中考数学一模试卷
题号 得分 一 二 三 四 总分 一、选择题（本大题共12小题，共48.0分） 1. 在这四个实数中，最大的数是（ ）
A. B. π C. 3 D. -4 2. 下列算式中，计算结果为a5的是（ ）
a A. a2•a3 B. （a2）3 C. a2+a3 D. a4÷
3. 某课题小组针对200吨垃圾再利用的情况进行了调查并绘制了如下不完整的条形
统计图和扇形统计图，则条形统计图中a的值为（ ）
A. 100吨 B. 70吨 C. 28吨 D. 2吨
4. 将某个图形的各个顶点的横坐标都减去2，纵坐标保持不变，可将该图形（ ）
A. 向左平移2个单位 B. 向右平移2个单位 C. 向上平移2个单位 D. 向下平移2个单位 5. 一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 已知反比例函数
在其各个分支上y随x的增大而减小，则m的取值范围是
（ ） A. m＞1 B. m＜1 7. 下列说法中，正确的是（ ）
C. m＞0 D. m＜0
A. 一个游戏中奖的概率是，则做10次这样的游戏一定会中奖
B. 为了了解一批炮弹的杀伤半径，应采用全面调查的方式 C. 一组数据8，8，7，10，6，8，9的众数是8
D. 若甲组数据的方差是0.1，乙组数据的方差是0.2，则乙组数据比甲组数据波动
小
8. 若一次函数y=kx+b的图象位置如图所示，则k，b的取值
范围是（ ） A. k＞0，b＞0 B. k＞0，b＜0 C. k＜0，b＜0 D. k＜0，b＞0
第1页，共20页
9. 已知△ABC中，∠A=30°，则下列结论正确的是（ ）
＜∠B＜60° ＜∠B＜150 A. 0°B. 90°＜∠B＜60°或90°＜∠B＜150° C. 0°D. 以上都不对
10. 如图，在矩形ABCD中放入6个全等的小矩形，所标尺
寸如图所示，设小矩形的长为a，宽为b，则可得方程组（ ）
A. B. C. D.
11. 在玩俄罗斯方块游戏时，底部己有的图形如图所示，接
下去出现如下哪个形状时，通过旋转变换后能与已有图形拼成一个中心对称图形（ ）
A.
B.
C.
D.
12. 如图，点C的坐标为（3，4），CA⊥y轴于点A，D是线段AO上一点，且OD=3AD，
点B从原点O出发，沿x轴正方向运动，CB与直线y=x交于点E，则△CDE的面积（ ）
A. 逐渐变大 B. 先变大后变小 C. 逐渐变小 D. 始终不变
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分） 13. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 14. 若
，则a+b=______．
15. 如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为2的
正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积是______．
第2页，共20页
16. 如图，已知EF是△ABC的中位线，DE⊥BC交AB于点D，CD与EF交于点G，若
CD⊥AC，EF=9，EG=4，则AC的长为______．
17. 已知自变量为x的二次函数y=（ax+b）（x+）经过（m，3）、（m+4，3）两点，
若方程（ax+b）（x+）=0的一个根为x=5，则其另一个根为______．
18. 已知点C为函数y=（x＞0）上一点，过点C平行于x轴的直线交y轴于点D，交
函数y=于点A，作AB⊥CO于E，交y轴于B，若∠BCA=45°，△OBC的面积为14，则m=______．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分） 19. 化简：
．
四、解答题（本大题共7小题，共72.0分）
20. 如图，△ABC中，AB=AC=13，BD⊥AC于点D，sinA=
（1）求BD的长； （2）求tanC的值．
第3页，共20页
21. 在学习“轴对称现象”内容时，王老师让同学们寻找身边的轴对称图形．小明有一
副三角尺和一个量角器（如图所示）
（1）小明在这三件文具中任取一件，结果是轴对称图形的概率是______；
（2）小明把A、B两把尺的各任意一个角拼在一起（无重叠无缝隙）得到一个更大的角，请画树状图或列表说明这个角是钝角的概率是多少．
22. 某写字楼门口安装了一个如图所示的旋转门，旋转门每转一圈按正常负载可以出去
6人，每分钟转4圈．
（1）问：按正常负载半小时此旋转门可出去多少人？
（2）紧急情况时，旋转门每圈负载出去人数可增加50%，但因此每分钟门的转速降低25%．
①直接写出紧急情况时旋转门每分钟可以出去______人；
②该写字楼有9层，每层10间办公室，平均每个办公室6人，为了符合消防安全要求，要在一楼再安装几近普通侧门，每近侧门每分钟能通过45人，在紧急情况下，要使整写字楼的人能在5分钟内全部安全离（下楼时间忽略不计），至少要安装几道普通侧门．
第4页，共20页
23. 如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，过点D作BD∥OC
交⊙O于点D．
（1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若⊙O的径为6，∠B=60°，求图中阴影部分的面积．
24. 在坐标平面内，以x轴上的1个单位长为底边按一定规律
向上画矩形条．现已知其中几个矩形条的位置如图，其相应信息如表
单位底位置 … -3～-2 -2～-1 -1～0 0～1 1 … … 3.5 1～2 … 2～3 … 3～4 15 … … 矩形条高 … 若所有矩形条的左上顶点都在我们已学的某类函数图象上．
（1）根据所给信息，直接写出这个函数图象上的三个点的坐标______． （2）求这个函数解析式；
（3）若在坐标平面内画出所有这样依次排列的矩形条，求这些矩形条中面积最小矩形条的面积．
第5页，共20页
25. 若矩形的内接平行四边形的一组邻边分别与矩形的两条对角线平行，这样的平行四
边形叫做这个矩形的台球四边形．
（1）如图1，四边形EFGH是矩形ABCD的台球四边形，AC、BD交于点O．求证：∠1=∠2；
（2）小明尝试借用作图对台球四边形的性质进行探究：
①在图2，图3的正方形网格中，请你仅用直尺作出矩形ABCD的台球四边形（其中格点E为台球四边形的一个顶点）；
②借助图形，小明进一步探究台球四边形的性质，得到了如下两个猜想，请你判断（对的打√，错的打×）
a．一个矩形的台球四边形的周长等于这个矩形两条对角线的和（______）； b．一个矩形的台球四边形的面积不超过这个矩形面积的一半（______）；
AB=8，EG⊥HG，（3）如图4，四边形EFGH是矩形ABCD的台球四边形，若AD=4，
求AE的长．
26. 如图1．已知⊙M与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，A、B两点的横
坐标分别为-1和7，弦AB的弦心距MN为3， （1）求⊙M的半径；
P在弦CD上，Q是弧BC上一动点，PQ交直径CF于点E，（2）如图2，且CP=2，
当∠CPQ=∠CQD时，
①判断线段PQ与直径CF的位置关系，并说明理由；
第6页，共20页
②求CQ的长；
（3）如图3．若P点是弦CD上一动点，Q是弧BC上一动点，PQ交直径CF于点E，当∠CPQ与∠CQD互余时，求△PEM面积的最大值．
第7页，共20页
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵π＞3＞＞-4， ∴在这四个实数中，最大的数是π． 故选：B．
正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 2.【答案】A
【解析】解：A、a2•a3=a5，故本选项符合题意； B、（a2）3=a6，故本选项不符合题意；
C、a2和a3不能合并，故本选项不符合题意； D、a4÷a=a3，故本选项不符合题意； 故选：A．
根据合并同类项法则，积的乘方和幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法分别求出每个式子的值，再得出选项即可．
本题考查了合并同类项法则，积的乘方和幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键． 3.【答案】B
35%=70吨， 【解析】解：200×
答：条形统计图中a的值为70吨， 故选：B．
根据题意列式计算即可得到结论．
此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键． 4.【答案】A
【解析】解：由于图象各顶点的横坐标都减去2， 故图象只向左移动2个单位， 故选：A．
纵坐标不变则函数图象不会上下移动，横坐标减2，则说明函数图象向左移动2个单位． 本题考查了坐标与图形的变化---平移，要知道，上下移动，横坐标不变，左右移动，纵坐标不变． 5.【答案】C
【解析】解：∵多边形的内角和公式为（n-2）•180°，
180°=720°∴（n-2）×，
解得n=6，
∴这个多边形的边数是6． 故选：C．
根据内角和定理180°•（n-2）即可求得． 本题主要考查了多边形的内角和定理即180°•（n-2），难度适中．
第8页，共20页
6.【答案】A
【解析】解：∵反比例函数y=∴m-1＞0， 解得：m＞1， 故选：A．
根据“反比例函数y=
在其各个分支上y随x的增大而减小”，结合反比例函数的性
在其各个分支上y随x的增大而减小，
质，得到关于m的一元一次不等式，解之即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键． 7.【答案】C
【解析】解：A、一个游戏中奖的概率是，做10次这样的游戏也不一定会中奖，故此选项错误；
B、为了了解一批炮弹的杀伤半径，应采用抽样调查的方式，故此选项错误； C、一组数据8，8，7，10，6，8，9的众数和中位数都是8，故此选项正确；
D、若甲组数据的方差是0.1，乙组数据的方差是0.2，则乙组数据比甲组数据波动大； 故选：C．
根据概率的意义可判断出A的正误；根据抽样调查与全面调查意义可判断出B的正误；根据众数和中位数的定义可判断出C的正误；根据方差的意义可判断出D的正误． 此题主要考查了概率、抽样调查与全面调查、众数和中位数、方差，关键是注意再找中位数时要把数据从小到大排列再找出位置处于中间的数． 8.【答案】D
【解析】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限， ∴k＜0，b＞0． 故选：D．
根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＞0时图象在一、二、四象限． 9.【答案】D
【解析】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=30°， ∴∠B+∠C=150°， ∴0°＜∠B＜150°， 故选：D．
根据三角形的内角和定理进行解答便可．
本题主要考查了三角形的内角和定理，是一个基础题，熟记三角形的内角和定理是解题的关键．三角形的三个内角和等于180°． 10.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
第9页，共20页
设小矩形的长为a，宽为b，根据矩形的性质列出方程组即可． 【解答】
解：设小矩形的长为a，宽为b，则可得方程组故选：A．
．
11.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了利用旋转设计图案，正确掌握中心对称图形的性质是解题关键．直接利用中心对称图形的定义结合图形的旋转变换得出答案． 【解答】
解：如图所示：只有选项D可以与已知图形组成中心对称图形． 故选：D． 12.【答案】D
【解析】解：∵点C的坐标为（3，4），CA⊥y轴于点A， ∴AO=4，AC=3， ∵OD=3AD，
∴AD=1，OD=3，
∵CB与直线y=x交于点E， ∴设点E（m，m），
设直线BC的解析式为：y=kx+b， ∴
，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y=∴B（
，0），
x-，
∴S△CDE=S四边形AOBC-S△ACD-S△DOE-S△OBE=×（3+故△CDE的面积始终不变， 故选：D．
4-×3×1-×3m-×）××m=，
根据已知条件得到AO=4，AC=3，求得AD=1，OD=3，设点E（m，m），求得直线BC的解析式为y=
x-，得到B（
，0），根据梯形和三角形的面积公式即可得
到结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，梯形和三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
第10页，共20页
13.【答案】x≥2019
【解析】解：∵二次根式∴x-2019≥0， 解得：x≥2019． 故答案为：x≥2019．
在实数范围内有意义，
直接利用二次根式的性质得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键． 14.【答案】3
【解析】解：①+②得： 4a+4b=12，
等式两边同时除以4得：a+b=3， 故答案为：3．
，①+②，利用等式的性质，等式两边同时除以4，即可得到答案．
本题考查了解二元一次方程组，正确掌握加减消元法和等式的性质是解题的关键． 15.【答案】2π
，
【解析】解：综合主视图，俯视图，左视图可以看出这个几何体应该是圆锥，且底面圆的半径为 1，母线长为2， 因此侧面面积为：π×1×2=2π． 故答案为：2π．
根据三视图的知识可知该几何体为一个圆锥．又已知底面半径可求出母线长以及侧面积．
此题主要考查了圆锥的侧面积求法以及由三视图判断几何体的形状，要注意圆锥的侧面积的计算方法是圆锥的底面半径乘以圆周率再乘以母线长． 16.【答案】6
【解析】解：∵EF是△ABC的中位线， ∴AB=2EF=18，EF∥AB，AF=CF，CE=BE， ∴G是CD的中点，
∴GE是△BCD的中位线， ∴BD=2EG=8， ∴AD=AB-BD=10， ∵DE⊥BC，CE=BE， ∴CD=BD=8， ∵CD⊥AC， ∴∠ACD=90°， ∴AC=
=
=6；
故答案为：6．
由三角形中位线定理得出AB=2EF=18，EF∥AB，AF=CF，CE=BE，证出GE是△BCD的中位线，得出BD=2EG=8，AD=AB-BD=10，由线段垂直平分线的性质得出CD=BD=8，再由勾股定理即可求出AC的长．
本题考查了三角形中位线定理、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握三
第11页，共20页
角形中位线定理，求出CD=BD是解题的关键． 17.【答案】-1或-9
【解析】解：∵二次函数y=（ax+b）（x+）， ∴当x=0时，y=3，
∴二次函数y=（ax+b）（x+）必经过定点（0，3），
∴二次函数y=（ax+b）（x+）经过（0，3）、（4，3）两点或经过（-4，3）（0，3）两点， ∴对称轴为：x=
=2或x=
=-2
∵方程（ax+b）（x+）=0的一个根为x=5， ∴另一个根为-1或-9 ∴故答案为-1或-9．
根据题意得到抛物线过定点（0，3），即可求得（m，3）、（m+4，3）两点的坐标，求得对称轴，然后根据解析式和方程的关系即可求得另一个根．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上的点的坐标适合解析式． 18.【答案】21
【解析】解：设A（a，-），则C（-，-）， ∴AD=-a，OD=-，CD=-， ∵AC∥x轴，∠BCA=45°， ∴BD=CD=-， ∵CE⊥AB，
∴∠AEC=∠ODC=90°， ∵∠ACE=∠OCD， ∴∠A=∠ODC，
在△ABD和△OCD中，
∴△ABD≌△OCD（AAS）， ∴AD=OD， ∴a=， ∴a=-3，
∴OD=3，C（，3）， ∴BD=CD=， ∴OB=BD-OD=-3，
第12页，共20页
∵△OBC的面积为：OB•CD=14， ∴（-3）•=14， 解得=7或-4（舍去）， ∴m=21，
故答案为21．
-）-）OD=-，CD=-，设A（a，，则C（-，，则AD=-a，证得△ABD≌△OCD（AAS），-3）OB=BD-OD=-3，证得AD=OD，即可求得A（3，，进而求得BD=CD=，根据△OBC的面积为：OB•CD=14，即可求得m的值．
本题考查了反比例系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形全等的
判定和性质，证得△ABD≌△OCD是解题的关键．
19.【答案】解：原式=
=
．
•
【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算，解题的关键熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
20.【答案】解：（1）∵△ABC中，AB=AC=13，BD⊥AC于点D，sinA=
∴即
， ，
解得：BD=12；
（2）∵AC=AB=13，BD=12，BD⊥AC， ∴AD=5， ∴DC=8， ∴tan∠C=
．
【解析】（1）根据三角函数得出BD=12即可；
（2）利用勾股定理得出AD=5，进而得出DC=8，利用三角函数解答即可． 此题考查解直角三角形问题，关键是根据三角函数得出BD的值．
21.【答案】（1）
（2）设角为90°，60°，45°，30°分别为A1，A2，B，C1，C2，D； 画树状图如图所示，
第13页，共20页
一共有18种结果，每种结果出现的可能性是相同的，而其中可以拼成的这个角是钝角的结果有12种，
∴这个角是钝角的概率是=．
【解析】解：（1）结果是轴对称图形的概率是， 故答案为：；
（2）见答案 【分析】
（1）找到沿某条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形即可； （2）根据概率公式计算即可解答．
此题为轴对称图形与概率的综合应用，考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 22.【答案】（1）正常负载下，半小时可出去：30×4×6=720人； （2）①27；
10×6=540人 ②写字楼的总人数为：9×
27=135人 急情况下，要使整写字楼的人能在5分钟，旋转门出去的人数为：5×
则剩下的人数为540-135=405人，要从普通侧门通过
5）≈1.8， 则有405÷（45×
即至少安装2道普通侧门。
【解析】解： （1）见答案；
（2）①紧急情况下，出去人数可增加50%，则每圈出去人数为：6×（1+50%）=9人，每分钟门转速降低25%，即每分钟转的圈数为4×（1-25%）=3圏
9=27人 则每分钟可以出去：3×
故答案为：27； ②见答案。
（1）根据题意直接计算即可
（2）①分别计算出每分钟增加的人数及门的转速即可求解 ②先计算出5分钟旋转门能通过多少人，再计算在5分钟内普通侧门能通过多少人即可 此题主要考查了应用题，解题的关键是读懂题意，也可以通过列方程进行解题，但直接解题相对简单．
23.【答案】（1）证明：连接OD，
第14页，共20页
∵AC是⊙O的切线， ∴OA⊥CA， ∴∠CAO=90°， ∵BD∥OC，
∴∠AOC=∠OBD，∠COD=∠ODB， ∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB， ∴∠AOC=∠COD，
在△AOC和△DOC中，
，
∴△AOC≌△EOC（SAS）， ∴∠CAO=∠CDO=90°，则AC与圆O相切；
（2）解：∵∠B=60°， ∴△BOD为等边三角形， ∴∠AOD=120°， ∵OC∥BD，
∴∠AOC=∠B=60°， ∴AC=OA=6，
图中阴影部分的面积=2△AOC的面积-扇形AOD的面积=2×AC•OA-=36
-12π．
【解析】此题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键． （1）连接OD，根据CD与圆O相切，利用切线的性质得到OD垂直于CD，再由OC与BD平行，得到同位角相等与内错角相等，根据OB=OD，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到夹角相等，再由OA=OD，OC=OC，利用SAS得到三角形AOC与三角形DOC全等，利用全等三角形对应角相等得到∠OAC=∠ODC=90°，即可得证； （2）由OD=OB=DB得到三角形ODB为等边三角形，求出∠AOD=120°，由平行线的性质得出∠AOC=∠B=60°，解直角三角形求得AC=6，根据图中阴影部分的面积=2△AOC的面积-扇形DOB的面积解答即可．
24.【答案】（1）（-3，1），（0，3.5），（3，15） （2）∵函数图象过点（0，3.5） ∴此函数不可能为反比例函数
假设是一次函数y=kx+d，把点（-3，1）和（0，3.5）代入， ∴
解得：
=6≠15
第15页，共20页
当x=3时，y=x+=
故这三点构成的函数不是一次函数 设此函数为二次函数y=ax2+bx+c
∴ 解得：
∴这个函数解析式为y=x2+x+
（3）∵二次函数y=x2+x+=∴当x=
时，y有最小值y=
∵矩形顶点对应的横坐标为整数，x=-在-3～-2之间 ∴其对应的矩形条高最矮，为1 ∴最小矩形条的面积为1．
【解析】解：（1）∵矩形条的左上顶点都在我们已学的某类函数图象上，且-3～-2高为1，0～1高为3.5，3～4高为15
∴对应点坐标为（-3，1），（0，3.5），（3，15） 故答案为：（-3，1），（0，3.5），（3，15）．
（2）见答案 （3）见答案 【分析】
（1）根据题意，表格中给定矩形左边长对应的数为在函数图象上的点的横坐标，高即为点的纵坐标，因此得到对应的三个坐标．
（2）我们已学的函数有一次函数、反比例函数、二次函数，需逐个计算排除．由于函数图象经过y轴上的点（0，3.5），故排除反比例函数；取其中两个点求一次函数解析式，把第三个点的横坐标代入解析式，发现得到的纵坐标与实际不符，说明这三点没有在一条直线上，故排除一次函数；所以只能是二次函数，设一般式用待定系数法即求出函数解析式．
（3）所有矩形的底边长即宽相等，为1，只有求出最矮的矩形的高即求出最小矩形条的面积．把二次函数解析式配方得顶点式，可得x=
时，y有最小值y=．但由于矩形
底边左右端点对应的都是整数，即函数图象只取x为整数的点，故需考虑x=-在-3～-2之间，得到其高为1．
本题考查了待定系数法求函数解析式，求二次函数的最值问题，二次函数的应用．解题关键是（1）读懂题意，找准点的横坐标；（2）逐步排除反比例函数和一次函数可能性；（3）求二次函数顶点后发现实际取不到最值对应的横坐标，要找最值所在矩形的位置． 25.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD，OA=AC，OB=BD ∴OA=OB ∴∠3=∠4
第16页，共20页
∵四边形EFGH是矩形ABCD的台球四边形 ∴AC∥EF，BD∥HE ∴∠3=∠2，∠4=∠1 ∴∠1=∠2
（2）①如图2、图3所示，▱EFGH为所求作的图形．
②√ √ ；
（3）如图4，过点G作GM⊥AB于点M，连接BD
∴∠GMA=∠GME=90°
∵矩形ABCD中，AD=4，AB=8 ∴∠A=∠ABC=∠ADC=90°， ∴四边形AMGD是矩形 ∴AM=DG，GM=AD=4
∵四边形EFGH是矩形ABCD的台球四边形 ∴EH∥BD，HG∥EF
由（1）得∠1=∠2，同理可得∠3=∠4
∵∠1+∠3=∠4+∠5=90°
∴∠1=∠5 ∴∠2=∠5
在△DGH与△BEF中
∴△DGH≌△BEF（AAS） ∴DG=BE ∵EH∥BD ∴∴
设AH=x，则AE=2x，
∴DH=4-x，AM=DG=BE=8-2x
∴Rt△DGH中，HG2=DH2+DG2=（4-x）2+（8-2x）2=5（4-x）2 Rt△AEH中，HE2=AE2+AH2=（2x）2+x2=5x2 ∵EG⊥HG
∴∠HGE=90°
∴GE2=HE2-HG2=5x2-5（4-x）2
第17页，共20页
∵ME=AB-AM-BE=8-2（8-2x）=4x-8=4（x-2） ∴Rt△MEG中，GE2=ME2+GM2=[4（x-2）]2-42 ∴5x2-5（4-x）2=[4（x-2）]2-42 解得：x1=4（舍去），x2= ∴AE=5
【解析】解：（1）见答案；
（2）①见答案；
②a：图2中，E、F、G分别为AB、BC、CD的中点，故EF=AC，FG=BD ∴C▱EFGH=2（EF+FG）=2（AC+BD）=AC+BD
S▱EFGH=S矩形ABCD-4S△AEH=AB•AD-4••AE•AH=AB•AD-2•AB•AD=AB•AD=S矩形ABCD 图3中，E、F、G分别为AB、BC、CD的三等分点，故EF=AC，FG=BD ∵矩形ABCD中，AC=BD
∴C▱EFGH=2（EF+FG）=2（AC+BD）=2AC=AC+BD S▱EFGH=S矩形
ABCD-2S△AEH-2S△BEF=AB•AD-AE•AH-BE•BF=AB•AD-
AB•AD-AB•BC=AB•AD-AB•AD
-AB•BC=AB•AD=S矩形ABCD
∴C▱EFGH=AC+BD，S▱EFGH≤S矩形ABCD 成立
故答案为：√，√； （3）见答案.
【分析】（1）由矩形性质可得对角线相等且互相平分，即OA=OB，故有∠3=∠4；又由台球四边形定义得AC∥EF，BD∥HE，故有内错角∠3=∠2，∠4=∠1，等量代换即得证． （2）①由AC∥EF，BD∥HE且根据平行线分线段定理，可知图2中F、G、H为边的中点，图3中F、G、H为边的三等分点，即画出图形；②由图2、图3分别求平行四边形EFGH周长与矩形ABCD对角线和AC+BD关系，平行四边形EFGH面积与矩形ABCD面积关系，即能判断两个结论都是对的．
（3）由EG⊥HG可知△EGH为直角三角形，三边满足勾股定理；过G作GM⊥AB于点M构造Rt△EGM，则三边满足勾股定理．由台球四边形定义可证DG=BE且AE、AH的比等于AB与AD的比，故可设AH=x，用x表示Rt△EGH和Rt△EGM的所有边，以GM作为等量关系列方程，即求出x进而求得AE的长．
本题考查了新定义的理解和性质运用，矩形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解一元一次方程．第（3）题在矩形中给出直角三角形条件，利用勾股定理找等量关系列方程进而求线段长度，是较常规的解题方法． 26.【答案】解：（1）连接MB，如图1所示： ∵A、B两点的横坐标分别为-1和7， ∴AB=8， ∵MN⊥AB， ∴BN=4，
第18页，共20页
在Rt△BMN中，由勾股定理得：BM===5，
即⊙M的半径为5；
（2）①PQ⊥CF；理由如下： 连接DF，如图2所示： ∵CF是⊙M的直径， ∴∠CDF=90°， ∴∠F+∠DCF=90°， ∵∠CQD=∠F，
∴∠CQD+∠DCF=90°， ∵∠CPQ=∠CQD， ∴∠CPQ+∠DCF=90°， ∴∠CEP=90°， ∴PQ⊥CF；
②作MN⊥AB于N，MG⊥CD于G，延长QP交⊙M于H，如图3所示：
则AN=4，MN=3，MG=ON=1N-AO=3， ∴MN=MG， ∴CD=AB=8，
在Rt△CDF中，CF=2BM=10，DF==6，
由①得：PQ⊥CF， ∴∠CEP=∠CDF=90°，EH=EQ， ∵∠PCE=∠FCD， ∴△CPE∽△CFD， ∴==，即==， 解得：CE=，PE=， ∴EF=CF-CE=，
由相交线定理得：EQ×EH=CE×EF， 即EQ2=×=
，
在Rt△CPE中，由勾股定理得：CQ=
=4； （3）∵CF是⊙M的直径，
∴∠CDF=90°， ∴∠F+∠DCF=90°， ∵∠CQD=∠F，
∴∠CQD+∠DCF=90°， ∵∠CPQ+∠CQD=90°， ∴∠DCF=∠CPQ， ∴CE=PE，
作EK⊥CP于K，PT⊥CM于T，如图4所示： 则CK=PK，=，
设EK=3x，则CK=4x，CE=PE=5x，PC=8x，
第19页，共20页
同（2）得：△CPT∽△CFD， ∴==， ∴PT=x，CT=x，
PT=（5-5x）×x=-12x2+12x=-12（x-）2+3， ∴△PEM的面积S=EM×∵-12＜0，
∴S有最大值，
当x=时，S的最大值为3， 即△PEM面积的最大值为3．
【解析】（1）连接MB，由题意得出AB=8，由垂径定理得出BN=4，由勾股定理得出BM=
=5即可；
（2）①连接DF，由圆周角定理得出∠CDF=90°，∠CQD=∠F，证出∠CEP=90°，即可得出结论；
②作MN⊥AB于N，MG⊥CD于G，延长QP交⊙M于H，则AN=4，MN=3，MG=ON=1N-AO=3，得出MN=MG，证出CD=AB=8，由勾股定理得出DF=
=6，
CE=，PE=，证明△CPE∽△CFD，得出==，即==，解得：得出EF=CF-CE=，由相交线定理即可得出EQ2=
，在Rt△CPE中，由勾股定理求出CQ的长即可；
PT⊥CM于T，（3）证出∠DCF=∠CPQ，得出CE=PE，作EK⊥CP于K，则CK=PK，=，设EK=3x，则CK=4x，CE=PE=5x，PC=8x，同（2）得：△CPT∽△CFD，得出==，
2
CT=x，+3，求出PT=x，由三角形面积公式得出△PEM的面积S=-12x2+12x=-12（x-）
由二次函数的性质即可得出结果．
本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、相交弦定理、勾股定理、坐标与图形性质、垂径定理、相似三角形的判定与性质、三角形面积公式、等腰三角形的判定等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握圆周角定理和证明三角形相似是解题的关键．
第20页，共20页
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容