现代控制理论线性系统入门(九)设计状态观测器
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状态观测器设计的引入是为了估计那些无法直接测量的状态变量，而这些变量通常在实际系统中存在。设计方法通常基于线性时不变的多输入多输出(MIMO)系统。首先，介绍了一个简单的观测器称为“平凡观测器”，其通过模拟系统本身的模型来估计状态变量，但这种方法受限于直接使用输入变量而无法消除估计误差。
接着，提出了改进的“Luenberger观测器”，它结合了模拟器和修正器两个部分。通过引入输出向量误差来调整观测器的估计值，使用观测器增益矩阵来权衡这种调整。观测误差动态方程显示，如果原始系统渐近稳定，则误差动态也将是渐近稳定的。此外，通过选择合适的观测器增益矩阵，可以使估计误差动态矩阵特征值位于左半平面，确保误差动态的稳定性。观察到Luenberger增益与Kalman增益类似，且它们与反馈控制器的设计原理相似。
对于单一输入单一输出(SISO)系统，可以使用Ackermann公式设计观测器增益，特别是当系统完全可观察时，可以通过观测器增益任意配置估计误差动态矩阵特征值。设计观测器时，要确保观测器特征值的实部绝对值较大，以加快估计误差的收敛速度。测量噪声的影响需考虑，过大的观测器增益可能导致增益矩阵对测量误差的放大作用。
讨论了控制器和观测器设计的分离原理，表明系统状态反馈控制器和状态观测器可以设计再进行合成。定理9.2明确了此原理，即当系统完全可观察和可控制时，闭环系统的特征值多项式为状态控制器和观测器特征多项式的乘积。
对于外界干扰信号的处理，可以采用建立扰动变量串联补偿项或使用PI控制器。对于不同类型的扰动信号，包括恒定、周期性和衰减扰动，分别提供了模型和处理方法。当无法直接测量扰动信号时，可以使用扰动观测器来估计其影响，从而设计补偿后的控制律。
在某些情况下，完整的Luenberger观测器可能需要估计所有状态变量，而实际上一些状态变量可以通过输出变量的测量以及状态变量之间的线性组合来间接获取信息。为此，提出了“降维观测器”，通过传感器坐标简化观测过程，降低了传感器的需求，提高了观测器的效率。
以线性化后的倒立摆模型为例，讨论了如何设计降维观测器。通过重新排列坐标顺序，减少不必要的变量，使用降维观测器进行状态估计，简化了观测过程。最终，通过选择合适的观测器增益矩阵，实现了状态变量的准确估计。
最后，概述了本章内容并预告了下一章将讨论输出信号如何跟踪输入信号的主题。通过本章的学习，读者了解了状态观测器设计的基本原理及其在系统控制中的重要性。
