2014全国新课标1卷数学文科详解

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.

（1）已知集合Mx1x3， Nx2x1，则MN（ ）

A. (2,1) B. (1,1) C. (1,3) D. (2,3)

【参考答案】： 在数轴上表示出对应的集合，可得MN (-1,1),选B

【解题方法】①直接计算②取特值如令x=2代入排除C,D再取x=-1可选B 【规律提炼】：集合的运算用数轴或者Venn图可直接计算 （2）若tan0，则

A. sin0 B. cos0 C. sin20 D. cos20 【参考答案】：由tan0可得:kk

2(kZ)，故2k22 k(kZ)，正确的结论只有sin 20. 选C

【解题方法】：①观察计算②特值法如取2250进行排除 【规律提炼】：判断三角函数的符号可先确定角所在的象限 （3）设z11ii，则|z| A.

12 B. 22 C. 32 D. 2

2【参考答案】：z11ii1i1122i22i，z112222，选B

【解题方法】：求模一般直接法

【规律提炼】：复数的除法用分母实数化，求复数的模用公式za2b2

（4）已知双曲线x2y2a231(a0)的离心率为2，则a A. 2 B.

62 C. 52 D. 1 【参考答案】：由双曲线的离心率可得a23a2，解得a1，选D. 【解题方法】：①把选项中的a值逐一代入检验可得D. ②利用公式e1b2a2

1b2【规律提炼】：求离心率关键在于寻找a,b或者a,c之间的关系，用公式eca2或者ea

（5）设函数f(x),g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是 A. f(x)g(x)是偶函数 B. |f(x)|g(x) 是奇函数 C. f(x)|g(x)| 是奇函数 D. |f(x)g(x)|是奇函数

【参考答案】：设F(x)f(x)g(x)，则F(x)f(x)g(x)，∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴

F(x)f(x)g(x)F(x)，F(x)为奇函数，选C.

【解题方法】：①把四个选项逐一分析，②利用性质f(x)奇，|f(x)|为偶，奇奇=偶，奇偶=奇。 【规律提炼】：判断函数的奇偶性先看定义域是否关于原点对称，再用性质或者定义或者图像判断。 （6）设D,E,F分别为ABC的三边BC,CA,AB的中点，则EBFC A. AD B.

12AD C. 12BC D. BC 【参考答案】：EBFCECBCFBBCECFB

=

12AB12AC12ABACAD, 选A. 【解题方法】：直接计算 【规律提炼】：向量运算抓住两条线，坐标法和转化法。

（7）在函数①ycos|2x|，②y|cosx| ，③ycos(2x),④ytan(2x64)中，最小正周期为的所有函数为

A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③

【参考答案】：由ycosx是偶函数可知ycos2xcos2x ，最小正周期为， 即①正确；y | cos

x |的最小正周期也是，即②也正确；ycos2x6最小正周期为,即③正确；

ytan(2x4)的最小正周期为T2,即④不正确.

即正确答案为①②③，选A

【解题方法】：①排除法：第四个的周期为T2故排除B,C ②直接计算

【规律提炼】：求函数的周期可画图，也可用定义或公式直接计算

8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱

【参考答案】：根据所给三视图易知，对应的几何体是一个横放着的三棱柱. 选B

【解题方法】：①筛选法：A.三棱锥三视图均为三角形 C.四棱锥为两个三角形，一个四边形D.四棱柱

为三个四边形②直接法：为一倒放的三棱柱

【规律提炼】：三视图还原成实物图，掌握常见几何体的三视图的特征 9.执行下图的程序框图，若输入的a,b,k分别为1,2,3，则输出的M=

A.

203 B.165 C.72 D.158 【参考答案】：输入a1,b2,k3；n1时：M11232,a2,b32； n2时：M22383,a32,b83；n3时：M3238158,a8153,b8；

n4时：输出M158 . 选D.

【解题方法】：直接逐步计算

【规律提炼】：算法问题根据题目一步一步写出运行的结果 10.已知抛物线C：y2x的焦点为F,Ax,y是C上一点，AF5004x0，则x0（ ）

A. 1 B. 2 C. 4 D. 8

【参考答案】：根据抛物线的定义可知AFx10454x0，解之得x01. 选A. 【解题方法】：①代入法：把选项中四个x0的值代入可求出A点坐标，进而算出AF ②直接计算：到焦点的距离=到准线的距离

【规律提炼】：抛物线的焦点弦问题注意转化：到焦点的距离和到准线的距离可以互相转化 11.设x，y满足约束条件xya,xy1,且zxay的最小值为7，则a

 （A）-5 （B）3 （C）-5或3 （D）5或-3 【参考答案】：画出不等式组对应的平面区域， 如图所示.

在平面区域内，平移直线xay0，可知在点 Aa12,a12处，z 取得最值，故

a12aa127,解之得a 5或a 3.但a 5时，z取得最大值，故舍去，答案为a 3. 选B. 【解题方法】：①代入法：把选项中四个a的值代入可求出Z的最小值看是否符合题意②直接计算：画出可

行域，把目标直线平移，找到最优解 【规律提炼】：线性规划问题，根据条件画出可行域，把目标直线平移，找到最优解。

（12）已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值 范围是

（A）2, （B）1, （C）,2 （D）,1

【参考答案1】：由已知a0，f(x)3ax26x，令f(x)0，得x0或x2a， 当a0时，x,0,f(x)0;x0,2a,f(x)0;x2a,,f(x)0； 且f(0)10，f(x)有小于零的零点，不符合题意。

当a0时，x,2a,f(x)0;x2a,0,f(x)0;x0,,f(x)0 要使f(x)有唯一的零点xx220且0＞0，只需f(a)0，即a4，a2．选C

【参考答案2】：由已知a0，f(x)=ax33x21有唯一的正零点，等价于a31x1x3 有唯一的正零根，令t1x，则问题又等价于at33t有唯一的正零根，即ya与yt33t有唯一的交点且交点在在y轴右侧，记f(t)t33t

f(t)3t23，由f(t)0，t1，t,1,f(t)0;t1,1,f(t)0;，

t1,,f(t)0，要使at33t有唯一的正零根，只需af(1)2，选C

【解题方法】：①排除法可取a=3可排除A,B,再取a=-1.5可排除D ②数形结合，画图求解 【规律提炼】：函数的零点问题转化为方程有解或者两个函数的图像有交点的问题。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分

（13）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________. 【参考答案】设数学书为A，B，语文书为C，则不同的排法共有（A，B，C），（A， C，B），（B，

C，A），（B，A，C），（C，A，B），（C，B，A）共6 种排列总结，其中2 本数学书相邻的情况

有4 种情况，故所求概率为P4263.

【解题方法】：①列举法 ②排列组合

【规律提炼】：求解概率问题可用列举法

（14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市； 乙说：我没去过C城市；

丙说：我们三人去过同一城市；

由此可判断乙去过的城市为________.

【参考答案】∵丙说：三人同去过同一个城市，甲说没去过B城市，乙说：我没去过C城市

∴三人同去过同一个城市应为Ａ，∴乙至少去过Ａ，若乙再去城市B，甲去过的城市至多两个，不可能比乙多，∴可判断乙去过的城市为Ａ.

【解题方法】：①根据逻辑推理，②可用反证法的思想

ex1,x1,（15）设函数fx1则使得fx2成立的x的取值范围是________.

x3,x1,【参考答案】当x 1时，由ex12可得x 1ln 2，即x ln 21，故x 1；

1当x 1时，由f (x) x32可得x 8，故1x 8，综上可得x 8

【解题方法】：①转化为解两个不等式组，最后取并集②画出函数的图像，只要找在直线y=2下方的图像对应的x的求值范围即为不等式的解集。 【规律提炼】：解分段函数的不等式，可以分段解，也可以画出函数图像，用图像解

（16）如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得 M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60.已知山高BC100m，则山高MN________m.

【参考答案】在直角三角形 ABC 中，由条件可得AC1002，在△MAC 中，由正弦 定理可得

AMACsin600sin1800600750，故AM32A1C00，3在直角△MAN 中，

MNAMsin600150.

【解题方法】：把要求的边化到一个已知的三角形中去求解 【规律提炼】：实际问题的求解，要抽象成数学的解三角形的问题， 结合正余弦定理求解。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）

已知a2n是递增的等差数列，a2，a4是方程x5x60的根。

（I）求an的通项公式； （II）求数列an2n的前n项和. 【参考答案】：（I）方程x25x60的两根为2,3,由题意得a22，a43，设数列an的公差为 d,，

则a1a34a22d，故d=12，从而2， 所以an的通项公式为：a1n2n1 (Ⅱ)设求数列anann22n的前n项和为Sn,由(Ⅰ)知2n2n1， 则：S345n1nn2223242n22n1 12S345n1n2n2324252n12n2 两式相减得 12S311n4232412n1n22n23414112n1n22n2所以Sn2n42n1

【答案分析】：（1）求出a122，a43得2分（2）求出a1和d得2分（3）求出an2n1得2分 （4）写出Sn得1分（5）列出两个相减式得2分（6）算出最后结果得3分

【规律提炼】：（1）求数列的通项用基本量法和方程思想（2）求一般数列的前n项和主要有错位相减法，裂项相消法，分组求和法，分奇偶讨论法等 （18）（本小题满分12分）

从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表： 质量指标值分组 [75，85) [85，95) [95，105) [105，115) [115，125) 频数 6 26 38 22 8 （I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：

（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至

少要占全部产品的80%”的规定？ 【参考答案】：（I）

（II）质量指标值的样本平均数为

x800.06900.261000.381100.221200.08100 .

质量指标值的样本方差为

s22020.061020.2600.381020.222020.08104…

(Ⅲ)质量指标值不低于95 的产品所占比例的估计值为 0.38+0.22+0.08=0.68. 由于该估计值小于0.8,故

不能认为该企业生产的这种产品“质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品80%”的规定. 【答案分析】：（1）列出频率分布表2分（2）画出频率分布直方图2分（3）求出平均数得2分 （4）求出方差得2分（5）算出概率得2分（6）得出结论得2分

【规律提炼】：统计问题要能熟练记住平均数和方差的计算公式，画频率分布直方图时要先画频率分布表，计算概率时经常用频率等同与概率。

19(本题满分12分)

如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，

B1C的中点为O，且AO平面BB1C1C.

（I）证明：B1CAB;

（II）若ACAB1,CBB160,BC1,求三棱柱ABCA1B1C1的高.

【参考答案】：（I）连结BC1，则O为BC1与B1C的交点，因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1CBC1，

又AO平面BB1C1C，故B1CAOB1C平面ABO，由于AB平面ABO， 故B1CAB （II）作OD⊥BC,垂足为D,连结AD,作OH⊥AD,垂足为H, 由于BC⊥AO,BC⊥OD,故BC⊥平面AOD,所以OH⊥BC. 又OH⊥AD,所以OH⊥平面ABC.

因为CBB160,,BC所以△

1CBB1为等边三角形,又BC=1,可得OD=

34，由于ACAB，所以OA1112B1C2，由 OH·AD=OD·OA,且ADOD2OA27214，得OH=14

又O为B1C的中点,所以点B1 到平面ABC 的距离为

217,故三棱柱ABC-A1B1C1 的高为217

【答案分析】：（1）证到B1CBC1得2分（2）证到B1CAO得2分（3）证到B1CAB得2分（4）

说明OH⊥平面ABC得2分（5）算出OH=

2114得2分（6）算出B1 到平面ABC 的距离为217得2分 【规律提炼】：（1）立体几何中正面线线垂直一般转化为证明线面垂直，而证线面垂直又转化证两条相交直

线垂直即可（2）求几何体的高或者是体积一般等体积法和割补法，本题用割补法更简单。 20.（本小题满分12分）

已知点P(2,2)，圆C:x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A,B两点，线段AB的中点为M，

O为坐标原点.

（I）求M的轨迹方程；

（II）当OPOM时，求l的方程及POM的面积

【参考答案】：（I）圆C的方程可化为x2y4216,所以圆心为 C(0,4),半径为 4.

设M(x,y),则CM(x,y4)，MP(2x,2y)，,由题设知CMMP0,故 x2xy42y0，即x12y322

由于点P 在圆C 的内部,所以M 的轨迹方程是x12y322

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知M 的轨迹是以点N(1,3)为圆心, 2 为半径的圆. 由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P 在圆N 上,从而ON⊥PM.

因为ON 的斜率为3,所以l的斜率为13,直线l的方程为：y183x3

又OMOP22，O到l的距离为4105，PM4105， 所以POM的面积为：

165. 【答案分析】： （1）把圆化成标准方程得2分（2）设点，列出式子CMMP0得2分（3）化简得2分

（4）分析得出ON⊥PM得2分（5）算出直线方程2分（6）算出三角形的面积2分 【规律提炼】：（1）求动点的轨迹方程一般通过题目中的垂直，平行，相等来构造等量关系，找到动点的坐标x和y之间的代数关系式（2）求三角形的面积一般用公式S12底高或者用割补法，分割成几个好求的三角形的面积之和，高一般用点到直线的距离来求解

21（12分）

设函数fxalnx1a2x2bxa1，曲线yfx在点1，f1处的切线斜率为0 （I）求b;

（II）若存在xa01,使得fx0a1，求a的取值范围。 【参考答案】：（I）f(x)ax(1a)xb，由题设知 f(1)0,解得b 1 (Ⅱ) f (x)的定义域为(0,),由(Ⅰ)知, f(x)alnx1a2x2x， f(x)ax(1a)x11aaxx1ax1 (i)若a1a2，则

1a1，故当x(1,)时, f '(x) 0 , f (x)在(1,)上单调递增. 所以,存在xa01, 使得 f(x0)1a的充要条件为f(1)a1aa1a，即211a 所以21 a 2 1;

(ii)若

12a1，则a1a1，故当x(1, a1a)时, f '(x) <0 , x(a1a,)时,f(x)0,f (x)在(1,

a1a)上单调递减，f (x)在a1a,单调递增. 所以,存在xxaaa01, 使得 f(0)1a的充要条件为f(1a)1a，而 f(aa1a)alna2aa1a21a1a1a，所以不和题意. (ⅲ) 若a1，则f(1)1a1aa212a1。 综上，a的取值范围为：21,211,

【答案分析】：（1）求导f(x)得2分（2）列出f(1)0得1分（3）解出b 1得1分

（4）讨论a12得1分（5）列出f(1)a11a得1分（6）解出a的范围得1分（7）讨论2a1得1分（8）分析到f(aa1a)1a得2分（9）讨论a1得1分（10）综合前面得出结论1分 【规律提炼】：（1）求切线问题要抓住切点，分清楚是过还是在，过说明这点不一定是切点，在就一定是切点。（2）存在性问题，恒成立问题都转化为求函数的最大值或者是最小值问题，而求最值又转化为比较函数的极值点与区间端点值的大小问题，有此可能引发对参数的讨论，一般来书容易引发分类讨论的主要有以下及几种情况:二次函数的开口方向问题、有没有根的问题、两根无法确定大小；根是否在定义域范围内；两个函数值无法确定其大小

22.（本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲 若a0,b0,且

11abab （I）求a3b3的最小值；

（II）是否存在a,b，使得2a3b6？并说明理由. 【参考答案】：(Ⅰ) 由ab1a1b2ab，得ab2，且当ab2时等号成立， 故a3b33a3b342，且当ab2时等号成立，

∴a3b3的最小值为42.

（Ⅱ）由62a3b26ab，得ab32，又由(Ⅰ)知ab2，二者矛盾， 所以不存在a,b，使得2a3b6成立.

【答案分析】：（1）对

1a1bab利用基本不等式得2分（2）算出ab2并检验等号是否成立 得2分（3）对a3b3利用不等式算出最小值得1分（4）对2a3b利用基本不等式得出ab32得2分

（5）根据第一问分析得出矛盾得2分（6）下结论不存在得1分

【规律提炼】：

（1） 求最值问题：先分析题目已知式子的结构，要求和的最小值，就要寻找到积的定值，若不是定值，

一般通过配凑的方法，配定值，两个变量的代数式也可以用函数思想，消取其中一个变量，转化为求函数的最值问题。

（2） 存在性问题，一般先假设存在，然后通过推理分析，如果最后会出现矛盾，则说明假设不成立，即

不存在，如果推理没有矛盾则说明假设成立，即存在。

（3）