一、选择题（本大题共12小题，共48.0分） 1. 下列四个数中，是负整数的是( )
A. −2 B. 1 C. 1.5
D. −2
1
2. 如图是由5个大小相同的小立方体组成的立体图形，这个立体图形的
俯视图是( )
A.
B.
C.
1
D.
3. 抛物线𝑦=2𝑥2−3的顶点坐标是( )
A. (2,−3)
1
B. (−3,0) C. (0,−3) D. (0,3)
4. 下列命题中是假命题的是( )
A. 同旁内角互补，两直线平行 B. 直线𝑎⊥𝑏，则a与b的夹角为直角
C. 如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，一个是钝角 D. 在同一平面内，若𝑎//𝑏，𝑎⊥𝑐，那么𝑏⊥𝑐
△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，5. 如图，垂足为D，下列条件中：①∠𝐴+∠𝐵=90°；
②𝐴𝐵2=𝐴𝐶2+𝐵𝐶2；③𝐴𝐵=𝐵𝐷；④𝐶𝐷2=𝐴𝐷⋅𝐵𝐷，能证明△𝐴𝐵𝐶是直角三角形的有( )
𝐴𝐶
𝐶𝐷
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
1
6. 计算√32×√+√2 的结果估计在( )
2
A. 4至5之间 A. 𝑎+3<6
B. 5至6之间 B. 𝑎+3≤6
C. 6至7之间 C. 𝑎+3>6
D. 7至8之间 D. 𝑎+3≥6
7. “a与3的和不大于6”用不等式表示为( )
8. 在某段时间里，按如图所示程序工作，如果输入的数是1，那么输出的数是多少？( )
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A. −5 B. 4 C. −8 D. 7
9. 把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三
…，角形，第③个图案中有8个三角形，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为( )
…
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
CO的延长线交⊙𝑂于点A，已知BC与⊙𝑂相切于点B，连接AB，10. 如图，
若𝐵𝐶=2√3，𝐴𝐶=6，则⊙𝑂的半径为( )
A. 1.5
B. 2
C. 2.5
D. 3
11. 我校兴趣小组同学为测量校外“御墅临枫”的一栋电梯高层AB的楼高，从校前广场的C处测
得该座建筑物顶点A的仰角为45°，沿着C向上走到30√5米处的D点．再测得顶点A的仰角为22°，已知CD的坡度：𝑖=1：2，A、B、C、D在同一平面内，则高楼AB的高度为( )(参考
数据；𝑠𝑖𝑛22°≈0.37，𝑐𝑜𝑠22°≈0.93，𝑡𝑎𝑛22°≈0.40)
A. 60 B. 70 C. 80 D. 90
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1−2𝑦
12. 若关于y的不等式组{
至少有两个整数解，且关于x的分式方程有𝑥−3+3−𝑥=3非负整
𝑎−𝑦≥0
3
<1
𝑥+3𝑎𝑥
数解，求符合条件的所有整数a的值之和为( )
A. 14 B. 15 C. 16 D. 17
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13. 将450000这个数用科学记数法表示为______ ．
14. 如图，在边长为8的菱形ABCD中，∠𝐵𝐴𝐷=45°，𝐵𝐸⊥𝐴𝐷于点E，以B为圆心，BE为半径
画弧，分别交AB、CB于点F、G，则图中阴影部分的面积为______(结果保留𝜋)
15. 从分别标有1、2、3、4的四张卡片中一次同时抽出两张，则抽取两张卡片中数字的和为奇数的
概率是______ ．
16. 矩形ABCD中，E是AB的中点(如图)，将△𝐵𝐶𝐸沿CE翻折，点B落
在点F处，联结AF，如果tan∠𝐷𝐶𝐸=3，那么𝐶𝐸的比值为______．
4
𝐴𝐹
17. 如图，射线OA、BA分别表示甲、乙两人骑自行车运动过程的一次函数的图象，图中s、t分别
表示行驶距离和时间，则这两人骑自行车的速度相差______ 𝑘𝑚/ℎ．
18. 某兴趣小组的每位同学，将自己收集的植物标本向本组其他成员各赠送1件，全组互赠标本共
182件，若全组有x名学生，则根据题意可列方程______ ． 三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）
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19. 计算：
(1)2(𝑚+1)2−(𝑚−2)(𝑚+1) 5−4𝑛𝑛2−2𝑛
(2)(𝑛+1+)÷
𝑛−1𝑛−1
四、解答题（本大题共7小题，共68.0分）
20. △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴:∠𝐴𝐵𝐶:∠𝐴𝐶𝐵=3:4:5，CE是边AB上的高，∠𝐵𝐻𝐶=
135°，求证：𝐵𝐷⊥𝐴𝐶．
21. 距离中考体考时间越来越近，年级想了解初三年级2200名学生周末进行体育锻炼的情况，在初
三年级随机抽查了20名男生和20名女生周末每天的运动时间进行了调查并收集到了以下数据(单位：𝑚𝑖𝑛) 男生：
20 30 40 45 60 120 80 50 100 45 85 90 90 70 90 50 90 50 70 40 女生：
75 30 120 70 60 100 90 40 75 60 75 75 80 90 70 80 50 80 100 90 根据统计数据制作了如下统计表：
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时间x 男生 女生 2 1 𝑥≤30 8 4 30<𝑥≤60 8 a 60<𝑥≤90 2 3 90<𝑥≤120 两组数据的极差、平均数、中位数、众数如下表所示： 男生 女生 极差 100 90 平均数 65.75 75.5 中位数 b 75 众数 c 75 (1)请将上面两个表格补充完整： 𝑎=______，𝑏=______，𝑐=______；
(2)请根据抽样调查的数据估计初三年级周末每天运动时间在100分钟(含)以上的同学大约有多少人？
(3)李老师看了表格数据后认为初三年级的女生周末体锻坚持得比男生好，请你结合统计数据，写出支持李老师观点的理由．
22. 某校园商店经销甲、乙两种文具.现有如下信息．
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)甲、乙两种文具的零售单价分别为 元和 元;
(2)该校园商店平均每天卖出甲文具50件和乙文具120件.经调查发现，甲文具零售单价每降0.1元，每天可多销售10件.为了降价促销，使学生得到实惠，商店决定把甲文具的零售单价下降𝑚(𝑚>0)元.在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，可以使商店每天销售甲、乙两种文具获取的利润保持不变?
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23. 小东根据学习一次函数的经验，对函数𝑦=|2𝑥−1|的图象和性质进行了探究．下面是小东的探
究过程，请补充完成：
(1)函数𝑦=|2𝑥−1|的自变量x的取值范围是______； (2)已知：
①当𝑥=2时，𝑦=|2𝑥−1|=0； ②当𝑥>2时，𝑦=|2𝑥−1|=2𝑥−1 ③当𝑥<2时，𝑦=|2𝑥−1|=1−2𝑥； 显然，②和③均为某个一次函数的一部分．
(3)由(2)的分析，取5个点可画出此函数的图象，请你帮小东确定下表中第5个点的坐标(𝑚,𝑛)，其中𝑚=______；𝑛=______；：
1 20 111
x y … … 5 −2 0 1 1 1 m n … … (4)在平面直角坐标系xOy中，作出函数𝑦=|2𝑥−1|的图象； (5)根据函数的图象，写出函数𝑦=|2𝑥−1|的一条性质．
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如果一个数的平方等于−1，记为𝑖2=−1，这个数i叫做虚数单位，那么形如𝑎+𝑏𝑖(𝑎,b24. 阅读材料：
为实数)的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似例如计算： (2+𝑖)+(3−4𝑖)=(2+3)+(1−4)𝑖=5−3𝑖；(3+𝑖)𝑖=3𝑖+𝑖2=3𝑖−1
②若他们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如1+2𝑖的共轭复数为1−2𝑖．
(1)填空：(3𝑖−2)(3+𝑖)=______；(1+2𝑖)3(1−2𝑖)3=______； (2)若𝑎+𝑏𝑖是(1+2𝑖)2的共轭复数，求(𝑏−𝑎)𝑎的值；
(3)已知(𝑎+𝑖)(𝑏+𝑖)=1−3𝑖，求(𝑎2+𝑏2)(𝑖2+𝑖3+𝑖4+⋯+𝑖2019)的值．
25. 如图，▱ABCD中，E是AB中点，AC与DE交于点F．
(1)求证：△𝐷𝐹𝐶∽△𝐸𝐹𝐴．
(2)若𝐴𝐶⊥𝐷𝐸，𝐴𝐵=2√5，𝐴𝐹=2，求DF长．
26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+3经过𝐴(−3,0)，𝐵(1,0)两点，其顶点为D，
连接AD，点P是线段AD上一个动点(不与AD重合)． (1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
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(2)如图1，过点P作𝑃𝐸⊥𝑦轴于点𝐸.求△𝑃𝐴𝐸面积S的最大值；
(3)如图2，抛物线上是否存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形？若存在求出Q点坐标，若不存在请说明理由．
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-------- 答案与解析 --------
1.答案：A
解析： 【分析】
本题考查正数与负数，有理数的分类．根据负整数定义逐项判定即可． 解析：
解：Ａ.−2是负整数，故A正确；
Ｂ.1是正整数，不是负整数，故B错误； Ｃ.1.5正分数，不是负整数，故C错误； Ｄ.−2是负分数，不是负整数，故D错误．
故选A．
1
2.答案：D
解析： 【分析】
本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图． 根据从上边看得到的图形是俯视图解答即可． 【解答】
解：从上边看第一列是一个小正方形，第二列是一个小正方形，第三列是两个小正方形， 故选D．
3.答案：C
解析：解：抛物线𝑦=2𝑥2−3的顶点坐标为(0,−3)． 故选：C．
形如𝑦=𝑎𝑥2+𝑘的顶点坐标为(0,𝑘)，据此可以直接求顶点坐标．
此题考查了二次函数的性质．二次函数的顶点式方程𝑦=𝑎(𝑥−𝑘)2+ℎ的顶点坐标是(𝑘,ℎ)，对称轴方程是𝑥=𝑘．
1
4.答案：C
解析： 【分析】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、垂直的定义、互补的定义，
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利用平行线的性质、垂直的定义、互补的定义分别进行判断后即可确定正确的选项． 【解答】
解：A、同旁内角互补，两直线平行，正确，为真命题； B、直线𝑎⊥𝑏，则a与b的夹角为直角，正确，为真命题；
C、如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，一个是钝角，错误，可能是两个直角，是假命题； D、在同一平面内，若𝑎//𝑏，𝑎⊥𝑐，那么𝑏⊥𝑐，正确，为真命题， 故选：C．
5.答案：C
解析：解：(1)根据三角形内角和定理，由∠𝐴+∠𝐵=90°得∠𝐴𝐶𝐵=90°，故①正确； (2)根据勾股定理逆定理由𝐴𝐵2=𝐴𝐶2+𝐵𝐶2可知②正确； (3)由𝐴𝐵=𝐵𝐷不能判断△𝐴𝐵𝐶是否是直角三角形，故③错误；
(4)由𝐶𝐷2=𝐴𝐷⋅𝐵𝐷，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，可知△𝐴𝐷𝐶∽△𝐶𝐷𝐵，所以∠𝐴=∠𝐵𝐶𝐷，因为∠𝐴+∠𝐴𝐶𝐷=90°，所以∠𝐵𝐶𝐷+∠𝐴𝐶𝐷=90°，即∠𝐴𝐶𝐵=90°，故④正确； 故选：C．
根据直角三角形的判定方法判断即可．
本题主要考查了直角三角形的判定方法和相似三角形的判定与性质，熟悉直角三角形的判定方法是解决问题的关键．
𝐴𝐶
𝐶𝐷
6.答案：B
解析： 【分析】
本题考查了二次根式的乘法及估计无理数的大小.掌握二次根式的乘法法则及估计无理数的大小的方法是解题的关键.先根据乘法法则将二次根式化为最简二次根式，再估计大小即可． 【解答】
解：∵√32×√+√2=4+√2，
21
又1<√2<2， ∴5<4+√2<6，
1
∴√32×√2+√2 的结果估计在5和6之间．
故选B．
7.答案：B
解析：
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【分析】
本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式的知识点，关键是要抓住题目中的关键词，如“大于(小于)、不超过(不低于)、是正数(负数)”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号.先表示“a与3的和”为𝑎+3，再表示“不大于6”即可． 【解答】
解：由题意得：𝑎+3≤6． 故选B．
8.答案：A
解析：解：把𝑥=1代入计算程序中得：1−1+2−4=−2>−4， 把𝑥=−2代入计算程序中得：−2−1+2−4=−5<−4， 则输出结果为−5， 故选：A．
把1代入计算程序中计算，即可确定出输出结果．
此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9.答案：C
解析： 【分析】
本题主要考查图形的变化规律，根据题意得出后一个图形中三角形的数量个数是2𝑛+2.根据第①个图案中三角形个数4=2+2×1，第②个图案中三角形个数6=2+2×2，第③个图案中三角形个数8=2+2×3可得第④个图形中三角形的个数为2+2×7． 【解答】
解：∵第①个图案中三角形个数4=2+2×1， 第②个图案中三角形个数6=2+2×2， 第③个图案中三角形个数8=2+2×3，
……
∴第⑦个图案中三角形的个数为2+2×7=16， 故选C．
10.答案：B
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解析：解：连接OB，
∵𝐵𝐶与⊙𝑂相切于点B， ∴𝑂𝐵⊥𝐵𝐶， 设⊙𝑂的半径为r，
在𝑅𝑡△𝑂𝐵𝐶中，𝑂𝐵2+𝐵𝐶2=𝑂𝐶2， 即𝑟2+(2√3)2=(6−𝑟)2， 解得：𝑟=2， 故选：B．
连接OB，根据切线的性质和勾股定理解答即可．
本题考查切线的性质，解题的关键是利用切线的性质，在𝑅𝑡△𝑂𝐵𝐶解三角形是突破口，属于中考常考题型．
11.答案：D
解析：解：作𝐴𝐻⊥𝐸𝐷交ED的延长线于H， 设𝐷𝐸=𝑥米，
∵𝐶𝐷的坡度：𝑖=1：2， ∴𝐶𝐸=2𝑥米，
由勾股定理得，𝐷𝐸2+𝐶𝐸2=𝐶𝐷2，即𝑥2+(2𝑥)2=(30√5)2， 解得，𝑥=30，
则𝐷𝐸=30米，𝐶𝐸=60米， 设𝐴𝐵=𝑦米，则𝐻𝐸=𝑦米， ∴𝐷𝐻=𝑦−30， ∵∠𝐴𝐶𝐵=45°， ∴𝐵𝐶=𝐴𝐵=𝑦， ∴𝐴𝐻=𝐵𝐸=𝑦+60，
在𝑅𝑡△𝐴𝐻𝐷中，tan∠𝐷𝐴𝐻=𝐴𝐻， 则𝑦+60≈0.4， 解得，𝑦=90，
∴高楼AB的高度为90米， 故选：D．
𝑦−30
𝐷𝐻
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作𝐴𝐻⊥𝐸𝐷交ED的延长线于H，根据坡度的概念分别求出CE、DE，根据正切的定义求出AB． 本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
12.答案：B
解析：解：解分式方程𝑥−3+3−𝑥=3，得：𝑥=𝑎+2， ∵分式方程的解为非负整数，且𝑥≠3，a为整数， ∴𝑎=−1，0，1，4，10，
1−2𝑦𝑥+3
𝑎𝑥
12
解关于y的不等式组{
，得：−1<𝑦≤𝑎，
𝑎−𝑦≥0
3
<1
∵不等式组至少有两个整数解， ∴𝑎≥1，
∴符合条件的所有整数a的和1+4+10=15， 故选：B．
0，1，4，10，根据分式方程的解为非负整数解，即可得出𝑎=−1，根据不等式组的解集为−1<𝑦≤𝑎，即可得出𝑎≥1，找出a的所有的整数，将其相加即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式组的整数解、分式方程的解，有一定难度，注意分式方程中的解要满足分母不为0的情况．
13.答案：4.5×105
解析： 【分析】
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为𝑎×10𝑛，其中1≤|𝑎|<10，n为整数，据此解答，确定a与n的值是解题的关键． 【解答】
解：450000=4.5×105． 故答案为：4.5×105．
14.答案：32−8𝜋
解析：解：∵在边长为8的菱形ABCD中，∠𝐵𝐴𝐷=45°，𝐵𝐸⊥𝐴𝐷， ∴𝐴𝐸=𝐵𝐸，∠𝐵𝐸𝐴=90°，
∴𝐵𝐸=𝐴𝐸
∴𝐵𝐸=𝐴𝐸=4√2，
∴图中阴影部分的面积是：(×4√2×4√2−
2
1
45×𝜋×(4√2)2
)×360
2=(16−4𝜋)×2=32−8𝜋，
第13页，共21页
故答案为：32−8𝜋．
根据题意和菱形的性质、勾股定理可以求得AE和BE的值，然后根据图形可知阴影部分的面积是△𝐴𝐵𝐸的面积减去扇形FBE的面积的二倍，从而可以解答本题．
本题考查扇形面积的计算、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
15.答案：3
解析： 【分析】
本题考查了用列表法与树状图法求概率的方法：先利用列表法与树状图法表示所有等可能的结果n，然后找出某事件出现的结果数m，最后计算𝑃=𝑛．
依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率． 【解答】 解：树状图：
𝑚
2
由树状图可知共有4×3=12种等可能，和为奇数的有8种，所以概率是12=3． 故答案为3．
2
82
16.答案：25
解析：解：如图，∵𝐶𝐷//𝐴𝐵， ∴∠𝐷𝐶𝐸=∠𝐵𝐸𝐶， ∵tan∠𝐷𝐶𝐸=3，
∴可设𝐵𝐶=4𝑎，𝐵𝐸=3𝑎， ∴由勾股定理可得𝐶𝐸=5𝑎，
由轴对称的性质，可得CE垂直平分BF， ∴𝐵𝐺=∴𝐵𝐹=
𝐵𝐶⋅𝐵𝐸𝐶𝐸245
4
18
=
125
𝑎，
𝑎，
∵𝐸是AB的中点，
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∴𝐴𝐸=𝐵𝐸=𝐹𝐸，
∴∠𝐸𝐴𝐹=∠𝐸𝐹𝐴，∠𝐸𝐵𝐹=∠𝐸𝐹𝐵，
又∵∠𝐸𝐴𝐹+∠𝐸𝐹𝐴+∠𝐸𝐵𝐹+∠𝐸𝐹𝐵=180°， ∴∠𝐴𝐹𝐵=90°，
∴𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐹中，𝐴𝐹=√𝐴𝐵2−𝐵𝐹2=∴𝐶𝐸=
𝐴𝐹
18𝑎5
185
𝑎，
5𝑎
18
=25， 18
故答案为：25．
𝐵𝐸=3𝑎，设𝐵𝐶=4𝑎，由勾股定理可得𝐶𝐸=5𝑎，再根据CE垂直平分BF，可得𝐵𝐺=再根据勾股定理可得𝐴𝐹=√𝐴𝐵2−𝐵𝐹2=
185
125
𝑎，𝐵𝐹=
245
𝑎，
𝑎，即可得出的比值．
𝐶𝐸
𝐴𝐹
本题考查的是翻折变换的性质、勾股定理和锐角三角函数的定义，翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
17.答案：5
解析：解：根据图象可得出：甲的速度为：120÷5=24(𝑘𝑚/ℎ)， 乙的速度为：(120−4)÷5=23.2(𝑘𝑚/ℎ)， 速度差为：24−23.2=5(𝑘𝑚/ℎ)， 故答案为：5．
根据图象可得甲5小时行驶了120km，乙5小时行驶了120−4=116千米，再根据路程和时间求出速度，进而得到速度差．
此题主要考查了一次函数的应用，关键是正确从图象中得到正确信息，掌握速度=路程÷时间．
4
4
4
18.答案：𝑥(𝑥−1)=182
解析： 【分析】
根据题中已知条件全组互赠标本共182件列出方程，总人数×每人赠送的件数=182． 一元二次方程应用的关键是根据题意找到等式两边的相等条件，列出方程． 【解答】
解：根据题意可列方程：𝑥(𝑥−1)=182． 故答案为：𝑥(𝑥−1)=182．
19.答案：解：(1)2(𝑚+1)2−(𝑚−2)(𝑚+1)
=2𝑚2+4𝑚+2−𝑚2+𝑚+2
=𝑚2+5𝑚+4；
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5−4𝑛𝑛2−2𝑛
(2)(𝑛+1+)÷
𝑛−1𝑛−1(𝑛+1)(𝑛−1)+5−4𝑛𝑛−1=⋅ 𝑛−1𝑛(𝑛−2)𝑛2−1+5−4𝑛
=
𝑛(𝑛−2)(𝑛−2)2
=
𝑛(𝑛−2)=
𝑛−2𝑛
．
解析：(1)根据完全平方公式和多项式乘多项式可以解答本题； (2)根据分式的加法和除法可以解答本题．
本题考查分式的混合运算、多项式乘多项式、完全平方公式，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
20.答案：证明：∵在△𝐴𝐵𝐶中，
∠𝐴:∠𝐴𝐵𝐶:∠𝐴𝐶𝐵=3：4：5，∠𝐴+∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐴𝐶𝐵=180°， ∴∠𝐴=45°，∠𝐴𝐵𝐶=60°，∠𝐴𝐶𝐵=75°， ∵𝐶𝐸是AB上的高， ∴∠𝐶𝐸𝐵=90°，
∴∠𝐴𝐵𝐶=60°，∠𝐴𝐶𝐵=75°， ∴∠𝐵𝐶𝐸=30°，∠𝐻𝐶𝐷=45°，
又∵∠𝐵𝐻𝐶=135°，∠𝐵𝐻𝐶=∠𝐻𝐶𝐷+∠𝐻𝐷𝐶， ∴∠𝐻𝐷𝐶=90°， ∴𝐵𝐷⊥𝐴𝐶。
解析：本题考查了三角形的内角和定理和三角形外角的性质和直角三角形的性质，掌握这些知识是解决问题的关键.设出未知数利用三角形的内角和定理求出三角形各角的度数，再运用三角形外角的性质和直角三角形的性质即可证明．
21.答案：(1)12， 65，90
(2)由题意可得：2200×40=275(人)
答：初三年级周末每天运动时间在100分钟(含)以上的同学大约有275人； (3)①因为女生周末体锻时间的平均数大于男生； ②因为女生周末体锻时间的中位数大于男生．
5
解析：
第16页，共21页
【分析】
(1)根据中位数和众数的定义即可得到结论； (2)根据表中数据计算即可；
(3)由表中数据即可看出李老师的观点正确．
本题考查了用样本估计总体，中位数，众数，正确的理解题意是解题的关键． 【解答】
解：(1)由题意可得：𝑎=12；
20名男生周末每天的运动时间按从小到大的顺序排列为：
20 30 40 40 45 45 50 50 50 60 70 70 80 85 90 90 90 90 100 120， 处在中间的两个数为60和70， ∴𝑏=
60+702
=65；
∵90出现的次数最多， ∴𝑐=90；
故答案为：12，65，90； (2)，(3)见答案
22.答案：解：(1)2 ； 3
设甲、乙两种文具的进货单价分别为x元和y元， 𝑥+𝑦=3,𝑥=1,
根据题意，得{解得{ 𝑦=2,2(𝑥+1)+3(2𝑦−1)=12,所以甲、乙两种文具的零售单价分别为2元和3元．
(2)由(1)，得甲、乙两种文具的进货单价分别是1元和2元，则商店每天销售甲、乙两种文具的利润为50×1+120×(3−2)=170(元)
依题意，得(1−𝑚)(50+10×0.1)+(3−2)×120=170， 即2𝑚2−𝑚=0，
解得𝑚=0.5或𝑚=0(舍去)．
答：当m定为0.5时，可以使商店每天销售甲、乙两种文具获取的利润保持不变．
𝑚
解析：
第17页，共21页
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用.在解决有关利润的问题时，首先要明确几个关系式：单件利润=单件售价− 单件进价，总利润=单件利润×销售量，利润率
，其次要明确各量之间的关系．
(1)设甲、乙两种文具的进货单价分别为x元和y元，然后根据题意列出二元一次方程组求解即可； (2)先求出平均每天甲文具50件和乙文具120件时，获得的利润，再根据降价后甲每天卖出(50+10×0.1)件，每件降价后每件利润为：(1−𝑚)元，即可得出总利润，利用一元二次方程解法求出即可．
𝑚
23.答案：(1)全体实数
(3)3，5 (4)图象如下：
(5)当𝑥=2时，函数𝑦=|2𝑥−1|有最小值0．
1
解析：
解：(1)函数𝑦=|2𝑥−1|的自变量x的取值范围是全体实数； 故答案为全体实数；
(3)𝑚、n的取值不唯一，取𝑚=3，
把𝑥=3代入𝑦=|2𝑥−1|，得𝑦=|2×3−1|=5， 即𝑚=3，𝑛=5． 故答案为3，5； (4)见答案； (5)见答案． 【分析】
(1)函数𝑦=|2𝑥−1|的自变量x的取值范围是全体实数； (3)取𝑚=3，把𝑥=3代入𝑦=|2𝑥−1|计算即可； (4)根据(3)中的表格描点连线即可； (5)根据函数的图象，即可求解．
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本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．
24.答案：7𝑖−9 125
解析：解：(1)(3𝑖−2)(3+𝑖)=9𝑖−3−6−2𝑖=7𝑖−9
(1+2𝑖)3(1−2𝑖)3=[(1+2𝑖)(1−2𝑖)]3=(1−4𝑖2)3=(1+4)3=125 故答案为：7𝑖−9；125．
(2)∵(1+2𝑖)2=1+4𝑖+4𝑖2=1+4𝑖−4=−3+4𝑖 又𝑎+𝑏𝑖是(1+2𝑖)2的共轭复数 ∴𝑎=−3，𝑏=−4
∴(𝑏−𝑎)𝑎=(−4+3)−3=−1 ∴(𝑏−𝑎)𝑎的值为−1． (3)∵(𝑎+𝑖)(𝑏+𝑖)=1−3𝑖 ∴𝑎𝑏+(𝑎+𝑏)𝑖−1=1−3𝑖 ∴𝑎𝑏−1=1，𝑎+𝑏=−3 ∴𝑎𝑏=2，𝑎+𝑏=−3
∴𝑎2+𝑏2=(𝑎+𝑏)2−2𝑎𝑏=9−2×2=5 ∵𝑖2+𝑖3+𝑖4+𝑖5=−1−𝑖+1+𝑖=0，
𝑖2+𝑖3+𝑖4+⋯+𝑖2019有2018个加数，2018÷4=504…2
∴𝑖2+𝑖3+𝑖4+⋯+𝑖2019=0+𝑖2018+𝑖2019=𝑖2016⋅𝑖2+𝑖2016⋅𝑖3=−1−𝑖 ∴(𝑎2+𝑏2)(𝑖2+𝑖3+𝑖4+⋯+𝑖2019)=5(−1−𝑖)=−5−5𝑖． (1)按照定义计算即可；
(2)先按照完全平方式及定义展开运算，求出a和b的值，再代入要求得式子求解即可；
(3)按照定义计算ab及𝑎+𝑏的值，再利用配方法得出(𝑎2+𝑏2)的值；由于𝑖2+𝑖3+𝑖4+𝑖5=−1−𝑖+4个一组，1+𝑖=0，剩下两项，单独计算这两项的和，其余每相邻四项的和均为0，从而可得答案． 本题考查了定义新运算，读懂定义及其运算法则是解题的关键，本题的计算较为复杂．
25.答案：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴𝐷𝐶//𝐴𝐵，
∴∠𝐶𝐷𝐹=∠𝐹𝐸𝐴，∠𝐷𝐶𝐹=∠𝐸𝐴𝐹， ∴△𝐷𝐹𝐶∽△𝐸𝐹𝐴；
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴𝐴𝐵=𝐶𝐷， ∵𝐸是AB中点， ∴𝐴𝐸=2𝐴𝐵=√5， ∵𝐴𝐶⊥𝐷𝐸，
1
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∴∠𝐴𝐹𝐸=90°，
∴𝐹𝐸=√𝐴𝐸2−𝐴𝐹2=1， ∵△𝐷𝐹𝐶∽△𝐸𝐹𝐴， ∴
𝐸𝐹𝐷𝐹
𝐴𝐸
1
=
=， 𝐶𝐷2
∴𝐷𝐹=2𝐸𝐹=2．
解析：(1)根据平行四边形的性质得到𝐷𝐶//𝐴𝐵，根据相似三角形的判定定理证明结论； (2)根据勾股定理求出EF，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
26.答案：解：(1)∵抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+3经过𝐴(−3,0)，𝐵(1,0)两点，
𝑎=−1,9𝑎−3𝑏+3=0,
∴{解得{ 𝑏=−2,𝑎+𝑏+3=0,
∴抛物线解析式为𝑦=−𝑥2−2𝑥+3=−(𝑥+1)2+4， ∴抛物线的顶点坐标为(−1,4)，
即该抛物线的解析式为𝑦=−𝑥2−2𝑥+3，顶点D的坐标为(−1,4)； (2)设直线AD的函数解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑚， −3𝑘+𝑚=0,𝑘=2,{解得{ −𝑘+𝑚=4,𝑚=6,
∴直线AD的函数解析式为𝑦=2𝑥+6， ∵点P是线段AD上一个动点(不与A，D重合)， ∴设点P的坐标为(𝑝,2𝑝+6)， ∴𝑆△𝑃𝐴𝐸=
−𝑝⋅(2𝑝+6)
2
=−(𝑝+2)2+4，
9
39
∵−3<𝑝<−1，
∴当𝑝=−2时，𝑆△𝑃𝐴𝐸取得最大值，此时𝑆△𝑃𝐴𝐸=4， 即△𝑃𝐴𝐸面积S的最大值是4；
(3)抛物线上存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形， ∵四边形OAPQ为平行四边形，点Q在抛物线上， ∴𝑂𝐴=𝑃𝑄， ∵点𝐴(−3,0)， ∴𝑂𝐴=3， ∴𝑃𝑄=3，
∵直线AD为𝑦=2𝑥+6，点P在线段AD上，点Q在抛物线𝑦=−𝑥2−2𝑥+3上， ∴设点P的坐标为(𝑝,2𝑝+6)，点𝑄(𝑞,−𝑞2−2𝑞+3)，
9
3
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𝑞−𝑝=3∴{， 2𝑝+6=−𝑞2−2𝑞+3解得{
𝑝=−5+√7,
或
𝑞=−2+√7
舍去)，
当𝑞=−2+√7时，−𝑞2−2𝑞+3=2√7−4， 即点Q的坐标为(−2+√7,2√7−4)．
解析：(1)根据抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+3经过𝐴(−3,0)，𝐵(1,0)两点，可以求得该抛物线的解析式，然后将函数解析式化为顶点式，从而可以得到该抛物线的顶点坐标，即点D的坐标；
(2)根据题意和点A和点D的坐标可以得到直线AD的函数解析式，从而可以设出点P的坐标，然后根据图形可以得到△𝐴𝑃𝐸的面积，然后根据二次函数的性质即可得到△𝑃𝐴𝐸面积S的最大值； (3)根据题意可知存在点Q使得四边形OAPQ为平行四边形，然后根据函数解析式和平行四边形的性质可以求得点Q的坐标．
本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
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