等比数列的前n项和公式的几种推导方法

山东 张吉林（山东省莱州五中 邮编261423）

等比数列的前n项和公式是学习等比数列知识中的重点内容之一，其公式：

aanqa1(1qn)当q1时，Sn ① 或Sn1 ②

1q1q当q=1时，Snna1

本身不仅蕴涵着分类讨论的数学思想，而且用以推导等比数列前n项和公式的方法---错位

相减法，更是在历年高考题目中频繁出现。本文变换视野、转换思维，从不同的角度加以推导，以加深对公式的理解与应用,希望能起到抛砖引玉的效果。

一般地，设等比数列a1,a2,a3,LanL它的前n项和是

Sna1a2a3an

公式的推导方法一：

Sna1a2a3an当q1时，由 n1ana1q2n2n1Sna1a1qa1qa1qa1q得

23n1nqSna1qa1qa1qa1qa1q(1q)Sna1a1qn

aanqa1(1qn)∴当q1时，Sn ① 或Sn1 ②

1q1q当q=1时，Snna1

当已知a1, q, n 时常用公式①；当已知a1, q, an时，常用公式②.

拓展延伸：若an是等差数列，bn是等比数列，对形如angbn的数列，可以用错位相减法求和。

2n2n1例题 数列an的前n项和Snn(n1)2(n2)2L222，则

Sn的表达式为（ ）．

n1nA．Sn22n2 nC．Sn2n2

n1B．Sn2n2 n1D．Sn2n2

2n2n1解析：由Snn(n1)2(n2)2L222，①

23n1n可得2Sn2n(n1)2(n2)2L222，②

②－①，得Sn22L22n12(12n)2nn2n1n2，故选（D）．

12n点评：这个脱胎于课本中等比数列前n项公式推导方法的求和法，是高考中命题率很高的地方，应予以高度的重视。 公式的推导方法二：

当q1时，由等比数列的定义得，

aa2a3nq a1a2an1根据等比的性质，有

a2a3anSa1nq

a1a2an1Snan即

Sna1q(1q)Sna1anq

Snanaanqa1(1qn)∴当q1时，Sn 或Sn1

1q1q当q=1时，Snna1

该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比的性质，导出了公式，给我们以耳目一新的另类感觉。

导后反思：定义是基础，深刻理解定义，灵活地运用好定义，往往能得到一些很有价值的结

论和规律。例如等比数列的一个常用性质：

已知数列an是等比数列（q1），Sn是其前n项的和，则Sk，S2kSk，S3kS2k，…，仍成等比数列。其推导过程可有以下两种常见的证明过程：

证明一：（1）当q=1时，结论显然成立；

（2）当q≠1时， Ska11qk1qa11qk1q,S2ka11q2k1q

,S3ka11q3k1q

S2kSka11q2k1qa1qk1qk1qS3kS2ka11q3k1q2a11q2k1q2a1q2k1qk1q

S2kSka12q2k1qk(1q)2a11qka1q2k1qkSk(S3kS2k)1q1q∴

a12q2k1qk(1q)22

S2kSk2=Sk(S3kS2k)

∴Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数列. ［这一过程也可如下证明］：

证明二：S2k－Sk=(a1a2a3La2k)－(a1a2a3Lak)

kk=ak1ak2ak3La2k=q(a1a2a3Lak)=qSk0 2k同理，S3k－S2k=a2k1a2k2a2k3La3k= qSk0

∴Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数列。

对比以上两种证明过程，我们不难看出，利用好定义在解决某些问题的过程中可以收到很简捷的效果。

公式的推导方法三：

Sna1a2a3an＝a1q(a1a2a3an1) ＝a1qSn1＝a1q(Snan)

(1q)Sna1anq

aanqa1(1qn)∴当q1时，Sn 或Sn1

1q1q当q=1时，Snna1

“方程”在代数课程里占有重要的地位，是应用十分广泛的一种数学思想，在数列一章

的公式考察中常利用方程思想构造方程（或方程组），在已知量和未知量之间搭起桥梁，来求解基本量，使问题得到解决。这种推导方法正是运用了该思想，使我们的思维不拘泥于书本。

. 以上三种推导方法，从不同的思维角度切入等比数列前n项和的表达式，着眼点不同，侧重点各异，从而在推导方法的运用上也各有千秋，推导方法一注重补因子后错位相减；推导方法二则侧重于前n项的和式与定义式的联系；而推导方法三则是构造了Sn与Sn1间的递推关系式，充分利用了Sn与Sn1和首项及公比之间的关系来得前n项的和公式。希望同学们在学习中认真领悟，仔细体味，以求使思维得到更为灵活广阔的锻炼。