泛函分析期末复习(度量空间&线性赋范空间&内积空间&线性算子空间)_百度...
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度量空间定义与举例，以及其拓扑性质
公式1
公式2
度量空间诱导的拓扑空间是Hausdorff空间
度量空间中的极限与连续性
公式3
度量空间的可分性与完备性
若度量空间[公式]中的任何基本列都收敛，且收敛点属于[公式]，则称[公式]是完备集。若[公式]是完备集，则称[公式]是完备的度量空间。
度量空间的紧集
1. 设[公式]是度量空间，[公式]，如果A中任何点列都有收敛于[公式]的子列，则称[公式]为列紧集
2. [公式]紧集=列紧集+闭集
3. [公式]本身是列紧集（必是闭集）则称[公式]为紧空间
任何有限集必是紧集。列紧集的子集是列紧集；任何多个列紧集的交是列紧集；有限多个列紧集的并是列紧集。列紧集必是有界集，反之不真。[公式]是[公式]的列紧集当且仅当它的闭包[公式]是紧集
设[公式]为紧空间，[公式]，则 1）紧空间是有界空间；2）紧空间是完备的度量空间；3）[公式]是紧集当且仅当[公式]是闭集。列紧集与紧集在[公式]的特性：设[公式]是[公式]维欧氏空间[公式]的一个子集，那么 1）[公式]是列紧集当且仅当[公式]是有界集；2）[公式]是紧集当且仅当[公式]是有界闭集。连续映射将紧集映射为紧集：设[公式]是从度量空间[公式]到[公式]上的连续映射，[公式]是[公式]中的紧集，那么[公式]是[公式]中的紧集。
度量空间中的全有界集，注意列紧集、全有界集、可分集的定义和子列的性质都有或多或少的联系。
度量空间中的开覆盖，开覆盖很重要的意义是从另外一个角度刻画紧集：任意开覆盖有有限子覆盖。
度量空间上的连续映射保持紧性不变的另一种证明方法：设 [公式] 是 [公式] 的一个开覆盖。因为 [公式] 是连续映射，所以 [公式] 是 [公式] 的一个开覆盖。由 [公式] 的紧性知，存在 [公式] 覆盖 [公式]，因此 [公式] 覆盖[公式]。设 [公式] 是紧空间，[公式] 为连续映射，则 [公式] 为一致连续映射。设 [公式] 是度量空间，则[公式]为紧空间的充要条件是：对[公式]中的任何闭集族[公式]，若其中任意有限个闭集[公式]的交集都为非空集，则[公式]也必为非空集。
线性赋范空间定义，线性赋范空间的子集和商空间，线性赋范空间和范数等价，线性赋范空间的维数与紧性。Resize定理的证明思路很重要。
内积空间定义，内积空间与线性赋范空间的关系，内积空间的正交系，内积空间正交系傅里叶级数与收敛性。
线性算子定义和性质，线性算子的零空间，线性有界算子空间，对偶空间与Reisz表示定理，算子乘法与逆算子Baire纲定理，线性泛函的延拓定理，闭图像定理，一致有界定理，泛函分析应用。
