1﹣y2＝0的两个根，点M（t，T）在函数y2的图象上． （Ⅰ）若α＝
，β＝
，求函数y2的解析式；
时，求t的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数y1与y2的图象的两个交点为A，B，当△ABM的面积为（Ⅲ）若0＜α＜β＜1，当0＜t＜1时，试确定T，α，β三者之间的大小关系，并说明理由．
2019-2020学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．【解答】解：①y＝﹣2x是一次函数； ②
自变量次数不为1，故不是一次函数；
③y＝﹣2x2自变量次数不为1，故不是一次函数； ④y＝2是常数； ⑤y＝2x﹣1是一次函数． 所以一次函数是①⑤． 故选：A．
2．【解答】解：∵一次函数y＝（a﹣3）x﹣a的图象经过第二、三、四象限， ∴
，
解得：0＜a＜3． 故选：D．
3．【解答】解：如图所示：
则∠A+∠D＝180°， 又∠A﹣∠D＝40°， ∴∠A＝110°，∠D＝70°， ∴∠C＝∠A＝110°． 故选：C．
4．【解答】解：①正确，理由如下： ∵四边形ABCD平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， 又∵BE＝DF，
∴AF＝EC． 又∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形． ②正确，理由如下： ∵AF∥EC，AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形； ④正确；理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D， ∵∠BAE＝∠DCF， ∴∠AEB＝∠CFD． ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠EAD． ∴∠CFD＝∠EAD． ∴AE∥CF． ∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵AE＝CF不能得出四边形AECF是平行四边形， ∴③不正确；
能使四边形AECF是平行四边形的条件有3个． 故选：C．
5．【解答】解：从小到大排列此数据为：2天，3天，3天，4天，4天，4天，7天， 数据4天出现了三次最多为众数； 4天处在第4位为中位数． 故选：A．
6．【解答】解：由表可知乙、丙的平均环数大于甲、丁的平均环数， ∴乙、丙的成绩较好， 又∵乙的方差小于丙的方差，
∴乙的成绩较好且状态稳定， ∴应选运动员乙， 故选：B．
7．【解答】解：根据题意得： m2+1＝2，
解得：m＝1或﹣1，
把m＝1代入m﹣1得：m﹣1＝0（不合题意，舍去）， 把m＝﹣1代入m﹣1得：m﹣1＝﹣2（符合题意）， 故选：D．
8．【解答】解：∵x2+2x﹣1＝0， ∴x2+2x+1＝2， ∴（x+1）2＝2． 故选：B．
9．【解答】解：由“上加下减”的原则可知，把抛物线y＝x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝x2+3； 由“左加右减”的原则可知，把抛物线y＝x2+3向右平移1个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2+3． 故选：C．
10．【解答】解：作EG⊥AD于G．
则四边形ABEG为矩形，AG＝BE＝5，GE＝AB＝4， 由折叠性质可知，PE＝BE＝5， 由勾股定理得， PG＝
＝
，
∴AP＝AG﹣PG＝5﹣3＝2， 故选：B．
11．【解答】解：由图象可得， a＞0，b＜0，c＜0，
∴abc＞0，故选项A正确；
当x＝1时，y＝a+b+c＜0，故选项B错误； 当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，故选项C错误；
该函数图象与x轴两个交点，则b2﹣4ac＞0，故选项D错误； 故选：A．
12．【解答】解：如图1所示，当t等于0时，
∵y＝﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点坐标为（1，4）， 当x＝0时，y＝3， ∴A（0，3）， 当x＝4时，y＝﹣5， ∴C（4，﹣5）， ∴当t＝0时， D（4，5），
∴此时最大值为5，最小值为0； 如图2所示，当t＝﹣1时，
此时最小值为﹣1，最大值为4． 综上所述：﹣1≤t≤0， 故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．将答案填在答题卡中对应题号后的横线上．） 13．【解答】解：＝故答案为6．
14．【解答】解：∵k＝﹣3＜0， ∴函数y随x增大而减小， ∵﹣2＜1＜3， ∴x2＜x1＜x3． 故答案为x2＜x1＜x3．
15．【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，且该抛物线的形状与开口方向和抛物线y＝﹣2x2相同， ∴a＝﹣2，
∴y＝﹣2（x﹣h）2+k， ∵顶点坐标是（﹣2，1）， ∴y＝﹣2（x+2）2+1，
∴这个函数解析式为y＝﹣2（x+2）2+1， 故答案为：y＝﹣2（x+2）2+1．
16．【解答】解：由关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根 得△＝b2﹣4ac＝4+4×3a＞0，
＝6
解得a＞则a＞
且a≠0
且a≠0
故答案为a＞
17．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝BC，AC⊥BD，AO＝OC，DO＝BO， ∵AC＝24，BD＝10，
∴AO＝12，OD＝5，由勾股定理得：AD＝13， ∴BC＝13， ∴S菱形ABCD＝∴
AC•BD＝BC×DE，
×24×10＝13×DE，
， ．
解得：DE＝故答案为：
18．【解答】解：连接AP， ∵PE⊥AB，PF⊥AC， ∴∠AEP＝∠AFP＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴四边形AEPF是矩形， ∴AP＝EF，
∵∠BAC＝90°，M为EF中点， ∴AM＝
EF＝
AP，
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12， ∴BC＝
＝13，
当AP⊥BC时，AP值最小， 此时S△BAC＝∴AP＝
，
×5×12＝
×13×AP，
即AP的范围是AP≥∴2AM≥
，
，
∴AM的范围是AM≥∵AP＜AC， 即AP＜12， ∴AM＜6， ∴
≤AM＜6．
，
故答案为：≤AM＜6．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∵直线AB过点A（1，0）、点B（0，﹣2）， ∴解得
， ，
∴直线AB的解析式为y＝2x﹣2．
（2）设点C的坐标为（x，y）， ∵S△BOC＝2， ∴
•2•x＝2，
解得x＝2， ∴y＝2×2﹣2＝2， ∴点C的坐标是（2，2）．
20．【解答】（1）证明：∵菱形ABCD，
∴AB＝CD，AB∥CD， 又∵BE＝AB， ∴BE＝CD，BE∥CD， ∴四边形BECD是平行四边形， ∴BD＝EC；
（2）解：∵平行四边形BECD， ∴BD∥CE，
∴∠ABO＝∠E＝50°， 又∵菱形ABCD， ∴AC丄BD，
∴∠BAO＝90°﹣∠ABO＝40°． 21．【解答】解；（1）8÷20%＝40（本）， 其它类；40×15%＝6（本）， 补全条形统计图，如图2所示：
（2）文学类书籍的扇形圆心角度数为：360×
（3）普类书籍有：
×1200＝360（本）．
＝126°；
22．【解答】解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y＝﹣x2+mx+3得：0＝﹣32+3m+3， 解得：m＝2，
∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标为：（1，4）．
（2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小， 设直线BC的解析式为：y＝kx+b， ∵点C（0，3），点B（3，0）， ∴解得：
， ，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3， 当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：（1，2）．
23．【解答】解：（1）设这种商品平均降价率是x，依题意得：40（1﹣x）2＝32.4， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去）； 答：这个降价率为10%；
（2）设降价y元，则多销售y÷0.2×10＝50y件， 根据题意得（40﹣20﹣y）（500+50y）＝10000， 解得：y＝0（舍去）或y＝10，
答：该商品在原售价的基础上，再降低10元． 24．【解答】解：（1）设y＝kx+b，
∵直线y＝kx+b经过点（40，300），（55，150）， ∴解得：
， ．
故y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x+700，
（2）由题意，得 ﹣10x+700≥240， 解得x≤46， ∴30＜x≤46，
设利润为w＝（x﹣30）•y＝（x﹣30）（﹣10x+700）， w＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000， ∵﹣10＜0，
∴x＜50时，w随x的增大而增大，
∴x＝46时，w最大＝﹣10（46﹣50）2+4000＝3840，
答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元； （3）w﹣150＝﹣10x2+1000x﹣21000﹣150＝3600， ﹣10（x﹣50）2＝﹣250， x﹣50＝±5， x1＝55，x2＝45， 如图所示，由图象得：
当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．
25．【解答】解：（1）如图1，∵EB＝BC＝EC， ∴△EBC是等边三角形， ∴∠EBC＝60°，
∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CBD＝45°，
∴∠EBD＝∠EBC﹣∠CBD＝60°﹣45°＝15°；
（2）线段FC与BE之间的等量关系是：FC•BE＝2a，理由是： 如图2，连接AF交BE于G，
∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABD＝∠DBC， ∵BF＝BF，
∴△ABF≌△CBF（SAS）， ∴AF＝CF，∠BAF＝∠BCF， ∵EB＝EC， ∴∠ECB＝∠EBC， ∵∠ABC＝∠DCB＝90°， ∴∠ABE＝∠DCE，
∴∠ABE+∠BAF＝∠DCE+∠BCE＝90°， ∴∠AGB＝90°， ∴AF⊥BE，
∴S四边形ABFE＝S△ABE+S△BEF， ＝＝＝
， ，
，
∵S四边形ABFE＝a， ∴
＝a，
∴FC•BE＝2a．
26．【解答】解：（1）∵y1＝x，y2＝x2+bx+c，y1﹣y2＝0， ∴x2+（b﹣1）x+c＝0． 将α＝得（
，β＝
分别代入x2+（b﹣1）x+c＝0，
+c＝0，（
）2+（b﹣1）×
+c＝0，
）2+（b﹣1）×
，c＝
．
解得b＝
∴函数y2的解析式为y2＝x2+
（2）由已知得：A（设△ABM的高为h， ∴S△ABM＝
AB•h＝
h＝h， ，
x+．
），B（，），得AB＝＝，
，即h＝，
根据题意：|t﹣T|＝由T＝t2+得：|﹣t2+当t2﹣当t2﹣
t+t+t+t﹣
， |＝
，
时，解得：t1＝t2＝时，解得：t3＝
； ，t4＝
；
＝﹣＝，
∴t的值为：
，；
（3）由已知，得α＝α2+bα+c，β＝β2+bβ+c，T＝t2+bt+c． ∴T﹣α＝（t﹣α）（t+α+b）； T﹣β＝（t﹣β）（t+β+b）；
α﹣β＝（α2+bα+c）﹣（β2+bβ+c）， 化简得（α﹣β）（α+β+b﹣1）＝0． ∵0＜α＜β＜1，得α﹣β≠0， ∴α+β+b﹣1＝0．
有α+b＝1﹣β＞0，β+b＝1﹣α＞0．
又∵0＜t＜1，
∴t+α+b＞0，t+β+b＞0， ∴当0＜t≤a时，T≤α＜β； 当α＜t≤β时，α＜T≤β； 当β＜t＜1时，α＜β＜T．
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