组合恒等式的证明(四川云阳县中学)傅劣.千1+c,令二一。得C一+C一击,再令X一`。,兵·~、直接利用组合数公式证明击一故原式成立,2音C一+…十南C二+击二利用组合定义证用十1+C[例1]求证C。、,”一i+ZC1,二C,+:”+1证四类::从二十2个不同元中取仇+i)含指定元甲乙的有C、。个元的组合可分明几种11)不含一,含虚系数的一元二次方程的一种解法(黑龙江柴河林业局五中)杨金侠某些含虚系数的一元二次方程甲、乙的有C二m十`种种,111)、iv)含甲不含乙与含乙不含甲的各有C三.、。爪由加法原理得原式用十字相乘法分利用组合性质证1解因式求解较其他方法为简+C。,如例C一+原式左=(C。。m+i2’附)+(C。“一i+C,,)例解::解方程①`⑧①劣2一3劣十3一i=0一咐+1、+C十1’=C。+十1一工2+3一i二(一2+5葱)劣+3+5泣=0四利用二项式定理证2(一1+i)(一2一i),[例[例〕求证C=C,二o+Co,2+C,4+…而(证略)i(一1+i)+(一2一f)=一3-1+C,3,+CO·sr+…=2卜13〕求证C在(xrCo1+C。`Cor一+…+C,。”一1方程可化为[二+(一l+i)1[xxl,=1一i+(一2一`)〕二oZ,C。:+C。rCxoo”二C+。`x=2+1略证,:1+二)”+脚=(1+)(1+x)m的展开,②一5亡…2一3一51=4墓一5若+1=(4:一1)(i一1)1一该)+式中两边五、的系数相等oo+即得原式:,二(1一云)(1一Z41),而((下一41)二2利甩特殊数列求和的方法证4方程可化为x(x+l一0x(+1一4`)二0,[例证附一1.」CC。+。“;1一+C。++…+C。十。一、“一,xl,=一!+f=一1+4葱=C。+ii,(劣+1)k,(x+1)左+(x+l,)`气+两圆正交定理及其应用戈沪+(劣+1户一1成等比:列(万笋一1)“当o时,(江苏泰州橡胶总厂职中)过两圆的交点作两圆的切线两圆的交角于志洪习`一1(x+`)“一,奋一e〔(x+,)`·一`二+`,`“比较两边,二切线所成的角称护的系数即得若交角为直角l:,则称两圆正交+92+d:二+e:六、利用复数证明c,[定理〕已知④COC.二2g+:f=0,Z:xZ+92+d:戈+eZ,[例司e。,2+c`一e.。+,.=2晋cos`n兀~矛+儿=。,则两圆正交的:.i一c.J+e。s一e。,+二=2舍sin,-丝4ZleZ=充要条件是适d+e,2f十f(z)(注大前提略证i立:企二项式定理中令a=1b二`,中已要求是圆口`,2即山+,比较两复数的实部和虚部即得七、一4f.>01二z2)利用微积分法证+。证::由平几知过两之圆交点月的切线分{叮过CC。,,故二叫正文的充要条:[例6〕求证喜`e+e喜J“。:+…+南卯件是。2+r22一e1一即、户、,涵“+X,dX一·南(一lC+C.`2“一`’+C”C22。一告“(、12+一一、,):一+…+省一(“之2+一’2)一(吃奢)·,·2:一2(了+!+’叹)dx功C+…++寿、“+二,一C一+音一南C:(穿警)+.dl、2+了)1:例1证明圆护+少一二+盛1二。与过两点(~l1