2018届闵行区高三二模数学考试(含解答)

2018.04

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

x2y21. 双曲线21（a0）的渐近线方程为3x2y0，则a

a912c1x102. 若二元一次方程组的增广矩阵是，其解为，则c1c2 34cy023. 设mR，若复数z(1mi)(1i)在复平面内对应的点位于实轴上，则m 4. 定义在R上的函数f(x)2x1的反函数为yf1(x)，则f1(3) 5. 直线l的参数方程为x1t（t为参数），则l的一个法向量为

y12tSn

nnan6. 已知数列{an}，其通项公式为an3n1，nN*，{an}的前n项和为Sn，则lim

7. 已知向量a、b的夹角为60°，|a|1，|b|2，若(a2b)(xab)，则实数x的值为 8. 若球的表面积为100，平面与球心的距离为3，则平面截球所得的圆面面积为 9. 若平面区域的点(x,y)满足不等式则常数k

210. 若函数f(x)loga(xax1)（a0且a1）没有最小值，则a的取值范围是 |x||y|1（k0），且zxy的最小值为5， k411. 设x1,x2,x3,x4{1,0,2}，那么满足2|x1||x2||x3||x4|4的所有有序数对

(x1,x2,x3,x4)的组数为

12. 设nN*，an为(x4)n(x1)n的展开式的各项系数之和，c3t2，tR， 4naa2abn[1][22][nn]（[x]表示不超过实数x的最大整数），则(nt)2(bnc)2

555的最小值为

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. “xy0”是“x0且y0”成立的（ ） A. 充分非必要条件 C. 充要条件

14. 如图，点A、B、C分别在空间直角坐标系Oxyz 的三条坐标轴上，OC(0,0,2)，平面ABC的法向量为

B. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件

n(2,1,2)，设二面角CABO的大小为，则

cos（ ）

A.

15. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列判断一定正确的是（ ） A. 若S30，则a20180 B. 若S30，则a20180 C. 若a2a1，则a2019a2018 D. 若

16. 给出下列三个命题：

命题1：存在奇函数f(x)（xD1）和偶函数g(x)（xD2），使得函数f(x)g(x)（xD1是偶函数；

命题2：存在函数f(x)、g(x)及区间D，使得f(x)、g(x)在D上均是增函数，但f(x)g(x)在D上是减函数；

命题3：存在函数f(x)、g(x)（定义域均为D），使得f(x)、g(x)在xx0（x0D）处均取到最大值，但f(x)g(x)在xx0处取到最小值； 那么真命题的个数是（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

5422 B. C. D. 

333311，则a2019a2018 a2a1D2）

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB、CC1的中点. （1）求三棱锥EDFC的体积；

（2）求异面直线A1E与D1F所成的角的大小.

18. 已知函数f(x)3sinxcosx. （1）当f()0，且||1，求的值；

3（2）在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a3，bc3，当2，f(A)1时，求bc的值.

19. 某公司利用APP线上、实体店线下销售产品A，产品A在上市20天内全部售完，据统计，线上日销售量f(t)、线下日销售量g(t)（单位：件）与上市时间t（tN*）天的关 系满足：f(t)10t1t10，g(t)t220t（1t20），产品A每件的

10t20010t20401t15（单位：元）（日销售量=线上日销售量+线下日销售量）.

2015t20销售利润为h(t)（1）设该公司产品A的日销售利润为F(t)，写出F(t)的函数解析式； （2）产品A上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于5000元？

x2y220. 已知椭圆:221（ab0），其左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为B，O为坐标

ab3原点，过F2的直线l交椭圆于P、Q两点，sinBF1O.

3|PF1|（1）若直线l垂直于x轴，求的值；

|PF2|1（2）若b2，直线l的斜率为，则椭圆上是否存在一点E，使得F1、E关于直线l

2成轴对称？如果存在，求出点E的坐标，如果不存在，请说明理由；

（3）设直线l1:y6上总存在点M满足OPOQ2OM，当b的取值最小时，求直线l的倾斜角.

21. 无穷数列{an}（nN*），若存在正整数t，使得该数列由t个互不相同的实数组成，且对于任意的正整数n，an1,an2,,ant中至少有一个等于an，则称数列{an}具有性质T，集合

P{p|pan,nN*}.

（1）若an(1)n，nN*，判断数列{an}是否具有性质T；

（2）数列{an}具有性质T，且a11，a43，a82，P{1,2,3}，求a20的值；

（3）数列{an}具有性质T，对于P中的任意元素pi，aik为第k个满足aikpi的项，记bkik1ik（kN*），证明：“数列{bk}具有性质T”的充要条件为“数列{an}是周期为t的周期数列，且每个周期均包含t个不同实数”.

上海市闵行区区2018届高三二模数学试卷

2018.04

一. 填空题

x2y21. 双曲线21（a0）的渐近线方程为3x2y0，则a

a9【解析】a2

2. 若二元一次方程组的增广矩阵是【解析】c1c2103040

3. 设mR，若复数z(1mi)(1i)在复平面内对应的点位于实轴上，则m 【解析】虚部为零，m10m1

4. 定义在R上的函数f(x)2x1的反函数为yf1(x)，则f1(3) 【解析】2x13f1(3)2 5. 直线l的参数方程为12c1x10，其解为，则c1c2 y034c2x1t（t为参数），则l的一个法向量为

y12tSn

nnan【解析】y12(x1)2xy30，法向量可以是(2,1)

6. 已知数列{an}，其通项公式为an3n1，nN*，{an}的前n项和为Sn，则lim

S13n25n【解析】Sn，limn

nna22n7. 已知向量a、b的夹角为60°，|a|1，|b|2，若(a2b)(xab)，则实数x的值为 【解析】(a2b)(xab)0x(2x1)80x3

8. 若球的表面积为100，平面与球心的距离为3，则平面截球所得的圆面面积为 【解析】R5，r4，S16 9. 若平面区域的点(x,y)满足不等式则常数k 【解析】数形结合，可知图像

|x||y|1（k0），且zxy的最小值为5， k4|x||y|1经过点(5,0)，∴k5 k4210. 若函数f(x)loga(xax1)（a0且a1）没有最小值，则a的取值范围是 【解析】分类讨论，当0a1时，没有最小值，当a1时，即x2ax10有解， ∴0a2，综上，a(0,1)[2,)

11. 设x1,x2,x3,x4{1,0,2}，那么满足2|x1||x2||x3||x4|4的所有有序数对

(x1,x2,x3,x4)的组数为

【解析】① |x1||x2||x3||x4|2，有10组；② |x1||x2||x3||x4|3， 有16组；③ |x1||x2||x3||x4|4，有19组；综上，共45组 12. 设nN*，an为(x4)n(x1)n的展开式的各项系数之和，c3t2，tR， 4naa2abn[1][22][nn]（[x]表示不超过实数x的最大整数），则(nt)2(bnc)2

555的最小值为

nann2nn2n【解析】an52，[n][nn]n1，bn，(nt)2(bnc)2的几何

552n2n33意义为点(n,)(nN*)到点(t,2t)的距离，由图得，最小值即(2,1)到y2x

244nn的距离，为0.4

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. “xy0”是“x0且y0”成立的（ ） A. 充分非必要条件 C. 充要条件 【解析】B

14. 如图，点A、B、C分别在空间直角坐标系Oxyz 的三条坐标轴上，OC(0,0,2)，平面ABC的法向量为

B. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件

n(2,1,2)，设二面角CABO的大小为，则

cos（ ）

A.

5422 B. C. D. 

3333【解析】cosOCn42，选C

|OC||n|23315. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列判断一定正确的是（ ） A. 若S30，则a20180 B. 若S30，则a20180 C. 若a2a1，则a2019a2018 D. 若

11，则a2019a2018 a2a1【解析】A反例，a11，a22，a34，则a20180；B反例，a14，a22，

a31，则a20180；C反例同B反例，a20190a2018；故选D

16. 给出下列三个命题：

命题1：存在奇函数f(x)（xD1）和偶函数g(x)（xD2），使得函数f(x)g(x)（xD1D2）

是偶函数；

命题2：存在函数f(x)、g(x)及区间D，使得f(x)、g(x)在D上均是增函数，但f(x)g(x)在D上是减函数；

命题3：存在函数f(x)、g(x)（定义域均为D），使得f(x)、g(x)在xx0（x0D）处均取到最大值，但f(x)g(x)在xx0处取到最小值； 那么真命题的个数是（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【解析】命题1：f(x)g(x)0，xR；命题2：f(x)g(x)x，x(,0)； 命题3：f(x)g(x)x2，xR；均为真命题，选D

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB、CC1的中点. （1）求三棱锥EDFC的体积；

（2）求异面直线A1E与D1F所成的角的大小.

1212 3355244，所成角为arccos （2）cos52555【解析】（1）V

18. 已知函数f(x)3sinxcosx. （1）当f()0，且||1，求的值；

3（2）在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a3，bc3，当2，

f(A)1时，求bc的值.

【解析】（1）f(x)2sin(x（2）f(A)1A

19. 某公司利用APP线上、实体店线下销售产品A，产品A在上市20天内全部售完，据统计，线上日销售量f(t)、线下日销售量g(t)（单位：件）与上市时间t（tN*）天的关

1)，f()0k，||1，∴ 633623，由余弦定理，bc2

系满足：f(t)10t1t10，g(t)t220t（1t20），产品A每件的

10t20010t20401t15（单位：元）（日销售量=线上日销售量+线下日销售量）.

2015t20销售利润为h(t)（1）设该公司产品A的日销售利润为F(t)，写出F(t)的函数解析式； （2）产品A上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于5000元？

40(t230t),1t10【解析】（1）F(t)40(t210t200),10t15

220(t10t200),15t20（2）F(t)50005t15，第5天到第15天

x2y220. 已知椭圆:221（ab0），其左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为B，O为坐标

ab3原点，过F2的直线l交椭圆于P、Q两点，sinBF1O.

3|PF1|（1）若直线l垂直于x轴，求的值；

|PF2|1（2）若b2，直线l的斜率为，则椭圆上是否存在一点E，使得F1、E关于直线l

2成轴对称？如果存在，求出点E的坐标，如果不存在，请说明理由；

（3）设直线l1:y6上总存在点M满足OPOQ2OM，当b的取值最小时，求直线l的倾斜角.

|PF1|353x2y2b，PF1b，5 b2，l:x2b，PF2【解析】（1）

33|PF2|31x2y221612，l:y(x2)，F1(2,0)，关于l对称点E(,)，不在椭圆上 （2）31552（3）设l:yk(x2b)，点差得lOM:y代入直线l，6k(36k2b)，∴b

21. 无穷数列{an}（nN*），若存在正整数t，使得该数列由t个互不相同的实数组成，且对于任

1x，联立l1:y6，得M(36k,6)， 3k33533k6，k， k36意的正整数n，an1,an2,,ant中至少有一个等于an，则称数列{an}具有性质T，集合

P{p|pan,nN*}.

（1）若an(1)n，nN*，判断数列{an}是否具有性质T；

（2）数列{an}具有性质T，且a11，a43，a82，P{1,2,3}，求a20的值；

（3）数列{an}具有性质T，对于P中的任意元素pi，aik为第k个满足aikpi的项，记bkik1ik（kN*），证明：“数列{bk}具有性质T”的充要条件为“数列{an}是周期为t的周期数列，且每个周期均包含t个不同实数”.

【解析】（1）t2，对任意正整数n，an2an恒成立，∴具有性质T （2）分类讨论，得结论，n6，{an}有周期性，周期为3，∴a20a82 （3）略