数学建模铅球掷远

铅球掷远

理学院物理1011 21 姓名：童一龙

摘要：本文研究了铅球掷远的问题，分析了掷远距离和出手速度、出手角度、出手高度的

关系。得出了对于不同的出手速度，确定的了最佳出手角度，且比较了掷远结果对出手速度和出手角度的灵敏度。由运动规律可知，影响投掷距离的因素主要有铅球出手时的初速度、出手角度和出手高度。本文利用物理中运动学知识研究铅球投掷运动，通过建立模型,分析出手速度、出手角度、出手高度三个因素对投掷距离的影响，从而解决铅球掷远问题.

关键词：铅球掷远 出手速度 出手角度 数学模型

1 背景及问题的提出

铅球掷远比赛的场地是直径2.135m的圆，要求运动员从场地中将7.257kg重的铅球掷在45°的扇形区域内，如图1 。观察运动员的比赛录像发现，他们的投掷角度变化较大，一般在38°~45°，有的高达55°建立模型讨论以下问题：

、

1. 以出手速度、出手角度、出手高度为参数，建立铅球掷远的数学模型。 2. 给定出手高度，对于不同的出手速度，确定最佳出手角度。比较掷远结

果对出手速度和出手角度灵敏性。

3. 考虑运动员推铅球时用力展臂的动作，改进上面的模型。

2 数学建模

问题分析

如果出手速度、出手角度、出手高度都已给定，且不考虑铅球在空气中所受的阻力影响，则根据牛顿运动定理可完全确定铅球的运动轨迹方程。

；

模型假设

假设1：以水平面为参考系，设运动员的出手高度为h，出手角度为θ，出

手速度为V。，铅球达到最高点时经历时间为t1，从最高点下落到水平面的时间为t2，在总时间T=t1+t2内铅球水平方向经过的路程即为S。

假设2.铅球在空气中所受的阻力对其运动影响甚小，忽略不计。 假设3.不考虑运动员推铅球时用力展臂的动作。

模型建立

图2：铅球掷远简意图

#

如图2为铅球斜抛运动简易图，对铅球的运动求解：

vxv0cos,① 将出手速度V。在水平及竖直方向分解：vvsin

y0② 铅球从开始抛出到最高点经历时间：

t1vyg

21③ 铅球最高点处到抛出位置的垂直高度: h1gt1

2④ 铅球从最高点落到水平面的时间：t22hh1 g⑤ 铅球水平方向经过的路程：

Svxt1t2

联立以上5个方程最后可得掷远距离S与出手速度、出手角度、出手高度的函数关系式：

S…

2hv0cosv0sin22v0sin2()g2g2g2222

因为对出手高度没有要求，可设出手高度 h=1.8m ,g为重力加速度，取

9.8m/s^2 .

Matlab命令

1．建立掷远距离随出手速度和出手角度变化的函数文件

function f=fun_s(a,v)

f=(2.*.*v.*v.*cos(a).*cos(a)./+(v.*v.*sin(2.*a)./.^2).^+v.*v.*sin(2*a)./;

2．在matlab中绘出函数图像

v=linspace(0,30,100); a=linspace(0,pi/;

：

[A,V]=meshgrid(a,v); S=fun_s(A,V); surf(A,V,S)

ylabel('速度V m/s'); xlabel('角度'); zlabel('投掷距离 m');

title('不同出手速度和角度对应的抛掷距离图像'); axis([0 pi/2 0 30 0 100]);

<

结果如下图所示：

图3.不同出手速度和角度对应的抛掷距离图像

3 模型求解

给定出手高度，对于不同的出手速度，确定最佳出手角度。

S对θ求导：

2222hv0vvcos22cos(sin)0sin2021v0cos2gggS22g222hv0cos2v0sin2g2gv02hv0sin2cos2sin222v0cos2gg124g8ghv0cos2v0sin22gv022442

g8ghv0cos2v0sin22(v0sin2cos22ghsin2cos28ghv0cos2v0sin22)224要使掷远距离最大，即另

*

S0，则

v2sin2cos2cos28ghv2cos2v4sin222ghsin20化简最后得到:

cos2

ghghv2



1gharccos2ghv2。

1gharccos22ghv所以在给定出手高度，对于不同的出手速度，为最佳出

手角度。

Matlab命令：

1.在给定出手速度v下要达到最大射程时对应的角度 函数文件：

$

function f=fun_sv(v)

f=*acos**+v*v))/pi*180; 绘出图像：

fplot('fun_sv',[0,100]); xlabel('速度V m/s'); ylabel('角度');

title('v不同得到最大投掷距离时对应的角度曲线 '); axis([0 50 0 60]);

/

结果如下图所示：

图4.出手速度不同时得到最大投掷距离对应的角度曲线

比较掷远结果对出手速度和出手角度的灵敏性。

1．对角度θ求导 函数文件：

function f=fun_da(a,v) h=

！

f=(v.^4.*sin(2*a).*cos(2*a)/.*h.*v.*v.*sin(2*a)./././sqrt(8**h.*v.*v.*cos(a).^2+v.^4.*sin(2*a).^2)+v.^2.*cos(2*a)./; 绘出图像：

da=fun_da(A,V); surf(A/*180,V,da) ylabel('速度V m/s'); xlabel('角度');

zlabel('不同角度对应的da');

title('不同速度和角度下S对θ求导图像');

！

axis([0 90 0 30 -100 100]);

结果如下图：

图5.不同速度和角度下S对角度求导图像

对速度v求导 函数文件：

function f=fun_dv(v,a)

w=4.*.*v.*cos(a).*cos(a)./+v.*v.*v.*sin(2.*a).*sin(2.*a)././;

,

q=(2.*.*v.*v.*cos(a)./+(v.*v.*sin(2.*a)./.^2).^; f=1/2.*w./q+v.*sin(2.*a)./;

绘出图像：

dv=fun_dv(V,A) surf(A/*180,V,dv) ylabel('速度V m/s'); xlabel('角度');

zlabel('不同角度对应的dv');

~

title('不同速度和角度下S对V求导图像'); axis([0 90 0 30 0 5]); 结果如下图：

图6.不同速度和角度下S对速度求导图像

4 结果分析、模型改进

结果分析： 。

1. 给定的出手高度，对于不同的出手速度，确定最佳出手角度。

arccos(根据计算结果，得出结论：当出手角度为最远。

12gh)ghv时，铅球掷得

由图4可知，不同的出手速度对应不同的最佳角度，速度不断增加的时候，角度趋于45°。根据不同运动员的具体情况可从图4中确定最佳出手角度。

2. 比较掷远结果对出手速度和出手角度的灵敏性。

由图像可知掷远结果对出手速度的灵敏度大于对出手角度的灵敏度。

模型改进：

本方案中，忽略了铅球在空中运行中会受到空气阻力的影响以及运动员推铅球时用力展臂的动作，因此，此方案不是太完美。

如果考虑空气阻力的影响，根据铅球运动特点可以只考虑水平方向的阻力，且阻力与速度成正比，设比例系数为k。这时水平方向可列方程：

sks0s(0)0,s(0)v0cos其解为：

s(t)v0cos(1ekt)/kkte因为阻力很小，时间t也很短，所以将上式作泰勒展开后忽略二阶以上

项得到：

svtcosvkt2cos2

所以投掷距离S与出手角度和出手速度的关系式即可由上式进行改进。 如果考虑运动员推铅球时用力展臂的动作，则根据运动员的臂长需将出手高度进行相应调整。

5 结论

本文根据铅球掷远的运动特点，以出手速度、出手高度、出手角度为参数，定性的建立了铅球掷远的数学模型。该模型可根据不同的出手速度和高度确定最佳的出手角度，还可对掷远结果对出手速度和出手角度的灵敏性进行分析。该方案对于铅球运动员的练习具有一定的参考价值。本方案还具有很强的灵活性，因为本方案为简单的斜抛运动模型，所以本方案也可应用于篮球、标枪、铁饼等运动模型分析。