2019 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）
8 小题，每小题 5 分，满分 40 分．
一、选择题：本大题共 1．已知集合 M A. {0,1}
{ 1,0,1} ， N {0,1,2} ，则 M
B. { 1,0, 2}
N
D. { 1,0,1}
C. { 1,0,1,2}
2．已知复数 Z 满足 (3 4i)z 25，则 Z= A.
3 4i
B.
3 4i
y x
C.
3 4i
D.
3 4i
3．若变量 x, y
满足约束条件
1 2 且 的最大值 x y z x y y
1
C.7
2
x y 1与曲线 x
25 9 k 25 k 2
2
2
A.5 B.6 D.8
4．若实数 k 满足 0 A. 焦距相等 5．已知向量 a
k 9，则曲线
B.
y 9
1的
D. 离心率相等
实半轴长相等 C. 虚半轴长相等
1,0, 1 ，则下列向量中与 a
B. （1,-1,0 ）
60 夹角的是成
D. （-1,0,1 ）
A. （-1,1,0 ） C.（0,-1,1 ） 1 和图 2 所示， 近视率 /%
6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图
小学生 3500 名
高中生 2000 名
50 30
初中生 4500 名
10 O
小学
初中
高中
年级
A.200,20 B.100,20 C.200,10
l1,l2,l3, l4 ，满足 l1
D.100 ，10
7．若空间中四条两两不同的直线 A. l
1
l2,l2 l3 ,l3 l4 ，则
D. l1 ,l4 的位置关系不确定
l
4
B.
1
2
l1 / /l4
3
4
5
C.
l1,l4 既不垂直也不平行
8．设集合 A=
“1
x , x , x ,x , x xi { 1,0,1}, i 1,2,3,4,5 x3
x4
x5
3”的元素个数为
C.120
，那么集合 A 中满足条件
x1
x2
A.60 B.90 D.130
二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分．
（一）必做题（ 9～13 题）
***
***
9．不等式 x 10．曲线 y
1 x 2 5
的解集为
。
。
e 5x 2在点 ( 0,3) 处的切线方程为
***
***
11．从 0,1,2,3,4,5,6,7,8 ，9 中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是 6 的概率为
a
。
12．在
ABC中，角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b, c ，已知 b cosC c cosB 2b，则
b
。
13．若等比数列 an 的各项均为正数，
（二）选做题（ 14～15 题，考生从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线 极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 _________.
15．（几何证明选讲选做题）如图
3, 在平行四边形
C1 和C2 的方程分别为
2
sin
x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线
cos 和 sin 1，以 C 和C2 交点的直角坐标
为
1
E 在 AB 上且 EB 点
CDF
的面积 AEF
的面积
2AE ， AC 与 DE 交于点 F ，则
ABCD 中，
D
C
F
A
E
三、解答题：本大题共 6小题，满分 80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
5 3
16),x R ，且 f ( ) ， ．（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x ) A sin( x
B
4
12 2
（1）求 A的值；
（2）若
3 )
，
f ( ) f (
2
3
(0, )，求 f (
2 4
) 。
17．（本小题满分 13 分）随机观测生产某种零件的某工厂 25 名工人的日加工零件数（单位：件） ，获得数据如
下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36 ，根据上述数据得到 样本的频率分布表如下： 分组 频数 频率 [25,30 ] (30,35 ] (35,40 ] (40,45 ]
3 5 8 n
0.12 0.20 0.32
1
f f
1 2
(45,50 ] n 2
（1）确定样本频率分布表中
n1,n2, f1 和 f2 的值；
4 人，至少有 1 人的日加工零件数落在区间（
30,35 ］的概率。
（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图； （3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取
18．（本小题满分 13 分）如图 4，四边形 ABCD为正方形， PD 点 F ， FE / /CD ，交 PD 于点 E . （1）证明： CF （2）求二面角 D
ABCD ，平面
DPC
0
30 ， AF PC 于
平面ADF
AF E
的余弦值。
A
B
D
***
***
E
P
F
C ***
***
19．（本小题满分 14 分）设数列 a 的前 n 和为 Sn , 满足 S
n
2 *
2na
n 1
3n 4n, n N
S3 ，且
15，
n
(1) 求 a1,a2 ,a3 的值 ;
(2) 求数列 an 的通项公式。
20．（本小题满分 14 分）已知椭圆 （1）求椭圆 C的标准方程；
2 2
x
2
y
2
C :
a
b
5 ， 的一个焦点为 ( 5,0) ，离心率为
3 1(a b 0)
P 的轨迹方
（2）若动点 P(x , y ) 为椭圆外一点，且点 P 到椭圆 C的两条切线相互垂直，求点
程。
0
0
21．（本小题满分 14 分） 设函数
f (x)
2
2
1
2
，其中 k
2x k) 3
2，
(x
（1）求函数 f (x) 的定义域 D（用区间表示） ； （2）讨论函数 f (x) 在 D上的单调性； （3）若 k
2x k) 2(x
6，求 D上满足条件 f (x) f (1)的 x 的集合（用区间表示） 。
***
***
2019 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）参考答案 成本文 6/8/2018
１－８： CDBA BADD; ８. 解：A 中元素为有序数组 仅 3 个数为 1，所以共有 9. (
x1,x2, x3,x4, x5 ，题中要求有序数组的
1
2
3
5 个数中仅 1 个数为
1、仅 2 个数为 1
或
C5 2 C5 2 2 C5 2 2 2 130个不同数组； y
5x 3 ; 11. 1
; 12.2; 13.50; 14.(1,1); 15.9;
, 3) (2, ) ; 10.
6
3
3
C C
1
6
3
P 11. 解：6 之前 6 个数中取 3 个， 6 之后 3 个数中取 3 个，
3
；
6 C
10
16. 解：（1） (5 ) 17.
sin( 5 A 12
) 3 4
2
，
f
12
3 A
2
（2） ( )
3
， A
3 ； f ( ) f ( ) )
3 sin(
) 4
3 sin(
) 3 4
， 3
cos )]
2
2
( f
，
f
2
2 3[ (sin 2
6 cos
cos )
3 ， 2 cos
2
2
( sin 2 6 ，又 4
， 10
(0, ) ，
2
sin 3 f ( 4
1 cos
3 sin( )
4 )
3 sin
30 4
．
18. 解：（1） n1
频率 组距
7, n2 2 ， f1 0.28, f2 0.08 ；
（2）样本频率分布直方图为
0.64 0.56 0.4 0.24 0.25 0.016
日加工零件数
0
25 30 35 40 45 50
（3）根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间（ 设所取的 4 人中，日加工零件数落在区间（
4
***
30,35 ］的概率 0.2 ， ，则 ~ B (4, 0.2) ，
30,35 ］的人数为
***
P( 1) 1 P( 0) 1 (1 0.2) 1 0.4096 0.5904 ，
30,50 ］的概率约为 0.5904 ．
所以 4 人中，至少有 1 人的日加工零件数落在区间（
PD 平面 ABCD ，
PD AD ，又C D AD ， PD CD D ， AD 平面 PCD，
AD PC，又 AF PC ，
PC 平面 ADF ，即 CF 平面ADF ；
Rt PDC 中， CD 1，又 （２）设 AB 1，则
19. （１）
DPC
0
30 ，
z
PC 2， PD
3 ，由（１）知 CF
DF
DF
***
3
， AF
2
2
2
AD DF
7
，
2
A
D
B
C
***
2 2
1
，又 FE / /CD ，
CF DE PD
AC CF PC
4
，
AF
2
1
，
DE
4
3 ，同理
3 EF 4
3
示，以 D为原点，建立空间直角坐标系，则
CD ，
4 如图所
A(0,0,1) ，
E (
,0,0) 3 4
( 3 , 3 ,0) F ， P( 3,0,0) ， C (0,1,0) ，
4 4
3 AE 设 m (x, y, z) 是平面 AEF 的法向量，则 m AE ( ,0,0) ， ，又
m EF 4
EF
3 (0, ,0) 4
3 0 ，令 x 4 ，得 z 3 ， m (4,0, 3) ，
x z 所以 m AE
4 3 0
m EF y
4
ADF 的一个法向量 PC ( 3,1,0) ，
设二面角 D AF E 的平面角为 ，可知 为锐角， | m PC | 4 3 2 57 ，即所求． cos | cos m, PC |
19 | m| | PC |
由（１）知平面
19 2
10. 解： S2
4a3 20 ， S3 S2 a3 5a3 20 ，又 S3 15 ，
S1 a2 (2 a2 7) a2
3a2 7 ，
2a2 7 3， 5， a3 7 ； a
n
a3 7 ， S2 4a3 20 8，又 S2 a2 5 ， a1 S1
综上知 a1
3，a2
（２）由（１）猜想
2 1
n ，
2k 1，
1时，结论显然成立； ②假设当 n k （ k 1）时， ak
①当 n
则
3 5 7 (2
k
k
1) 3 (2 1)
k
2
( k k k
2)
2
S
k
2ka
k 1
3k
4k ，
S
，又
2
k(k 2) 2ka
k 1
3k
4k ，解得
2a
k 1
4k 6 ，
a
k
1
2(k 1) 1，即当 n k 1
*, n N a
n
时，结论成立；
由①②知，
2 1 n ．
11. 解：（１）可知 c 5 ，又
c a
椭圆 C的标准方程为 x
2
2
5 ， a 3 ， 3
2 2 2
4
，
b a c
y 4
1
9
***
；
***
（２）设两切线为 l1, l2 ， ①当 l
1
x 轴或 l1 / /x 轴时，对应 l2 / /x 轴或 l2 x 轴，可知 P( 3, 2)
1 ， k
l 与 x 轴不垂直且不平行时， x0
②当
1
2
3，设 l1 的斜率为 k ，则 k 0，l2 的斜率为
2
x
l 的方程为 y y0
1
y
1
，
k(x x0) ，联立
9
4
2
2 2
(9 k 4)x 18( y
kx )kx 9( y
kx )
36 0 ，
得
0
0
0
因为直线与椭圆相切，
2
2
36k
4[( y
kx )
4] 0 ，
0 0
2
2
2
(x
9) k 2x y k y
4 0
0
0 0
0 所以
k 2
2
2
是方程(x
9)x 2x y x y
0
0 0
0
***
0
4 0 的一个根，
***
同理
2 1 是方程 2
(x 9) x k 0
2
2x y x y
0 0 2
2
0
4 0 的另一个根，
1 k
( ) k
2 2
4 9
，得
x0 y0
13，其中 x0
3 ，
y x
0 0
所以点 P的轨迹方程为 2
2
13
x y x （
3） ，
2
因为 P( 3, 2) 满足上式，综上知：点 12. 解：（１）可知
2
2
2
P的轨迹方程为 2
13
．
x y
2
( x 2x k)
2
2(x 2x k) 3 0 ，
[( x
2
x
2x k) 3] [( x 2x k) 1] 0，
2 3 2 2 1 x k 或 x x k ，
2
(x 1) | x 1| 1
2 k ( 2 k 2 k 或| x 1| 2 k
x
1
2
0) 或 (x 1)
2 k (2 k 0) ， 1
2 k 或 x
1
2 k ，
2 k ， 2 k 或 x
所以函数 f (x) 的定义域 D为
2 k ) ( 1 2 k, 1 2 k ) ( 1
2
2(x 2x k )(2 x 2) 2(2 x 2) （２） f '( x)
3
2
2
2
( , 1 2 k ,
2
2
) ；
2x k 1)(2 x 2)
3
2
2
(x
，
2 ( x
由 f '( x)
得
2x k) 2(x 2x k) 3 (x k )( x 1 1
2x k) 2(x 2x k) 3
0
2
(x 2x k 1)(2 x 2) 0 ，即 (x 1
1
k ，结合定义域知 x
k )( x 1) 0 ，
1
2 k ，
x 1 k 或 1 x 2 k 或 1 x
所以函数 f (x) 的 同理递减区间为 ( 1 （３）由 f (x)
2
2
2 k, 1)，( 1
2
2 k,
2
2
) ；
2
f (1)得
2
( x
2
2x k) 2(x 2x k) 3 (3 k) 2(3 k) 3 ，
[( x
2
2x k) (3 k) ] 2[( x
2
2x k) (3 k)] 0 ，
(x x
2x 2k 5) (x
2k 4)( x 1 2k 4 或 x
1
1
2x 3) 0，
2k 4) ( x 3)( x 1) 0， 1
2k 4 或 x
2k 4
(x 1
3 或 x 1，
2 k, 1)， 1
2 k ，
k
1
6 ， 1 ( 1, 1
2k 4
2 k ) ， 3 ( 1
f (1)的解集为
2 k, 3)
2 k ， 1
结合函数 f (x) 的单调性知 f (x)
( 1 2k 4, 1 2 k ) ( 1 (1, 1 2 k) ( 1 2 k, 1 2k 4) ．
***
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