Baire纲定理,一致有界定理
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Baire纲定理是实变函数与泛函分析的重要内容，基于Baire纲定理，可以推出线性算子的一致有界定理，开映像与逆算子定理，和闭算子与闭图像定理。
定义: Baire纲定理表明，若在距离空间中一个集合不能在任何开集中稠密，则该集合称为疏集，若集合可以表示为可数多个疏集的并集，则该集合为第一纲集，否则为第二纲集。
注: 疏集没有内点。完备的距离空间属于第二纲集。
定理: 完备的距离空间是第二纲集。
证明: 假设完备的距离空间不是第二纲集，则可以表示为可数多个稀集的并集。存在开球在其中不稠密的点，进而存在闭球同样在其中不稠密的点，以此类推，得到一组闭球套。由于完备性，此套中必然存在收敛子列，矛盾。
（Banach-Steinhaus 一致有界原理）
设线性算子族在Banach空间到赋范空间中的作用是有界的，如果对于任一元素，其作用值有界，则该算子族整体是有界的。
注: 点点有界的线性算子必定一致有界。
证明: 要证明集合中的线性算子一致有界，首先证明集合在单位球内是一致有界。然后使用Baire纲定理，存在一个闭球，使得算子在该球上一致有界。
(1). 令函数，由于连续，算子的值域为闭集，因此算子的值域是闭集。算子在单位球内一致有界。
(2). 考虑闭球，由于是第二纲集，存在点使得在开集内稠密，进而该点在闭球内稠密，将其平移到单位球内，算子在单位球内一致有界。
(3). 对任意元素，其作用值在单位球内有界，即算子整体一致有界。
