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三角函数典型习题
1．设锐角ABC的内角 A，B，C的对边分别为a，b，c ,a 2bsin A.
(Ⅰ)求 B的大小;
(Ⅱ)求cos AsinC的取值范围.
2．在ABC中,角 A,B,C所对的边分别为a，b，c ,sin AB C sin
2
2 2 .
（I）试判断△ ABC的形状;
（II）若△ ABC的周长为 16,求面积的最大值.
3．已知在
ABC中, A B ,且 tan A与tan B是方程 x
5x6 0的两个根.
2
(Ⅰ)求 tan(AB)的值; (Ⅱ)若 AB
5 ,求 BC的长.
4．在
ABC中,角 A． B．C所对的边分别是 a,b,c2 ,且a 2 c 2
b
1 ac. 2
(1)求sin 2
A C
2
cos2B的值;
(2)若 b=2,求△ABC面积的最大值.
5π． 已知函数 f (x)
2sin2
4 x
3cos2x， xπ π，
4
． 2
（1）求 f (x)的最大值和最小值；
（2） f (x)
m 2在 x
π，π上恒成立，求实数m的取值范围．
4 2
6．在锐角△ABC中,角 A． B．C的对边分别为 a、b、c,已知(b
2
(I)求角 A;
c2 a 2)tan A (II)若 a=2,求△ABC面积 S的最大值｡
7．已知函数 f (x)
(sin x cosx)
2
(Ⅰ)求函数 f x
的最小正周期+cos2x ;
.
(Ⅱ)当 x
0, 2
时,求函数 f x
的最大值,并写出 x相应的取值.
8．在
ABC中 ,已知内角 A． B． C所对的边分别为 c, 向量
m
2sin B,
3 , n cos2B,2cos 2 B 1 ,且m
/
2 /n｡
(I)求锐角 B的大小; (II)如果b
2 ,求ABC的面积S
ABC的最大值｡
用心 爱心 专心 3bc.
a、 b、- 1 -
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答案解析 1【解析】:(Ⅰ)由a
2bsin A,根据正弦定理得sin A
2sin Bsin A,所以sin B
1
由
ABC为锐角三角形得 B π
6 .
(Ⅱ) A
cos A
sinC
cos A
sin
Acos A
sin
6
A cos A 1 cos A
3 sin
2 2 3sin
3 . A
sin
2【解析】:I.sin
C C cos 2 2 ) C sin C 2 sin( C 2 2 2 4
C
即C
,所以此三角形为直角三角形.
2 4
2
2
II.16
2
a b a 2
b 2 ab
2ab ,ab 64(2 2)2当且仅当 号此时面积的最大值为, 32
6
4 .
2
3【解析】
:(Ⅰ)由所给条件,方程 x 2
5x0的两根tan A 3, tan B
∴tan(AB) tan Atan 2 6 .
B
23
1tan Atan B
1 (B)Ⅱ)∵ AB 1C 21803
,∴C 180
(A
.
由(Ⅰ)知,tanC
tan(A
B) 1,
∵C为三角形的内角,∴sinC
2 2
∵tan A
3, A为三角形的内角,∴sin A 3
10 ,
由正弦定理得:
AB BC
sinC sin A
用心 爱心 专心
2
, a b时取等- 2 -
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∴ BC
5 2 3 10 3 5 .
2
8【解析】:(1) m/ /n
2sinB(2cos 2B
2
-1)=- 3cos2B
2sinBcosB=- 3cos2B tan2B=- 3
∵0<2B<π,∴2B= ,2π π
3 ∴锐角 B=
3 (2)由 tan2B=- 3
B=π或 5π
3
6
①当 B=π3
时
,已知 b=2,由余弦定理,得:
4=a +c -ac≥2ac-ac=ac(当且仅当 a=c=2时等号成立) ∵△2 2
ABC的面积 S△ABC=1 acsinB= 3ac≤ 3
2 4
∴△ABC的面积最大值为 3
②当 B=5π时
6
,已知 b=2,由余弦定理,得:
4=a +c
∴ac≤4(22 2 ∵△ABC+ 3- 3)
的面积ac≥2ac S+ 3ac=(2+ 3)ac(当且仅当 a=c= 6- 2时等号成立)
△ABC=1 acsinB=1ac≤ 2- 3
2 4
∴△ABC的面积最大值为 2- 3
4【解析】:(1)由余弦定理:cosB=1
4
sin2 A
2
C +cos2B=
1
4
(2)由
cos B
1 ,得sin B 15
4
4 .∵b=2, a2
=1ac+4≥2ac,得 ac≤ c
8
2+ , S △ABC= 1
acsi15 (a=c时取等号) 2
2 nB≤
3
3
故 S15
△ABC的最大值为
3
5【解析】1cos
（Ⅰ）∵ f (x)
1sin2x
3cos2x π 2x3cos2x 2
π
2sin
12x
．
3
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又∵x
π π ，，∴≤ π2x π≤2π ，24
6 3 3 即2≤12sin 2x≤3，
π
∴ f (x)max
3， f (x)3 min 2． （Ⅱ）∵ f (x)
m
2
f (x) 2
m f (x)
2π π，4 2， ，x
∴m f (x)max 2且m
f (x)min
2，
∴1
m
4，即m的取值范围是(1，4)．
6【解析】:(I)由已知得 b
2
2 c a 2 sin A 3
sin A
2bc cos A
2 2 3
又在锐角△ABC中,所以 A=60°,[不说明是锐角△ABC中,扣 1分] (II)因为 a=2,A=60°所以b 2
2 bc
c bc
4,S
1 bcsin A
3
2 4
而b
2 2
c 2bc bc 4 2bc bc 4
又S 1 bcsin A 3 bc 3
4
3 2 4 4
所以△ABC面积 S的最大值等于 3 7【解析】:(Ⅰ)因为 f (x)
(sin x
cosx) 2 +cos2x
sin
2
x 2sin xcosx cos x
2
1
sin 2x cos2x ( ) =1+ 2 sin(2x
4 ) 所以,T
2,即函数 f (x)的最小正周期为 2
(Ⅱ)因为 0
x ,得 2x 2
4 4 5
1
,所以有 2 sin(2x)
1 2 sin(2x)
2 ,即 4 2 4 0 12 sin(2x)
1
2 4
4
所以,函数 f
x
的最大值为12
此时,因为 2x
5 ,所以 , 2x
,即 x 4
4
4 4 2
8
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