Journal of Jiujiang University ( Social Science Edition)
九江学院学报（社会科学版）
(Sum NO 187)
（总第187期）
《几何原本》对于明清学术思想的影响
----徐光启与焦循的翻译与诠释
程钢
(清华大学大学生文化素质教育基地北京100084)
摘要：公理化的方法在中国的实践与探索有其发展演变的过程，因此，公理化的思想应 当有一个生成史。明末清初中国一批有眼光的士大夫的探索实践，是跨文化之间学习交流 的典范。其中徐光启对于《几何原本》翻译和推介，焦循通过以《几何原本》的数理思想为范 本开展的易学世界构图的建构，是公理化方法和思想在中国的成功实践。通过分析他们关 于对《几何原本》的译著及诠释，有助于我们理解西方公理化思想的演变过程。
关键词：《几何原本》，翻译推介，易学，公理化思想的演变
中图分类号：G4文献标识码：A文章编号：1673 -4580(2017)04 -0053 -(08)
自2008年以来，甘筱青教授及其团队潜心研 究，他们关于先秦儒学的公理化诠释不但让我们 耳目一新，而且让我们更加深入地理解中华典籍 的内在逻辑体系。公理化方法是一种理性思维及
其表达的方法，它萌芽于公元前3世纪欧几里得 的《几何原本》。公理化的方法在中国的实践与探 索有其发展演变的过程，因此，公理化的思想应 当有一个生成史，中间应当有很多种特殊的形态。 明末清初中国一批有眼光的士大夫的探索实践， 是跨文化之间学习交流的典范。
一、徐光启对《几何原本》的翻译与理解 在《几何原本》的传入过程中，徐光启 (1562 -1623)作出了杰出的贡献。
徐光启并不是一'介布衣书生，而是在朝廷负 有责任的官员，是一名官员兼科学家。在徐光启 从政之后，他一直将目光瞄准实际的工程技术事 业，对农学、机械、水利等事关国计民生的实际 问题饶有兴趣，并运用他的所长，撰写与翻译了 这方面的著作。比较有名的有：《农政全书》（撰 写）、《泰西水法》、《测量法义》、《测量异同》 等。作为朝廷的大臣，他主持过修订历法，完成 了明末（也是明清时期）最重要的历法改革（清 代采用的《大统历》其实就是徐光启主持修订的 崇祯历），他晚年负责崇祯历局期间与修历有关的收稿日期：2017-10-26
作者简介：程钢，博士，教授，清华大学大学生文化素质教育基地副主任
著作集为《崇祯历书》，在修订历法时，徐光启大 力推荐精通西方天文学与数学知识的人才，采用 了西方的方法。
徐光启的重要贡献是对于《几何原本》的认 识与翻译。徐光启对于《几何原本》传入所作的 贡献可分为三方面：一是对于《几何原本》前六 卷的翻译，二是对于《几何原本》的深刻认识， 三是以几何学为基础，将几何学与中国传统的勾 股术相结合，对中西数学传统进行了会通。在这 些方面他的主要工作有：《几何原本》（前六卷）、 《勾股义》等。
徐光启对《几何原本》的理解主要有如下几 点：
(一）“下学功夫，有理有事”。
“下学功夫，有理有事”出自于徐光启很重要 的论述其几何学思想纲领的文章《几何原本杂 议》，而且是这篇文章的开篇辞，“下学” 一词出 自《论语》。《论语•宪问篇》云：“子曰：‘不怨 天，不尤人。下学而上达。知我者其天乎！’”徐 光启的义理，正是从下学开始的，徐光启义理之 学的基础，也正是下学。其重要性是不应忽视的。 在这篇文章中，徐光启论谈了他对于理、事诸范 畴的看法。徐光启所使用的范畴，均属于宋明理 心学流行时代的常用范畴，但注入了他自己的解
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释与理解。
在阐述了“下学功夫、有理有事”的命题之 后，徐光启紧接着表示，下学功夫的学问基础是 几何学，几何学不仅仅能够为我们提供知识与学 问，还能提高我们的智慧，煅炼我们的德性，训 练我们的心灵。“故学此不止增才，亦德基也。”
“下学功夫”分为“理”与“事”两个方面。 “此事为益，能令学者祛其浮气，练其精心；学事 者资其定法，发其巧思，故举世无一人不当学。” (徐光启《几何原本杂议》）在读这段话前半部分 中国传统学术中，存在着丰富的宇宙论思想 资源，总体上讲，它们都是以阴阳五行之气作为 元素，依靠术数建立元素之间的联系。徐光启的 世界构图是用几何学而不是阴阳之气描绘而成的。 这在中国宇宙论史上是一次革命，它与传统的宇 宙论有很大的不同。站在新型世界构图的立场上， 徐光启对旧的宇宙论进行了尖锐而深刻的批判。 徐光启认为，在旧的方术象数系统之中，各个环 节之间缺乏严密的逻辑联系，象与象的联系表现 出极大的主观任意性，存在着很多的缝隙，表现 关于理的论述时，给人的感觉是，徐光启多少受 到了那个时代的阳明后学关于“实心磨练”、“实 事磨练”、“心事合一”诸论点的影响。但后半部 分关于“事”的论述，搁置到引进西方数学经典 《几何原本》的背景下看，却是充满新意。而且特 别可贵的是，徐光启并没有将“理”与“事”割 裂开来，而是融为一体。“祛其浮气，练其精心”， 既是一种德性，又代表了一种知性。所谓“精 心”，并不是玄妙莫测的某种心理实体，而是下文 所说的“心思细密”（或说是细心），所谓“浮 气”，其本质特征也是“心思细密”的对立面 (或心思粗疏），也没有玄妙的解释。
将“心思细密”（在几何学背景下）上升为 核心的德性或心理品质，这样的理论是中国思想 史上的创新之举。这一结论的得出，也不是抽象 玄辨的结论，而是从西学史上总结出来的。“闻西 国古有大学，师门生常数百千人，来学者先问能 通此书，乃听入。何故？欲其心思细密而已。其 门下所出名士极多。”
“人具上资而意理疎忽，即上资无
用；人具中材而心思缜密，即中材有用， 能通几何之学，缜密甚矣丨故率天下之人 而归于实用者，是或其所由之道。”
徐光启对几何学的译介，并不只是将几何学 看成是一种精密的技艺，而是对几何学寄予了深 厚的希望，他将几何学看成了一块坚实的磐石， 他要在这块磐石重建新型的儒学世界观。从而， 徐光启开辟了中国历史上第一个以几何学为基础 的世界观，并提倡相应的思维方式，这在中国思 想史上实属创举，具有重要的意义。这一世界观 有如下几方面的重要内容。
宇宙是一个整体，其基本特征是细密。这个 系统的基本元素是数学的成份，元素与元素之间 遵从几何学的法则。人类认识的重要任务是认识 这个系统及其系统中诸元素之间的相互关系。要 认识这类关系，只有唯一的学习之路：几何学。
出粗疏的特点。
对徐光启来说，最重要的问题是应对宇宙的 细密性，而数学是人类与生倶来就具有的应对这 个难题的途径。
“数之原其与生人俱来乎？……我中 夏自黄帝命隶首作算，以佐容成，至周大
备。周公用之，列于学官以取士，宾与贤 能，而官使之。孔门弟子身通六艺者，谓 之升堂入室，使数学可废，则周孔之教踡 矣。而或谓载藉燔于羸氏，三代之学多不 传，则马、郑诸儒先，相授何物？唐六典 所列十经，博士弟子五年而学成者，又何 书也？由是言之，算数之学特废于近世数 百年耳。”
“能精此书（指《几何原本》）者，无一事不可精；好学此书者，无一事不可 学。”（《几何原本杂议》）
“余谓其教（指利玛窦传来的宗教）必可以补儒易佛，而其绪余更有一种格物 穷理之学，凡世间世外万事万物之理，叩 之无不河悬响答，丝分理解，退而思之，穷年累月，愈见其说之必然而不可易也。 格物穷理之中，又复旁出一种象数之学。象数之学，大者为历法，为律吕；至其他 有形有质之物，有度有数之事，无不赖以 为用，用之无不尽巧极妙者。”（《泰西水 法序》）
(二）理与法
由于没有一种以几何学为依托的天文学模型， 中国古代的历法学存在着历理方面的不足，对于 历理的探索，长期以来沉没在神秘玄奥的境地之 中。邵雍说：“今之学历者但知历法，不知历理。 ……洛下闳但知历法，杨雄知历法又知历理。” (《观物外篇》）元代朝廷召王恂编定新历（《授时 历》），王恂也认为，一般的历家但知历数而不知 历理，应当请理学家许衡领衔。许衡是一名理学
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家，在天算学方面未见得有很深修养，对于编历 所需的天算学知识也不是专家。但作为国家大典
的历法，在编订过程中以及在编订结束后，都存 在着历法系统的选择以及义理方面的说明，对当 时人来说，在此过程中，历理是必不可缺的。在 徐光启看来，以往那种以阴阳五行、河图洛图为 基础的义理并不是真正的历理。真正符合要求的 历理只有一种，那就是以几何学为基础的天文学 模型。这种模型与上述的徐光启大力阐发的世界 构图是一致的，由此亦可证徐光启的新型世界构 科学研究提供了坚实的理论基础。有时候，徐光 启又径直将“理”称作“所以然”。这个所以然
与宋明理学属于形而上的“所以然”颇为不同。 朱子是这样解《易•系辞传》“一阴一阳之谓道” 的：“然其所以一阴而一阳者，是乃道体之所为 也。”（《答陆子静》）这个道体即为形而上之 “理”，它超越于现象世界之上。而徐光启所揭示 的“所以然之理”，却正是构成现象世界基本要素 的道理，是为数学方法奠定基础的理。
二、经学与天算学：焦循思想的中心话题
图并不是形而上思辩的产物，而是建立在天算学 学术实践的坚实基础之上。
徐光启不仅是一名精通技术的历法家，而且 是一位拥有深厚义理修养的科学家。在改历过程 中，他特别强调，不但要修正旧历的错误，而且 一定要找出旧历失误的原因。因此，不但要知道 历法的当然，而且还要弄通历法的所以然。他批 评前代的历家“第能言其法，不能言其义”。法是 数学上的算法，义即是理，是以几何学为基础的 星球运行模型，这种模型是以数学语言表述的， 因而也包括这一模型内含的数学原理在内。因此， 徐光启说：“第令改历一事，因差故改，必须究其 所以差之故而改正之。前史改历之人皆不其然， 不过截前至后，通计所差度分，立一加减乘除， 均派各岁之下，谓之改矣，实未究其所以然也。 臣等昔年曾遇西洋利玛窦，与之讲论天地原始， 七政运行，并及其形体大小远近，与夫度数之顺 逆迟疾，一一从其所以然处，指示其确然不易之 理，较我中国往籍，多所未闻。”（《修改历法请 访问汤若望罗雅谷疏》）还说：“然而推步之学， 其中事理有须申明奏闻者。盖历自汉迄元一千三 百五十年，凡六十八改而后有授时之法，是皆从 粗入精，先迷后得，谓古法良是，后来失传误改 者，皆谬论也。自元至今又三百五十年，略无修 正，并郭守敬之遗书一百余卷，悉皆散逸，徒取 其仅存之粗迹，为熙朝典，讵是事宜？……（前 代历家）不知其中有理、有义、有法、有数。理 不明不能立法，义不辨不能著数。明理辨义，推 究颇难；法立数著，遵循甚易。即所为明理辨义 者，在今日则能者从之，在他日则传之其人，令 可据为修改地耳，非必在台诸臣悉皆晓畅也。” (《测候月食奉旨回奏疏》）在此，徐光启向我们揭示了一幅全面完整的 历法学画面，它包括四方面的内容：理、法、义、 数。其中最重要的是理与法。徐光启以几何学为 基础，为理与法赋予了新的时代含义，为其后的
焦循（1763 -1820)，字理堂，号里堂，江苏 甘泉人（今扬州）。幼年并未接受过正规的数学教 育。直到24岁时，友人顾超宗认为他很适合学习 数学，赠送他《梅氏丛书辑要》一部，方开始潜 心自学数学。焦循一生勤奋治学，著作丰富。在 数学方面计有《加减乘除释》《天元一释》《释 椭》《释弧》《开方通释》等。在清代学术史上， 焦循是一位成就卓著的经学家，尤其是易学与孟 子学著称，著有《易学三书》《孟子正义》，对其 余儒家经典，也有著述，且有较大的影响。
焦循在其算学与易学书中，不止一次提及 《几何原本》。现在我们要讨论的正是《几何原 本》对于焦循的影响。这个影响展现为一系列比 较隐晦的环节。它首先影响了焦循对于数学本质 的看法，其次又以焦循的数学理念为中介，通过 以《几何原本》其书为范本的世界构图影响了焦 循的易学，使得这种世界构图成为焦循易学的两 大重要成分之一。
(一）《几何原本》与《加减乘除释》
焦循认为，数学的基础即为数与加减乘除。 一切数学分支，无论它是中国的，西方的，还是 现在的，古代的，其根本都存在于数的加减乘除 的排列组合之中。“自一至九，数也。加减乘除， 错综此数者也。（此上谈数与算）乘而后有幂 (按，面），再乘而后有体（按，立体），则数已 成形。（以上分析形的由来）故平方、立方、纵方 生于加减乘除，而加减乘除所生而致者，实尽乎 此。句股者，生于形者也，形复生形，而非数无 以驭，则加减乘除，又为句股所用也。句股为用 形之始，故为众形之所从生。盖有句股而复用以 割圆，则圆之形成。有句股而化之为说钝。（此句 暂时不易解）则三角之用著，鳖臑为句股之立者， 规之即成为立圆，又弧三角之弦切所集也。西人 萨几里德（按，欧几里德）一书，精于说形，梅 匆庵（文鼎）明以句股之理。夫论形未有不本诸 句股，犹论数未有不本诸加减乘除也。学者由数
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以知形，以形以知数，悉诸加减乘除之理，自可 识方圆幂积之妙。”（《加减乘除释》卷3)
焦循《加减乘除释》的优点是阐发数学之理。 焦循认为，一方面，传统算书的分类法（如《少 广》《方田》等）有其实际的合理之处。另一方 面，人们不应满足于从传统的分类上认识算学， 要能够融会贯通，将散见于不同分类名目下的同 一类方法提练出来，找出它们共同的理。传统算 学的叙述结构是：名一法，焦循对此提出的改进 意见是，将传统算学的结构拓宽为：名一法一理， 的那样，考据学的主要工作就是“排谴名相”，因 此，对待名相的态度是清代学术中的重要问题。 今人知道，人类学术的发展离不开学术符号的中 介作用。这种符号中介共分两类。一类是文字符 号，另一是数学符号。当许多学人仍将数学当成 工具之学的时候，焦循开始对学术符号进行了深 刻的批判，引发了意义深远的哲学思考。
沿着文字音韵学的思路类推，天算学内也应 当存在着类似的系统，《加减乘除释》便是实践这 一类推的结晶。古算书之所以困难，根本原因在 增加“理”的维度。
在《加减乘除释》的序言中，焦循对他的思 想作了全面地论述：“刘氏徽之注《九章算术》， 犹许氏慎之撰《说文解字》。士生千百年后，欲知 古人仰观俯察之旨，舍许氏之书不可，欲知古人 参天两地之原，舍刘氏之书不可。……循谓古人 之学，期以实用，用硋百工，察万品，而作书契， 分别其事物之所在，俾学者案形而得声。若夫声 音之间，义蕴精微，未可人人使悟其旨趣，此所 以主形而不主声也。惟算亦然，既有‘少广' ‘句股'又必指而别之曰‘方田’、曰‘方功' 既有‘衰分’、‘盈不足’、‘方程’，又必明以示 之曰‘栗米’，曰‘均输'亦指其事物之所在， 而使学者人人可案名以知术也。然名起于立法之 后，理存于立法之先。理者何？加减乘除四者之 错综变化也。而四者之杂于九章，则不啻六书之 声杂于各部。故同一今有之术，用于‘衰分'复
用于‘栗米'同一齐同之术，用于‘方田'
复
用于‘均输'同一弦矢之术，用于‘句股'复
用于‘少广’，而立方之上，不详三乘以上之方; 四表之测，未尽三率相求之例。踵其后者，又截 ‘栗米’为贵贱衰分，移均输为叠借互征。名目既 繁，本原益晦。盖九章不能尽加减乘除之用，而 加减乘除可以通九章之穷。《孙子（算经）》、《张 邱建（算经）》似得此意，乃说之不详，亦无由 得其会通。不揆浅陋，本刘氏之书，以加减乘除 为纲，以九章分注而辨明之。”
全段的纲领是“然名起于立法之后，理存于 立法之先。理者何？加减乘除四者之错综变化也。 而四者之杂于九章，则不啻六书之声杂于各部。” 焦循提出，名起于立法之后，理存于立法之先。 名一法一理的系列中，从道理的角度看，他将理 置之于第一位，而将名置之于末位；但从学习的 过程看，焦循并没有否定“案名以知法”，“由法 以知理”的合理性。在此最令人感兴趣的是焦循 对于名的分析。名，又称名相，正如章太炎所说
于，古算书中充满了各种具体算例，人们为每一 种算例标示一个名。每个名代表了很特殊的一种 算法，它只适用于这一算例。跨出这个算例的范 围，它的真理性立即丧失。每一个具体算法都是 正确的，但它仅仅是一种很有局限的真理。它的 缺点不在于错误（它并不错），而在于真理的视域 过窄。要改变这种拘泥于狭窄真理之中不能自拔 的局面，必须跳出“名一法”的小世界，进入具 有普遍真理性的“理”世界之中。这个“理”即 为加减乘除之理。从加减乘除之理的角度再来看 古算书，人们看到的是一个个局部正确的真理， 它们的缺点在于，它们之间不能够融会贯通，构 成一个理法合一的整体。在此过程中，古算书中 种种繁复冗余的“名”必须加以清洗，必须认识 到名仅仅是为了“法”（具体算例或算法）所设 的标识，它本身并没有什么实质的真理内容。如 果说有内容的话，“名”只具有修辞的、提示的、 比喻的功能，人们通过“名”，进而认识“法”， 再进而认识“理”。一个完整的学习过程，必须同 时兼备这三种成分。这无论是对于为经学服务的 “小学”（文字、音韵、训诂），还是对于天算学， 都是正确的。
(二）“参伍错综，明易之道”
从徐光启开始，向中国学人引进了一种新型 的世界构图，在几百年间，它对所有具有哲学头 脑的学人既是一种诱惑，又是一种挑战。徐光启 所说的世界构图是以《几何原本》这部书为范本 的。它以一系列的几何学命题为元素堆砌而成， 它有如一幢大厦，前后有序，整齐严密，严丝合 缝，是一'种高度有序的宇宙观。
在儒家学术体系中，易学是极其重要。自 《汉书•艺文志》直到《四库全书》，均将易学列 为群经之首。《周易》的形成是一个历史的过程， 对此从无异议，争论仅局限于各部分的作者是谁。 《汉书•艺文志》云：“易道深矣，人更三世，世 历三古。” “人更三圣”是说，《易经》历了三位
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圣人的创作，伏羲作卦象，文王作卦爻辞，孔子 作传。“世历三古”是说，伏羲、文王、孔子生活
的时代很不相同。《周易》的解释，更是聚讼纷 纭，莫衷一是。《周易》文本的意义呈现出高度的 多元性，成为儒家经学中奇特的景观。元代以后， 朱子易学成为影响最大的易学之一。
《周易》文本的历史特质使得它难以被整合成 有机的整体，连朱子也没有能为易学提供标准的 解释。朱子强调，“易更三圣，世历三古”，三位 圣人有经有传，宜分别对待。
观之上。这种进化观在清代的建立与流行，是与 天算学的发展相伴随的。它的最初表述来源于徐 光启对天算学史的认识。
(三）焦循易学：《几何原本》的吸收与超越
焦循把《易经》其书的结构作为一个宇宙， 表现出了一种高度可知论的自信心。这种可知论 信心的最典型表现见于阮元为其易学著作所作的 序文“使《易》之经文语语有因，字字有据”之 中。焦循之所以敢于提出这种充满自信心的易学 世界构图，这是由于它是在天算学研究的基础上 焦循承认每一代易学观的局部真理性，他的 使命是要将这些看似不同、互无联系的局部整合 为一个有机的巨大整体。
在焦循看来，易学的真理存在于易学的演化 过程之中，它的真理呈现为一个由简单到复杂、 由小到大的进化过程。关于伏羲易、文王易、孔 子易的关系，焦循是这样解释的。
“窃谓卦起于包犧，八卦成列，因而 重之，命之以名。（以上讲伏羲作卦并重 卦）文王以其简而不易明也。系以象辞。
周公以其简而不易明也，系以爻辞。...然而犹不易明。我孔子韦编三绝而后赞 焉。且不一赞而至于十赞者，佐也，引 也。佐文王、周公之辞，引而申之也。包 犧之卦，参伍错综，文王周公之系辞，亦 参伍错综，……孔子十翼，亦参伍错综赞 之。所以明易之道者备矣。七十子殁，道 在孟子。孟子道性善，称仁义，恶杨墨之 执一，斥（张）仪、（邹）衍之妾妇。皆 所以阐明孔子之学，而肠合乎伏羲、文 王、周公之旨，故孟子不明言乎易，而实 深于易。其商瞿所受，杜田生所传，散见 于孟喜、京房、郑康成、荀爽、虞翻之 说，不绝如缕。惜乎汉魏诸儒，不能推阐 其所闻，以详发圣人之蕴，各持其见，苗 莠杂糅，坐令老庄异端之流，出而争之 矣。”（《易通释自序》）
焦循向我们描述了一幅易学由简到繁（参伍 错综）、由繁通向“明”的进化图。在这样的一 幅进化图之中，易学的真理甚至超越了文字表述， 将“不明言易”的孟子也括入到“实深于易”的 易学精神行列之中。
这是一种海纳百川、有容乃大、兼容一切学 派的以学术器量为中心的真理观，这与清中叶融 合中西天算学、会通诸子学的学术潮流是一致的。 所有这一切建立在进化论的经学（或易学）发展
形成的。在研究中，焦循深入借鉴了当时最为前 沿的两门学科，一是音韵训诂之学，二是天算学 (包括《几何原本》、球面几何、《算经十书》、宋 元算学），仅从知识上讲，也足以使得构图者胸怀 充分的自信心，有真理在握之感。
《易经》这部书是一个大宇宙，字词是其元 素，在这些字词的背后，充满了由“九数之正负 比例、六书之假借转注”为中介构成的联系，这 些字词的意义即在于卦爻象之间的参伍错综的运 动之中。焦循坚信，意义世界必须用数学语言书 写，创造易学这部书的圣贤们是一批数学家。这 不是焦循个人的私见，当时考据家普遍对数学葆 有尊敬之心。焦循是这种真理观的代表人物。
焦循建构了清代易学的代表性体系。这一切 是通过易学的技术环节“旁通”来完成的。“旁 通”有多种表述方式，最广义的旁通可以涵括 “引申比例”，其中，“引申”是“神妙无方”的 易辞变化形态，即易经修辞学；“比例”是规矩严 整的易象转换规则，即易经天算学。
在焦循易学中，易辞的意义要表述的是卦爻 象的运动，是一种运动过程中的变换。为了维持 这种复杂变换过程的严格性与规范性，必须保持 运动变换过程中的相对静止与同一性。
为了在保持运动变换的同时维持其相对静止 与同一性，焦循专门引入了 “比例”范畴。焦循 说：“乾隆丁未，余始习九九之术。既明《九 章》，又明秦道古（九韶）、李仁卿（治）之书， 得闻洞渊九容奥义，读《测圆海镜》卷首‘识 别’一册，而其所谓正负寄如、如积相消者，精 微全在于此。极奇零隐曲之数，一比例之，无弗 显豁可见，因悟圣人作易作倚之数，正与此同。” (《易图略•比例第五》）
“比例”是焦循易学的关键范畴之一，它与引 申是理解易辞时必不可缺的前后相续的两个环节。 引申在前，比例在后。我们所说的易辞运动形态， 焦循的表述则是“所之”（从“此”运动到“彼”）。
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引申的功能是使得孤立的某个易辞（字词）找到 可以相互关联的参考物（形象上讲是“伙伴”）， 相互引申的“伙伴”易辞分布在不同的易学空间 (即不同的卦爻位置），当我们将它们联系到一起 时，就意味着我们要将处于相互分隔的易学空间 之中的易辞贯联到一起，在焦循易学中，这种联 贯正是运动。但这种运动并不是主观任意的改变， 而是要通过一系列的变换环节（比例），使得甲最 终与乙联贯起来，与此同时，在变换中保持同一 性。在数学上，这种同一性即为等式。这是焦循 转理、分理、合理、更理、平理之序、平理之错。 在清初编撰的《御制数理精蕴》中，比例之说得
到了更系统的阐发与整理，形成了更为完备的比 例分类体系：相当比例、相连比例、顺推比例、 反推比例、逆转比例、分数比例、合数比例、隔 位比例、错综比例、加分比例、减分比例。这一 现象本身就反映了，比例之说传入中国之后，中 国学者对其表现出了极大的兴趣。在利、徐的 《几何原本》译成之后，学人们对比例的兴趣极其 高昂，翻译史的常识告诉人们，只有经过长时期 易学中最有意思，也是最得当时学术领袖阮元等 人认可的地方，因为要将如此复杂的问题，以如 此简洁、既符合音韵训诂学、又符合数学的的方 式表述出来，在一个无比推崇学术功力的时代， 让学人们看到了建立一个严格、规范、洁净、精 微的学术图像的希望。由于学术背景（当时推崇 的科学与今日推崇的科学在复杂性与深度上不同） 的巨大变化，今人在阅读焦循易学时，除了感受 到结构繁琐的辛苦与精巧设计，已经不太容易直 接理解其所付辛苦的意义了。
作为一个数学概念（即便不是“比例”这个 词），“比例”是伴随着明末中西天算学大交流 (特别是欧几里德几何学）的过程中引进的，在某 种意义上是当时传入的最有活力的数学概念之一。 “比例”以其神奇的魅力，它种类繁多、形式多 样、功能灵活，征服了许多中国数学家。在初等 数学里，所谓“比例”，指的是两个比之间的相等 关系。如果“甲与乙的比”（甲/乙）等于“丙与 丁的比”（丙/丁），那么，可以说四个“量”甲、 乙、丙、丁之间构成了一个比例。更玄妙的是， 如果知道四个“量”之中其中三个的数值，则可 以根据比例关系推断出余下的那个“量”的数值。 数学的一大功能就是“由已知推出未知”。在某种 意义上，方程也只是一种比例而已。任何方程的 求解，最终必定要还原到某种比例。在数学中极 其重要、而又最有魅力、最能够引发公众业余兴 趣、也同时是很有普遍启发功能的分支，就是方 程。在近代初期，意大利数学家为了求解一元高 次方程，采取了打擂台的方式，引发了公众的好 奇心。精采纷呈，相信每一位在初中学过方程、 而又对数学有兴趣的学人，都曾经被这些故事迷 倒过。在中国也同样如此，明末以来，对于比例 的论述可以构成单独的研究课题。“比例”在欧氏 几何中也是很基础的问题之一。在徐光启所译的 《几何原本》之中，将比例分为如下几种：同理比 例（亦作相称几何）、连比例、正比例、反比例、
的研讨与推敲，才有可能以如此流畅而典雅的文 字译出一系列的、今日读来仍然觉得清晰动人的 术语来。
“比例”这个数学范畴给了焦循解决其易学难 题提供了极其重要的中介。对焦循来说，既然人 们在数学的解题中感受到了充足的真理性，那么， 易辞的解释方式应当与数学的解题方式是一致的。 解释易辞的关键是要揭示易辞涉及到的不同卦爻 位置之间的联系，而这些位置是由卦爻象标识的， 因此，如果人们将这些卦名想象成为洞渊九容术 中的名词，人们就是在计算一道复杂的方程。方 程的奥妙可以用一句话来概括：因已知求得未知。 这其实也是“比例”的义蕴所在。焦循将这一思 路运用到了易学上，他说：“说者（包括朱子在 内）谓孔子之易非文王之易，文王之易非伏羲之 易。近人（批评清代一部分忽视卦爻象、专门讲 求义理的易学家）多知其非，而欲于孔子《十 翼》为彖辞爻辞之义而不俟他求。然文王之彖辞， 即伏羲六十四卦之注，而非如学究之所为注也。 周公之爻辞，即文王彖辞之笺，孔子之《十翼》， 即彖辞爻辞之义疏，而非如经生之所为义疏也。 何也？学究之注，经生之义疏，就一章一句，枝 枝节节以为之解。而周公孔子之笺疏，则参伍错 综、触类引申。”
但这种“参伍错综、触类引申”的整体大局 之解释是如何可能的呢？焦循说，它们离不开 “比例”这一学术中介。“譬如彖（指彖辞）举一 隅，象则增举一隅，《传》则又增以一隅。举一以 反三，或犹以为难。有三率以知一率（此即比 例），则庶乎易。悉此，孔子赞易之功所以广大而 通乎神也。惟其参伍错综、触类引申，不似学究、 经生枝枝节节以为之解。而学者以学究、经生之 笺疏例之，所以为赞、为翼者不可见，而彖象之 本意亦不明，遂觉孔子之传，无当于文王、周公 之辞。夫孔子之传，所谓翼也，赞也。文在于此 (卦爻位置）而意通乎彼（卦爻位置）。如人身之
程钢：《几何原本》对于明清学术思想的影响• 59 •
络与经，联贯互相纠结，针一穴而府藏皆灵。执
一章一句以求其合，宜乎？三隅虽举，仍不能以 一隅反也。明乎其所为翼、所为赞，则以《彖》、 《象》、《序》、《杂》诸传分割，各系经句下者非 也。”（《易略图•原翼》）对焦循来说，“比例”似乎可以为他解开一个 难题，从而将两个对立的要素综合起来。一方面， 易辞是运动变化的，另一方面，易辞又必须保持 同一性。运动变化与同一性是相互矛盾的事物， 但通过比例这个学术中介，焦循将其统一了起来。 位的奇偶性即阴阳性不符）的问题。因此，它们
总是存在着不当位的缺陷，卦爻象内部自动地潜 存着改正自己不足、填补自身缺陷的趋向。通过 两个卦爻象之间的互换，两个卦都变得更加当位。 在某种意义上，这是一个“双赢”的模式。在置 换的过程中，每个卦都改变了自身，与此同时也 都改进了自身，双方不再呈现出初始时那样截然 的对立状态。因而，在旁通之中，只要甲/乙构成 一组对立，那么，经过旁通的人为努力，甲的就 有可能成为乙的，乙的也有可能成为甲的。究竟 当甲乙丙丁四个量之间构成一个比例时，它们形 成一个等式。甲/乙=丙/ 丁。在焦循看来，在等 式的两端，甲/乙的同一性被准确地传递到了丙/ 丁的同一性中去了。至于这种同一性属于甲还是 乙，抑或是属于丙还是丁，这对焦循来说是无关 紧要的事情。对焦循来说，甲与乙既然构成了一 对比（注意尚不是比例，在数学上比与比例有 别），这就意味着，甲与乙已经构成了一种伙伴关 系，建立了基本的联系。这种联系不会因为甲与 乙的对立性而取消。换言之，日常眼光看到的对 立也是一种联系，只不过是一种相反的、对立的 联系，它们之所以能够形成对立，就说明它们之 间有某种联系：对立的联系，这就正如数学上的 “反比例”（《数理精蕴》译作“反推比例”）也 是一种比例一样。日常所见的对立，只是视野狭 窄、只能看见特定局部时空之人眼中产生的表象， 这些人将这种表象绝对化，并完全忽视其内在的、 属于整体的联系，只要人们从更大的整体、从全 体的时空看待所谓的对立，明眼人从中看到的主 要不是对立，而是潜藏在对立背后的同一性。眼 中只有对立、并将对立看成是毫无联系的人，是 自小其器量、自小其视野的人，他们的不足起源 于他们没有认真地体会儒学关于“大舜有大焉” 的真理观，看不见世界上的各个部分最终必定要 融会贯通为一个生生不息的整体。
将普通人所谓的对立融贯为一个整体的运行 环节，是焦循易学最为基础的范畴之一。这个范 畴叫做“旁通”。从易学技术上讲，所谓“旁 通”，指的是卦爻象的一种运动变换规则。在传统 易学中，如果两个卦所有爻的阴阳性质正好相反， 唐代经学大师孔颖达将这两卦的关系称作“变”。 对有些人来说，两个爻性正好相反的卦意味着对 立，但对焦循来说，正好相反，正因为两个卦的 爻性相好相反，这就为它们相互之间取长补短、 各献所余、各补所缺提供了机会。对于大多数的 卦来说，总存在着不当位（即爻性的阴阳性与爻
是属于甲，还是属于乙，这是个狭小器量格局下 的问题。
此外，旁通仍然是一种比例形式，在旁通的 过程中，双方的同一性依然保持了下来。从整个 系统说，其严格性与规范性是没有受到丝毫伤害 的。除了旁通以外，还有一种变换规则，它称作 “相错”，就其功能而言，与旁通相似的，但它是 为旁通行不通时所作的补充准备。旁通与相错的 联合作用，构成了一个比例。有时候，某个易辞 所在的两个卦爻位之间的联系过于复杂，乃至于 要找到这一联系，学人不得不进行一系列迂回曲 折的变换。这时，对焦循来说，人们应当相信， 这样的联系肯定是存在的，这种联系的特殊性仅 仅在于，它是一种比普通联系更为复杂的联系。 如果我们引入比例与方程的概念，可以说，在易 辞的两个卦爻位之间联系都是一个利用比例求得 方程的过程。只不过有的方程简单，有的方程复 杂。如果同一易辞出现的位置不止两个，这意味 着，这有可能是个多元的方程组，或者是一个高 次的方程式（有如洞渊九容与天元术）。不论是什 么样的方程或方程组，对焦循来说，它们的解都 是存在的。在某种意义上，整个清代学术都建立 在充足的可知论的基础上，学人对认知充满了信 心，从不怀疑知识，而是绝对地相信知识可以为 人们提供生活的信心与智慧。
这样，焦循就克服了天算学与易经修辞学的 二元论，将两者打成一片。在此过程中，易经修 辞学的个性开始凸显，它不同于文学修辞。文学 修辞是主观的，缺乏客观严格的规则，但易经修 辞学却是公共的，是“以已之性灵，合诸古圣之 性灵，并贯通于千百家著书立说之性灵”，这种性 灵不是个人主观的任意创造，而是以著书立说为 中介，在自己与他人、今人与古人的相互感通之 后而形成的性灵。如果这一观点成立，“易更三 圣、世历三古”中“三圣” “三古”之间的断裂 就被弥合了。不要将太多精力集中于有着特定时
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九江学院学报
2017年第4期
空涵义的“三圣”“三古”本身，而应将精力集 中于易学的意义世界，这个世界由“三圣”“三 古”出发，因“三圣” “三古”（已知）去追求新 的易学意义（未知），从而使得《易经》不但与 “三圣” “三古”，而且还真正地与今人、今世、 时代精神（时）联系到一起，这才是易学的真精 神。这个世界是一个庞大的意义之网，网上的诸 结点之间有着参伍错综的复杂联系，这种意义联 系从根本上就超越了孤立时空与个体的体验视域 (如文学才华）。
随意颠倒、各环节之间环环相扣、严丝合缝的严
密整体。
《几何原本》这部书的论述结构，与世界的结 构保持一致。依徐光启说，此书“有四不可得: 欲脱之不可得，欲驳之不可得，欲减之不可得， 欲前后更置之不可得。”（《几何原本杂议》）这 “四不可得”，就代表徐光启对公理化的感悟。尤 其是“欲减之不可得，欲前后更置之不可得”，在 当时均具有极大的冲击力。
紧随着《几何原本》的译本，出现了一批研 庞大的易学意义世界呈现为一件巨大而又陌 生的文本，它既保留了易学的文学修辞形态，承 认易辞引申“神妙无方”（文学性灵）的合理性， 又强调易学的科学性，努力挖掘易辞背后的“旁 通”（包括相错在内，又有时称作比例）关系。 因此，易学家既要有文学家一样的性灵，发现易 辞引申的种种“神妙无方”的变化形态，又要像 天算学家一样，耐心细致地运用天算学语言（它 们仍然采取易象的形式）对它进行破译与计算。焦循易学的所有上述看法，其实都有一个不 成文的前提：《易经》是一部类似于《几何原本》 一样的天算学著作。在焦循看来，《几何原本》及 天算学著作一方面启示了严格性与规范性，另一 方面，为了解决几何学或天算学问题，人们在运 用诸多规则时又必须表现出高度的机智与灵活。 这种性灵的存在，是天算学的生命力所在。将这 种书的构成推广扩充成为一个宇宙整体，这种性 灵则成为宇宙整体生命力的根本，那些严格而规 范的规则将成为其中的“分理” “条理”（戴震用 词）。不过，与戴震不同的是，焦循从根本上反对 理气二元论，甚至于连戴震将宇宙“生生不已之 气”与“分理”“条理”揉合而成的体系也仍有 不满，因为它还是与理气二元论有着千丝万缕的 联系，仍然留有宋明理学的遗留痕迹。在焦循那 里，传统的经学重新复活，它既不失儒学义理的 探讨精神，但又完全贴合经学的切实研究，是一 种寓哲学于经学的学术。这也是焦循等新一代经 学家所要努力的目标。
三、现代启示
徐光启给我们描画了一幅他所憧憬的实事实 行的世界构图。在这幅构图中，世界是一个整体， 其中的各个元素之间呈现出前后截然有序、不能
究学习的著作。如孙元化的《几何体论》、《几何 用法》（1608)，方中通的《几何约》（1661)，李 子金的《几何易简录》（167)，杜知耕的《几何 论约》（100)，梅文鼎的《几何通解》等。这批 学者，对于《几何原本》的态度也各不相同。上 述著作，有人嫌《几何原本》繁琐，有人嫌翻译 的文法难懂。学术界总的看法是为中国人不懂公 理法哀叹。
因此，我们得追问：什么是公理化？数学界 自有定义，大体上不外认为，它有基本假设，定 义，公理。这里想提的问题是：公理化的思想应 当有一个生成史，中间应当有很多种特殊的形态。 我们觉得，徐光启的“四不可得”就很好的描述 了公理化的某些基本的特色，在焦循的立场看， 将《易经》从“易更三圣、世历三古”的破碎状 态中解救出来，依靠的也是这种公理化的力量。 因此，我们应当对公理化有更全面更辩证的理解。 这里我想引一段斯宾诺莎在《伦理学》中的论述: “理性的本性在于认为事物是必然的……并且理性 能够真实地认识事物的这种必然性或者能够认识 事物本身。而事物的这种必然性乃是神自身的永 恒本性的必然性。”斯宾诺莎的观点中，将事物之 理（必然性）归结为神自身的永恒本性。这对我 们的进一步思考颇有启益。
通过分析徐光启、焦循关于对《几何原本》 的译著及诠释，有助于我们理解西方公理化思想 的演变过程，促使“中华经典的公理化诠释”系 列研究不断完善，加强世界上不同文明的交流与 融合。
(责任编辑吴国富）
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