初二数学 分式方程及其解法

学教目标：1．了解分式方程的概念, 和产生增根的原因.

2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.

学教重点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 学教难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 学教过程： 一、温故知新：

1、前面我们已经学习了哪些方程？是怎样的方程？如何求解？ （1）前面我们已经学过了 方程。 （2）一元一次方程是 方程。

（3）一元一次方程解法 步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。 如解方程：

2、探究新知：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？

分析：设江水的流速为v千米/时，根据“两次航行所用时间相同”这一等量关系，

x22x31 4610060得到方程： .

20v20v像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程。

分式方程与整式方程的区别在哪里？通过观察发现得到这两种方程的区别在于未知数是否在分母上。未知数在分母的方程是分式方程。未知数不在分母的方程是整式方程。前面我们学过一元一次方程的解法，但是分式方程中分母含有未知数，我们又将如何解？

解分式方程的基本思路是将分式方程转化为 方程，具体的方法是去分母，即方程两边同乘以最简公分母。

如解方程：

10060= …………………… ①

20v20v去分母：方程两边同乘以最简公分母（20+v）（20-v），得 100（20-v）=60（20+v）……………………② 解得 v=5

观察方程①、②中的v的取值范围相同吗？

① 由于是分式方程v≠±20,而②是整式方程v可取任何实数。

这说明，对于方程①来说，必须要求使方程中各分式的分母的值均不为0.但变形后得到的整式方程②则没有这个要求。如果所得整式方程的某个根，使原分式方程中至少有一个分式的分母的值为0，也就是说，使变形时所乘的整式的值为0，它就不适合原方程，即是原分式方程的增根。因此，解分式方程必须验根。 如何验根：将整式方程的根代入最简公分母，看它的值是否为0.如果为0即为增根。

如解方程：

110=2。 x5x25分析：为去分母，在方程两边同乘最简公分母得整式方程 x510

x5x5，

解得 x5

将x5代入原方程的最简公分母检验，发现这时分母x5和x二、学教互动 解方程：

225的值都是

0，相应的分式

无意义。因此，x5虽是整式方程的解，但不是原分式方程的解。实际上，这个方程无解。

5312 x2xxx2 [分析]找对最简公分母x(x-2),方程两边同乘x(x-2),把分式方程转化为整式方整式方程的解必须验根 总结：解分式方程的一般步骤是：

1.在方程两边同乘以最简公分母，化成 方程； 2.解这个 方程；

3.检验：把 方程的根代入 。如果值 ，就是原方程的根；如果值 ，就是增根，应当 。

三、拓展延伸： 解方程 （1）

（3）

五、小结与反思：

5315x （2） 1 xx2x4x432463 （4） 20

x1x1x1x4x1

分式方程的应用

学教目标：

1．会分析题意找出等量关系.

2．会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题.

3．在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，引导学生努力寻找解决问题的方法，体会数学的应用价值。

学教重点：利用分式方程组解决实际问题. 学教难点：列分式方程表示实际问题中的等量关系. 学教过程： 一、温故知新：

1、分式方程的解法步骤是什么？

2、解决应用问题的一般步骤是什么？

3、解分式方程

二、学教互动：（自主探究） 课本例3

分析：这是一道工程问题应用题，它的问题是甲乙两个施工队哪一个队的施工速度快？这与过去直接问甲队单独干多少天完成或乙队单独干多少天完成有所不同，根据题意，寻找未知数，然后根据题意找出问题中的等量关系列方程.求得方程的解除了要检验外，还要比较甲乙两个施工队哪一个队的施工速度快，才能完成解题的全过程。

基本关系是：工作量=工作效率×工作时间.这题没有具体的工作量，工作量虚拟为1，工作的时间单位为“月”.

等量关系是：甲队单独做的工作量+两队共同做的工作量=1 认真审题，然后回答下列问题： 1、怎样设未知数，根据哪个关系？

2、题中有哪些相等关系？怎样列方程？ 三、随堂练习：

1.为迎接市中学生田径运动会，计划由某校八年级（1）班的3个小组制作240面彩旗，后因一个小组另有任务，改由另外两个小组完成制作彩旗的任务。这样，这两个小组的每个同学就要比原计划多做4面。如果这3个小组的人数相等，那么每个小组有多少名学生？

13x2x

2. 学校要举行跳绳比赛，同学们都积极练习.甲同学跳180个所用的时间，乙同学可以跳240个；又已知甲每分钟比乙少跳5个，求每人每分钟各跳多少个.

四、反馈检测：

1、为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等。如果设第一次捐款人数为x人，那么x满足怎样的方程？

2．甲容器中有15%的盐水30升，乙容器中有18%的盐水20升，如果向两个容器个加入等量水，使它们的浓度相等，那么加入的水是多少升？