导数应用八个专题汇总

题组1：

1.求函数f(x)x33x29x12的单调区间.

2.求函数f(x)x23xlnx的单调区间.

3.求函数f(x)x23xlnx的单调区间.

4.求函数f(x)

5.求函数f(x) 题组2：

1.讨论函数f(x)

2.讨论函数f(x)x3ax9x12的单调区间.

3.求函数f(x)

321的单调区间. xlnxlnxlnxln(x1)的单调区间. 1x1413xaxa2x2a4(a0)的单调区间. 4313mmx(2)x24x1(m0)的单调递增区间. 32第 1 页 共 16 页

4.讨论函数f(x)(a1)lnxax21的单调性.

5.讨论函数f(x)lnxax 题组3：

1.设函数f(x)xaxx1. (1)讨论函数f(x)的单调区间；

(2)设函数f(x)在区间(，)内是减函数,求a的取值范围．

2.(1)已知函数f(x)axxlnx在区间(1,3)上单调递增,求实数a的取值范围. (2)已知函数f(x)axxlnx在区间(1,3)上单调递减,求实数a的取值范围.

3.已知函数f(x)(x3xaxb)e. (1)若ab3,求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)在(,),(2,)单调递增,在(,2),(,)单调递减,证明:6.

4.设函数f(x)xaxax1,g(x)ax2x1, (1)若a0,求函数f(x)的单调区间；

(2)若f(x)与g(x)在区间(a,a2)内均为增函数,求a的取值范围．

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322232x22321a1的单调性. x23132.导数应用之极值与最值

1.设函数f(x)x2ex1ax3bx2,且x2和x1均为f(x)的极值点． (1)求a,b的值,并讨论f(x)的单调性； (2)设g(x)

2.设函数f(x)x2(xa).

(1)若f'(1)3,求曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程； (2)求函数yf(x)在区间0,2上的最大值.

3.设函数f(x)ax3x．

(1)若x2是函数yf(x)的极值点,求a的值；

(2)若函数g(x)f(x)f(x),x[0，2],在x0处取得最大值,求a的取值范围．

4.已知函数f(x)3223xx2,试比较f(x)与g(x)的大小． 313xx22. 32(1)设Sn是正项数列{an}的前n项和,a13,且点(an,an12an1)在函数yf'(x)的图象上,求证:点

(n,Sn)也在yf'(x)的图象上；

(2)求函数f(x)在区间(a1,a)内的极值.

3225.设函数f(x)axbx3ax1在xx1,xx2处取得极值,且x1x22．

(1)若a1,求b的值,及函数f(x)的单调区间； (2)若a0,求实数b的取值范围．

6.设函数f(x)13axbx2(2b)x1在x1处取得极大值,在x2处取得极小值,且0x11x22.3证明:a0,并求a2b的取值范围.

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7.已知x1是函数f(x)1332axx(a1)x5的一个极值点, 32(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若yf(x)的图像与直线y2xm有三个不同的交点,求实数m的取值范围.

8.已知x3是函数f(x)aln(1x)x10x的一个极值点. (1)求f(x)的解析式及其单调区间；

(2)若直线yb与曲线yf(x)有三个交点,求b的取值范围.

9.设函数f(x)xax2xb(xR)．

(1)若函数f(x)仅在x0处有极值,求a的取值范围；

(2)若对于任意的a2，2,不等式f(x)1在11，上恒成立,求b的取值范围．

10.设x3是函数f(x)(xaxb)e23x4322的一个极值点.

(1)求a与b的关系式(用a表示b),并求函数f(x)的单调区间； (2)设a0,g(x)(a

11.已知函数f(x)225x)e.若存在．．x1,x20,4,使f(x1)g(x2)1总成立,求a的取值范围. 4kx1(c0且c1)恰有一个极大值点和一个极小值点,其中一个是xc． 2xc(1)求函数f(x)的另一个极值点；

(2)求函数f(x)的极大值M和极小值m,并求Mm1时k的取值范围．

12.设函数f(x)axbxcxd的图像上有两个极值点P,Q,其中P为坐标原点, (1)当点Q的坐标为(1,2)时,求f(x)的解析式；

(2)当点Q在线段xy50(1x3)上时,求曲线的切线斜率的最大值.

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323.导数应用之函数的零点

题组1：

1.函数f(x)3xx2在区间[1,0]内有没有零点？为什么？ 2.函数f(x)2x3x的零点所在的一个区间是【 】.

A.(2,1) B.(1,0) C.(0,1) D.(1,2)

3.函数f(x)的零点与g(x)4x2x2的零点之差的绝对值不超过0.25,则f(x)可以是【 】.

A.f(x)e1 B.f(x)4x1 C.f(x)(x1) D.f(x)ln(x)

4.若2a3b4,且函数f(x)logaxxb的零点x0(n,n1)(nZ),则n【 】.

A.1 B.2 C.3 D.4

题组2：

5.设函数yf(x)的图像在[a,b]上连续,若满足____________,则方程f(x)0在[a,b]上有实根. 6.已知x0是函数f(x)2xx2121的一个零点.若x1(1,x0),x2(x0,),则【 】. 1xA.f(x1)0,f(x2)0 B.f(x1)0,f(x2)0 C.f(x1)0,f(x2)0 D.f(x1)0,f(x2)0

1的零点个数为____________. x328.求证:函数f(x)x2在区间(0,2)内没有零点.

x17.函数f(x)x题组3：

9.函数f(x)xlog2x在区间(0,1)内是否有零点？为什么？ 10.求证:函数f(x)x2x1在区间[1,2]内至少有两个零点. 11.求证:函数f(x)(x3)(x8)1有且只有两个零点. 12.求证:函数f(x)lnxxx1有且只有两个零点.

13.设函数f(x)axbxc,若f(1)0,f(2)0,则f(x)在区间(1,2)上的零点个数为【 】.

A.至多有一个

B.有且只有一个 C.有一个或两个

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224 D.一个也没有

14.设m(1,),求证:函数f(x)xln(xm)有且只有两个零点.

15.判断函数f(x)x2lgx在区间(0,10)内的零点个数,并说明理由. 题组4：

16.设函数fn(x)xx1(nN,n2). (1)证明:fn(x)在区间(,1)内存在唯一的零点；

(2)设xn是fn(x)在(,1)内的零点,判断数列x2,x3,,xn的增减性．

17.设函数f(x)x(a2)xalnx．

(2)若函数有两个零点,求满足条件的最小正整数a的值； (3)若方程f(x)c有两个不等实根x1,x2,求证:f(

18.设函数f(x)2lnxmxx有两个零点x1,x2,求证:f(

19.设函数f(x)lnxax有两个零点x1,x2,求证:x1x2e.

2n*12122x1x2)0． 2x1x2)0. 22xx2xn(nN),求证:当n为偶数时,方程fn(x)0没有实数根； 20.记函数fn(x)11!2!n!当n为奇数时,方程fn(x)0有唯一实数根xn,且xn2xn.

xx2x3xn21.设函数fn(x)12222(xR,nN),

123n(1)证明:对每个nN,存在唯一的xn[,1],满足fn(xn)0； (2)证明:对任意pN,由(1)中xn构成的数列{xn}满足0xnxnp

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231. n4.导数应用之图像的切线

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1.求平行于直线9xy10,且与曲线yx33x21相切的直线方程.

2.求垂直于直线x3y20,且与曲线yx33x21相切的直线方程.

3.求与直线3xy20夹角为45,且与抛物线y2x2相切的直线方程.

4.设函数f(x)sinx图像上动点P处切线的倾斜角为,求的取值范围. 题组2：

5.求函数f(x)2x的图像C在点P(1,2)处的切线l方程,以及曲线C与切线l的所有交点坐标.

6.求函数f(x)2x的图像经过点P(1,2)的切线方程.

7.求函数f(x)2x的图像经过点P(1,10)的切线方程.

8.求经过坐标原点,且与函数f(x)

9.设函数f(x)ax333x9的图像相切的直线方程. x5b,曲线C:yf(x)在点(2，f(2))处的切线为7x4y120． x(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求证:曲线C上任意一点处的切线与直线yx,以及y轴所围成三角形的面积为定值.

10.已知直线2xy3ln20是函数f(x)lnx(1)求f(x)的解析式；

(2)若P(s,t)是曲线C上的动点,求曲线C在点P处的切线纵截距的最小值.

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m的图像C的一条切线. x题组3：

11.已知直线yx是函数f(x)x33x2ax1图像的一条切线,求实数a的值.

12.已知a0,且过点P(a,b)可作函数f(x)xx图像的三条切线,证明:abf(a).

13.设函数f(x)31312xaxbxc(a0)的图像C在点P(0,f(0))处的切线为y1. 32(1)确定b,c的值；

(2)设曲线C在A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))处的切线都过Q(0,2),证明:若x1x2,则f'(x1)f'(x2)； (3)若过点Q(0,2)可作曲线C的三条不同切线,求a的取值范围.

14.已知函数f(x)21312，,(1，3]内各有一个极值点． xaxbx在区间[11)32(1)求a4b的最大值；

(2)当a24b8时,设曲线C:yf(x)在点A(1，f(1))处的切线l穿过曲线C(穿过是指:动点在点

A附近沿曲线C运动,当经过点A时,从l的一侧进入另一侧),求f(x)的表达式．

15.由坐标原点O(0,0)向曲线yx3xx引切线,切于不同于点O的点P1(x1, y1),再由P1引切线切于不同于P1的点P2(x2,y2),如此继续下去„„,得到点Pn(xn,yn),求xn1与xn的关系,及xn的表达式.

32巩固练习：

1.求函数f(x)2x的图像经过点P(1,8)的切线方程. 2.求函数f(x)3x31的图像经过点P(3,)的切线方程. 2x32x3.如图,从点P1(0, 0)作x轴的垂线交于曲线ye于点Q1(0, 1),

曲线在Q1点处的切线与x轴交与点P2；再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2,依次重复上述过程得到一系 列的点:Pk(xk, 0)(k1,2,3,,n). 1,Q1,P2,Q2,„,Pn,Qn,记点Pk的坐标为P(1)求xk1与xk之间的等量关系； (2)求PQ11P2Q2PQ33...PnQn.

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5.导数应用之存在与任意

1.已知函数f(x)xab(x0),其中a,bR． x(1)若曲线f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程为y3x1,求函数f(x)的解析式； (2)若对于任意的a[,2],不等式f(x)10在x[,1]恒成立,求b的取值范围．

2.已知函数f(x)(1x)22ln(1x).

(1)求f(x)的单调区间； (2)若f(x)m对x[e11,e1]恒成立,求m的取值范围；

3.设函数f(x)12141. xlnx1xa(1)求f(x)的单调区间； (2)若2x对x(0,1)恒成立,求a的取值范围.

x24.已知函数f(x)ln(x1).

x12(1)求f(x)的单调区间； (2)若(1)

5.设函数f(x)x(e1)ax. (1)若a

6.设函数f(x)eaxx.

x2x21nne对nN都成立,求的最大值.

1,求f(x)的单调区间； (2)若当x0时,f(x)0,求a的取值范围. 2(1)若a0,求f(x)的最小值； (2)若当x0时,f(x)1恒成立,求a的取值范围.

7.设函数f(x)eax的图象与y轴交于点A,曲线yf(x)在点A处的切线斜率为a1. (1)求f(x)的极值；

(2)证明:当x0时,xe；

2xx,恒有xce. (3)证明:对任意给定的正数c,总存在x0,使得当xx0，2x第 9 页 共 16 页

8.设函数f(x)axcosx,

(1)讨论函数f(x)在区间[0,]内的单调性；

(2)若f(x)1sinx对x[0,]恒成立,求实数a的取值范围.

9.设函数f(x)xcosxsinx,x[0,(1)求证:f(x)0； (2)若a

10.已知函数f(x)(a1)lnxax1, (1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)设a1,且对任意的x1,x2(0,),都有|f(x1)f(x2)4|x1x2|,求a的取值范围.

11.已知x3是函数f(x)(xaxb)e23x2].

sinxb对x(0,)恒成立,求a的最大值与b的最小值. x22的一个极值点.

(1)求a与b的关系式(用a表示b),并求函数f(x)的单调区间； (2)设a0,g(x)(a2

12.已知函数f(x)ax(1)求f(x)的解析式；

(2)若对任意的x1,x2[m,m3]都有f(x1)f(x2)

13.设函数f(x)325x)e.若存在x1,x20,4,使得f(x1)g(x2)1成立,求a的取值范围. 43712xcos2xc的图像过点(1,),且在[2,1]上递减,在[1,)上递增.

6245成立,求正实数m的取值范围. 213mmx(2)x24x1,g(x)mx5. 32(1)当m0时,求函数f(x)的递增区间；

(2)是否存在负实数m,使得对任意的x1,x2[1,2],都有g(x1)f(x2)1？若存在,求m的范围；若不存在,请说明理由.

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6.导数应用之极值点偏移

1.(1)设不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2)均在二次函数f(x)ax2bxc(abc0)的图像上,记直线AB的斜率为k,求证:kf'(x1x2)； 2(2)设不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2)均在“伪二次函数”g(x)ax2bxclnx(abc0)的图像上,记直线AB的斜率为k,试问:kg'(

2.设函数f(x)ax2(12a)xlnx(aR)． (1)当a0时,求函数f(x)的单调递增区间；

(2)记函数yf(x)的图像为曲线C,设A(x1,y1),B(x2,y2)是曲线C上不同的两点,M为线段AB的中点,过点M作x轴的垂线交曲线C于点N．试问:曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB？

3.设函数f(x)x(a2)xalnx． (1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数有两个零点,求满足条件的最小正整数a的值； (3)若方程f(x)c有两个不等实根x1,x2,求证:f(

4.设函数f(x)2lnxmxx.

(1)若曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y2xn,求实数m,n的值； (2)若m4,求证:当ab0时,有

22x1x2)还成立吗？ 2x1x2)0． 2f(a)f(b)2；

a2b2(3)若函数f(x)有两个零点x1,x2(x1x2),且x0是x1,x2的等差中项,求证:f'(x0)0.

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5.设函数f(x)lnxax有两个零点x1,x2,求证:x1x2e.

6.设函数f(x)eaxa的两个零点为x1,x2,求证:x1x2x1x2.

7.设函数f(x)eax,其中ae,

(1)求证:函数f(x)有且仅有两个零点x1,x2,且0x11x2； (2)对于(1)中的x1,x2,求证:f'(x1)f'(x2)0.

8.设函数f(x)emx的图像在点P(0,f(0))处的切线方程为2xy10,求证:对满足abc的实数a,b,c,都有

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xxx2f(b)f(a)f(c)f(b)成立. bacb7.导数应用之不等式证明(1)

1.证明:对任意的nN,都有ln(

2.已知m,nN,且1mn,求证:(1m)(1n).

3.设函数f(x)nm1111)23. nnn1aln(x1),

（1x)n(1)当n2时,求函数f(x)的极值；

(2)当a1时,证明:对任意的nN,当x2时,都有f(x)x1.

4.已知函数f(x)ealn(x1)1在点P(0,f(0))处的切线垂直于y轴, (1)求函数f(x)的单调区间； (2)当mn0时,求证:e

5.设函数f(x)mnx1ln(m1)ln(n1).

x,且f1(x)f'(x),fn1(x)fn'(x)(nN). xe (1)求f1(x),f2(x),f3(x),fn(x)的解析式；

(2)求证:对任意的实数a,b,以及任意的正整数n,都有f2n(a)f2n1(b)f(n).

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6.设函数f(x)mxxlnx在x1处取得极值,数列{an}满足e (1)求函数f(x)的单调区间； (2)求证:对任意的nN,都有e**1a11,an1f(an)(nN).

1an1；

(3)求证:对任意的nN,都有an2an2an1.

xx2xn(nN),求证:当n为偶数时,方程fn(x)0没有实数根；当n 7.记函数fn(x)11!2!n!为奇数时,方程fn(x)0有唯一实数根xn,且xn2xn.

xx2x3xn8.设函数fn(x)12222(xR,nN),

123n(1)证明:对每个nN,存在唯一的xn[,1],满足fn(xn)0； (2)证明:对任意pN,由(1)中xn构成的数列{xn}满足0xnxnp

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231. n8.导数应用之不等式证明(2)

1.设函数f(x)1xlnx. 更多数学资源请登录www.shuxuea.com下载！ ax (1)若函数f(x)在[1,)上为增函数,求正实数a的取值范围； (2)当a1时,求证:对大于1的任意正整数n,都有lnn

2.设函数f(x)xln(xa)的最小值为0,其中a>0.

(1)若对任意的x[0,+),有f(x)kx成立,求实数k的最小值； (2)证明:对大于1的任意正整数n,都有

3.设函数f(x)kx,g(x)lnx,

(1)讨论关于x的方程f(x)g(x)在区间[e,e]内的实数根的个数； (2)求证:对任意的正整数n,都有

4.设函数f(x)xaln(1x),

(1)若函数f(x)在区间(,)上递增,求实数a的取值范围； (2)证明:当x0时,ln(1x)x； (3)证明:对大于1的任意正整数n,都有(1

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221221111. 234n1111ln(2n1). 352n12ln1ln2ln3ln4lnn1. 14243444n42e12331111)(1)(1)(1)2e. 4444123n5.设函数f(x)12x12,其中f(1)1,f().在数列{xn}中,x1,且xn1f(xn).

223axb(1)求数列{xn}的通项xn.

(2)求证:对任意的正整数n,都有x1x2x3xn

6.设函数f(x)exax1,

(1)若f(x)0对xR均成立,求正实数a的取值集合； (2)求证:对任意的正整数n,都有()()()()

7.设函数f(x)ex1,

(1)求证:函数f(x)有且只有一个零点；

x1. 2e1nn2nn3nnnnne. e1(2)求证:对任意的正整数n,都有(

1n352n1ne. )()n()n()2n2n2n2ne18.(1)设函数f(x)rxx1r(x0),其中0r1.求函数f(x)的最小值；

(2)用(1)的结果证明命题:设a10,a20,b1,b2为正实数,若b1b21,则a11a22a1b1a2b2； (3)请将(2)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题.

9.(1)求函数f(x)lnxx1的最大值；

(2)设ak,bk均为正实数,证明:若a1b1a2b2anbnb1b2bn,则a11a22an(3)设ak,bk均为正实数,证明:若b1b2bn1,则

bbbnrbb1；

1b1b1b2b2bnbnb12b22bn2. n第 16 页 共 16 页