经典题（一）
1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO． 求证：CD＝GF．（初二) C E
G
A B
D O F
2、已知：如图,P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150． 求证：△PBC是正三角形．（初二) A D P C B
3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、
CC1、DD1的中点．
A D
求证：四边形A2B2C2D2是正方形．（初二） D2 A2 A1
D1
B1
C1
B2 C2
B C
4、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC的
延长线交MN于E、F．
F 求证：∠DEN＝∠F． E
N C
D A M B
经典题(二）
1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点）,O为外心，且OM⊥BC于M． (1）求证：AH＝2OM； A (2）若∠BAC＝600,求证：AH＝AO．（初二）
O
· H E
B C M D
2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A,自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q． G E 求证：AP＝AQ．（初二） O · C
B D
M N Q P A
3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题:
设MN是圆O的弦,过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q． E C 求证：AP＝AQ．（初二)
A Q M · N P
· O B
D 4、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边,在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG,点P是EF的中点．
求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．（初二） D
G
C E
P
A B Q
F
经典题（三）
1、如图，四边形ABCD为正方形,DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．
求证:CE＝CF．（初二）
D A
F E
B C
2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA,直线EC交DA延长线于F．
求证：AE＝AF．(初二）
A D F
B C
E 3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE． 求证：PA＝PF．（初二) A D F
B P C E 4、如图,PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线,AE、AF与直线PO相交于B、D．求证:AB＝DC,BC＝AD．（初三）
A
O D B P
E C F 经典题(四）
A 1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5． 求:∠APB的度数．（初二）
P
B C 2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA． 求证:∠PAB＝∠PCB．（初二） A D
P
B C
3、设ABCD为圆内接凸四边形,求证:AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三) A D B C
4、平行四边形ABCD中,设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且 AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二） A D F
P B E C
经典难题(五)
A 1、 设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC， 求证：
B C ≤L＜2．
P
2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．
A D P
B C 3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．
A P D
4、如图，△ABC中,∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300，∠EBA＝200,求∠BED的度数．
A B C
D E B C 经典题（一)
1。如下图做GH⊥AB，连接EO。由于GOFE四点共圆,所以∠GFH＝∠OEG， 即△GHF∽△OGE，可得
EOGOCO==,又CO=EO，所以CD=GF得证. GFGHCD
2. 如下图做△DGC使与△ADP全等，可得△PDG为等边△，从而可得 △DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150 所以∠DCP=300 ，从而得出△PBC是正三角形
3.如下图连接BC1和AB1分别找其中点F,E。连接C2F与A2E并延长相交于Q点， 连接EB2并延长交C2Q于H点，连接FB2并延长交A2Q于G点， 由A2E=1AB=1BC= FB2 ，EB2=1AB=1BC=FC1 ,又∠GFQ+∠Q=900和 21121122∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2 ， 可得△B2FC2≌△A2EB2 ，所以A2B2=B2C2 ， 又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2 , 从而可得∠A2B2 C2=900 ， 同理可得其他边垂直且相等，
从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。
4。如下图连接AC并取其中点Q，连接QN和QM，所以可得∠QMF=∠F,∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM，从而得出∠DEN＝∠F。
经典题（二）
1.(1）延长AD到F连BF，做OG⊥AF，
又∠F=∠ACB=∠BHD,
可得BH=BF,从而可得HD=DF,
又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM
（2）连接OB，OC,既得∠BOC=1200，
从而可得∠BOM=600,
所以可得OB=2OM=AH=AO,
得证。
3。作OF⊥CD，OG⊥BE，连接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。
ADACCD2FDFD 由于,
ABAEBE2BGBG 由此可得△ADF≌△ABG,从而可得∠AFC=∠AGE。
又因为PFOA与QGOA四点共圆，可得∠AFC=∠AOP和∠AGE=∠AOQ， ∠AOP=∠AOQ,从而可得AP=AQ。
4。过E，C,F点分别作AB所在直线的高EG,CI，FH.可得PQ=
由△EGA≌△AIC，可得EG=AI，由△BFH≌△CBI,可得FH=BI. 从而可得PQ=
EG2FH。
AI2BI=
AB，从而得证。 2
经典题（三）
1。顺时针旋转△ADE，到△ABG,连接CG. 由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350
从而可得B，G,D在一条直线上，可得△AGB≌△CGB. 推出AE=AG=AC=GC，可得△AGC为等边三角形。 ∠AGB=300，既得∠EAC=300，从而可得∠A EC=750。 又∠EFC=∠DFA=450+300=750. 可证：CE=CF。
2.连接BD作CH⊥DE，可得四边形CGDH是正方形。
由AC=CE=2GC=2CH，
可得∠CEH=300，所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150,
又∠FAE=900+450+150=1500，
从而可知道∠F=150，从而得出AE=AF。
3。作FG⊥CD,FE⊥BE，可以得出GFEC为正方形.
令AB=Y ，BP=X ,CE=Z ，可得PC=Y-X . tan∠BAP=tan∠EPF=
X=YYZXZ，可得YZ=XY-X2+XZ，
即Z（Y—X)=X(Y—X) ，既得X=Z ，得出△ABP≌△PEF , 得到PA＝PF ,得证 。
经典难题（四）
1. 顺时针旋转△ABP 600 ，连接PQ ，则△PBQ是正三角形。
可得△PQC是直角三角形. 所以∠APB=1500 .
2。作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使AE∥DC，BE∥PC. 可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，可得：
AEBP共圆（一边所对两角相等)。 可得∠BAP=∠BEP=∠BCP,得证。
3。在BD取一点E，使∠BCE=∠ACD，既得△BEC∽△ADC，可得:
BEAD =,即AD•BC=BE•AC, ①
BCAC 又∠ACB=∠DCE，可得△ABC∽△DEC，既得
ABDE=，即AB•CD=DE•AC， ② ACDC 由①+②可得: AB•CD+AD•BC=AC(BE+DE）= AC·BD ,得证.
4。过D作AQ⊥AE ，AG⊥CF ,由S
ADE=
SABCD2=SDFC，可得：
AEPQAEPQ=,由AE=FC。 22 可得DQ=DG，可得∠DPA＝∠DPC（角平分线逆定理）.
经典题（五）
1。（1）顺时针旋转△BPC 600 ，可得△PBE为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上, 即如下图:可得最小L=
；
(2）过P点作BC的平行线交AB，AC与点D,F。 由于∠APD>∠ATP=∠ADP，
推出AD〉AP ① 又BP+DP〉BP ② 和PF+FC>PC ③ 又DF=AF ④
由①②③④可得:最大L〈 2 ； 由（1）和（2)既得：
≤L＜2 。
2.顺时针旋转△BPC 600 ，可得△PBE为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE,EF在一条直线上， 即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF。
既得AF=14(321)2 = 23=
423 2 =
2(31)2 = (31)
22622 。
=
3。顺时针旋转△ABP 900 ，可得如下图：
既得正方形边长L = (222)2(22)a = 5222a 。
4。在AB上找一点F，使∠BCF=600 ，
连接EF，DG，既得△BGC为等边三角形，
可得∠DCF=100 , ∠FCE=200 ，推出△ABE≌△ACF ， 得到BE=CF ， FG=GE 。
推出 ： △FGE为等边三角形 ，可得∠AFE=800 ，
既得：∠DFG=400 ① 又BD=BC=BG ，既得∠BGD=800 ，既得∠DGF=400 ② 推得：DF=DG ,得到：△DFE≌△DGE , 从而推得：∠FED=∠BED=300 。
21. （本题7分)如图,△ABC中A(2，3)，B(31)，， C(1，2)． （1） 将△ABC向右平移4个单位长度,画出平移后的△A1B1C1;
则A1的坐标为__________
（2） 将△ABC绕原点O旋转180,画出旋转后的
△A2B2C2；
则B2 的坐标为__________
(3) 直接写出△A1B1B2的面积为___________
22.（8分)如图，Rt△ABE中,AB⊥AE以AB为直径作⊙O，交BE于C，弦CD⊥AB，F为AE上一点，连FC，则FC = FE (1) 求证CF是⊙O的切线；（4分） （2）已知点P为⊙O上一点，
且tan∠APD = 错误!, 连CP， 求sin∠CPD的值。（4分）
23.(10分）江汉路一服装店销售一种进价为50元/件的衬衣,生产厂家规定售价为60～150元，当定价为60元/件时，平均每星期可卖出70件,每涨价10元,一星期少买5件. (1)若销售单价为x元/件（规定x是10的正整数倍），每周销售量为y件，写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围？（2分）
（2)当每件衬衣定价为多少元时，服装店每星期的利润最大，最大利润为多少元?（3分) (3）请分析销售价在哪个范围内每星期的销售利润不低于2700元？（5分）
24.如图在△ABC中，∠ACB=90 o ，BC=k AC，CD⊥AB 于D，点P为AB 边上一动点,PE⊥AC，
PF⊥BC，垂足分别为E、F，
(1)若k=2时，则CE/BF = _________ （2分） (2)若k=3时，连EF、DF, 求EF/DF的值 （5分）
（3）当k=__________时,EF/DF = 2错误!/3.（直接写结果，不需证明） （3分) C
E
F A D P B
25．（本题12分)如图1，抛物线y＝ax2－5ax＋4经过△ABC的三个顶点,已知BC∥x轴,点A在x轴上，点C在y轴上，且AC＝BC． （1） 求抛物线的解析式；（4分）
（2)若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由；（4分)
(3）如图2，将△AOC沿x轴对折得到△AOC1，再将△AOC1绕平面内某点旋转180°后得△A1O1C2（A,O，C1分别与点A1，O1，C2对应)使点A1,C2在抛物线上,求A1，C2的坐标．（4分）
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