平面向量-高考理科数学总复习专题练习

平面向量

1．代数法

例1：已知向量a，b满足a=3，b=23，且aab，则b在a方向上的投影为（ ） A．3 【答案】C

【解析】考虑b在a上的投影为

ab，所以只需求出a，b即可． bB．3 C．33 2D．33 22由aab可得：aabaab0，

所以ab9．进而

2．几何法

ab933．故选C． b223例2：设a，b是两个非零向量，且abab2，则ab=_______． 【答案】23

【解析】可知a，b，ab为平行四边形的一组邻边和一条对角线， 由abab2可知满足条件的只能是底角为60o，边长a2的菱形， 从而可求出另一条对角线的长度为3a23．

3．建立直角坐标系

uuuvuuuvuuvuuuvuuuvuuuv例3：在边长为1的正三角形ABC中，设BC2BD，CA3CE，则ADBE__________．

AEB

CDuuuvuuuv1【答案】ADBE

4【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，

观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题，

311B,0，C,0， 0,如图建系：A，222

uuuv1uuv13CEx,y，CA,Ex,y，∴下面求E坐标：令22， 21113xx13223uuvuuuv由CA3CE可得：，∴E3,6， 33y3y62uuuvuv53uuuvuuuv3uu1AD0,BE,ADBE∴，，∴． 6624

对点增分集训

一、单选题

1．已知向量a，b满足a1，b2，且向量a，b的夹角为数的值为（ ） A．，若ab与b垂直，则实41 2B．

1 2C．2 4D．2 4【答案】D

【解析】因为ab12cos22，所以abb240，故选D． 442．已知向量a，b满足a1，b2，ab7，则ab（ ） A．1

B．2 C．3 D．2

【答案】A

【解析】由题意可得：abab2ab142ab7，则ab1．故选A． 3．如图，平行四边形ABCD中，AB2，AD1，点M在AB边上，且AMA60o，uuuuvuuuv则DMDB（ ）

2221AB， 3

A．1 【答案】B

B．1 C．3 3D．3 3uvuuuvuuuv1uuuvuuuv1uuuvuuuvuuuvuuu【解析】因为AMAB，所以DBABAD，DMAMADABAD，

33uuuvuuuvuuuvuuuv1uuuvuuuv1uuuv24uuuvuuuvuuuv2DBBMABADABADABABADAD则 33314142111．故选B． 332uuuvuuuv4．如图，在△ABC中，BE是边AC的中线，O是BE边的中点，若ABa，ACb，则uuuvAO（ ）

11A．ab

2211B．ab

2411C．ab

4211D．ab

44【答案】B

uuuv1uuuv【解析】由题意，在△ABC中，BE是边AC的中线，所以AEAC，

2uuuv1uuuvuuuv又因为O是BE边的中点，所以AOABAE，

2uuuv1uuuvuuuv1uuuv1uuuv11所以AOABAEABAEab，故选B．

222245．在梯形ABCD中，AB∥CD，CD1，ABBC2，BCD120o，动点P和Q分别

v1uuuvuuuvuuuvuuvuuuvuuuBCCDDC，则APBQ的最大值为（ ） 在线段和上，且BPBC，DQ8 A．2 【答案】D

【解析】因为AB∥CD，CD1，ABBC2，BCD120o， 所以ABCD是直角梯形，且CM3，BCM30，

以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系：

B．3 2C．

3 49D．

8

v1uuuvuuvuuuvuuuDC，动点P和Q分别在线段BC和CD上， 因为BPBC，DQ81，0，P2,3，Q，3， ，B2，则018uuuvuuuv1112，354， 所以APBQ2，3488令f511，4且01，

48由基本不等式可知，当1时可取得最大值， 则fmaxf151194．故选D． 488uuvuuuv6．已知△ABC中，AB2，AC4，BAC60，P为线段AC上任意一点，则PBPC的范围是（ ） 4 A．1，4 B．0，94 C．，44 D．2，【答案】C

【解析】根据题意，△ABC中，AB2，AC4，BAC60，

则根据余弦定理可得BC416224cos6012，即BC23．∴△ABC为直角三角形

2，C23，0， 以B为原点，BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，则A0，2

则线段AC的方程为x23y1，0x23． 2uuvuuuv4103y23x，yx2y223xx2x4． 设Px,y，则PBPCx，33v9uuvuuu∵0x23，∴PBPC4．故选C．

47．已知非零向量a，b，满足aA．

 42b且ab3a2b0，则a与b的夹角为（ ） 2B．

 2C．

3 4D．

【答案】A

【解析】非零向量a，b，满足a22b且ab3a2b0，则ab3a2b0， 22∴3a2ab2b20，∴3aabcos2b0， ∴31222bbbcos2b0， 22∴cos2，，∴a与b的夹角为，故选A．

4428．在Rt△ABC中斜边BCa，以A为中点的线段PQ2a，则BPCQ的最大值为（ ） A．2 【答案】B

【解析】∵在Rt△ABC中斜边BCa，∴BACA， ∵A为线段PQ中点，且PQ2a，

B．0

C．2

D．22 uuvuuvuuuvuuuvuuuvuuvuuuvuuvuuvuuuvuuv222aBAAQAQCAaAQBACAaAQCBa2a2cos， ∴原式

uuvuuuv当cos1时，有最大值，BPCQ0．故选B．

1o9．设向量a，b，c，满足ab1，ab，ac,bc60，则c的最大值等于

2（ ） A．1

B．2 C．3 D．2

【答案】D

uuvuuuvuuuv1o【解析】设OAa，OBb，OCc，因为ab，ac,bc60，

2所以AOB120，ACB60，所以O，A，B，C四点共圆， uuuv2uuuv2因为ABba，ABbab2a22ab3，所以AB3，

由正弦定理知2RAB2，即过O，A，B，C四点的圆的直径为2，

sin120所以c的最大值等于直径2，故选D．

10．已知a与b为单位向量，且ab，向量c满足cab2，则c的取值范围为（ ） A．1,12

B．22,22 D．322,322

C．2,22

【答案】B

【解析】由a，b是单位向量，ab0，可设a1,0，b0,1，cx,y， 由向量c满足cab2，∴x1,y12， ∴x12y12，即x1y14，其圆心C1,1，半径r2，

222∴OC2，∴22cx2y222．故选B．

uuuvuuuvvuuuvuuuvuuu11．平行四边形ABCD中，AC，BD在AB上投影的数量分别为3，1，则BD在BC上的

投影的取值范围是（ ） A．1, 【答案】A

【解析】建立如图所示的直角坐标系：设Ba,0，

B．1,3

C．0,

D．0,3

则C3,b，Da1,b，则3a1a，解得a2．

uuuvvuuuvuuuD1,bC3,bBMBDcos1b2cos， 所以，．BD在BC上的摄影

当b0时，cos1，得到：BM1，当b时，0，BM，故选A． 12．如图，在等腰直角三角形ABC中，ABAC2，D，E是线段BC上的点，且1uuuvuuuvDEBC，则ADAE的取值范围是（ ）

3

84A．,

9348B．,

3388C．,

934D．,

3【答案】A

【解析】如图所示，以BC所在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，

21则A0,1，B1,0，C1,0，设Dx,0，则Ex,0，1x．

33uuuvuuuv2据此有ADx,1，AEx,1，

32uuuvuuuv2218则ADAExx1x．

33918uuuvuuuv据此可知，当x时，ADAE取得最小值；

39当x1或x14uuuvuuuv时，ADAE取得最大值； 3384uuuvuuuv的取值范围是ADAE9,3．故选A． 

二、填空题

13．已知向量a1,2，b2,2，c1,，若c∥2ab，则________．

【答案】

1． 2【解析】因为a1,2，b2,2，所以2ab4,2， 又c1,，且c∥2ab，则42，即

14．若向量a，b满足a1，b2，且aab，则a与b的夹角为__________． 3【答案】

41． 2【解析】由aab得，aab0，即a2ab0，

2据此可得ababcosa,ba，∴cosa,b1122， 23又a与b的夹角的取值范围为0,，故a与b的夹角为．

4uuuvuuuv15．已知正方形ABCD的边长为2，E是CD上的一个动点，则求AEBD的最大值为

________． 【答案】4

uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuv【解析】设DEDCAB，则AEADDEADAB，

uuuvuuuvuuuv又BDADAB，

uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuv2uuuv2uuuvuuuv∴AEBDADABADABADAB1ABAD44，

uuuvuuuv∵01，∴当0时，AEBD取得最大值4，故答案为4．

uuvuuuv16．在△ABC中，C90，B30，AC2，P为线段AB上一点，则PBPC的

取值范围为____． 【答案】3,27

【解析】以C为坐标原点，CB，CA所在直线为x，y轴建立直角坐标系，

可得C0,0，A0,2，B23,0，则直线AB的方程为设Px,y，则y2x3x23y1， 2uuvuuuv，0x23，PB23x,y，PCx,y，

uuvuuuv2则|PBPC232x22y

222x4x4y83x124x4283x12

223

2163x24033x28163x5343， 由x534uu0,23，可得PBvuuPCuv的最小值为则uuPBvuuPCuv的最大值为

即uuPBvuuPCuv的取值范围为3,27．故答案为3,27． ，时，